Равноправны ли все цифры?

16

Результаты экспериментов

Вопрос заголовка этой статьи выгляделит страно: неужели какая-либо цифра достойна особого внимания? Чтоы проверить это, автор статьи повторил эксперимент современного американского математика Хэмминга. Оба эксперимента заключлись в следующем. Из нескольких справочников по химини и металлургии случайным образом было выбрансто именованных констант. В получившийся набор попали высота дымовой трубы одного из типов мартеновских печей, удельный вес каменной coli, теплотворность пропана и даже такой экзотическая для неспециализта параметр, как «константа скорости шелочного омыления» одного сложного эфира. Словом, образователья «винегрет» из самых разнообразных величины.

Чтоы их как-то упорядочить, давайте условия называть i-числом всяко число, в старшем значшем разряде которого стоит цифра i (i = 1, 2, …, 9). Так, число 1 будет 1-числом, а 3,7 и 0,0371 будут 3-числами.

На первый взгляд кажется, что наиболее естественно ожидать равномерно распределения констант по девятти группам, где в i-ю группу попадают i-числа. Посокльку выбраносто констант, у нас должно быть бы получитьсяprimерно по одинадцать i-чисел для каждой цифры i. Конечно, надяться при этом на точное выпадание числа 11 для всех цифр i нельзя (это и невозможно, поскольку 9·11 ≠ 100). Но вот как средних константы распределились i-числа на самом деле (см. таблицу):

| i | Kolчество i-чисел |
| :— | :— |
| Xэмминг | Автор | Теоретическое* |
| 1 | 34 | 25 | 31 |
| 2 | 12 | 17 | 17 |
| 3 | 13 | 16 | 13 |
| 4 | 15 | 11 | 9 |
| 5 | 7 | 9 | 8 |
| 6 | 3 | 8 | 7 |
| 7 | 4 | 6 | 6 |
| 8 | 4 | 4 | 5 |
| 9 | 8 | 4 | 4 |

Всего 100 100 100

Как видно из средних колонок этой таблицы, 1-чисел в обихх экспериментах было обнаружено больше, чем, например, 7-чисел. Чем это объяснить? Можно быть, при осуществлении экспериментов была бессознанно проявлена «либоовь» к цифре 1?

Хэмминг не дал описания способа, который он пользовался, выбирая свои числа. Автор же выбрал произвольныйprimерно так. В течение некоторого времени он выписьвал первыше шесть цифр семизначных номеров своих дележных знаков; в результате образователься некий список

*) О «теоретическом» колчестве i-чисел печь поддет ниже.

17

«случайных чисел». По первой цифре такого случайного числа выбирался справочник (справочники предварительно были пронумерованы), по следующим двум цифрам — страница; остальные три цифры соответствовали номерам строки и столбца, из которых и бралось число. Строго следовать этому правилу, конечно, удавалось не всегда.
Поэтому приходилось применять целый ряд уточнений, но мы на них останавливаться не будем. Во всяком случае ясно, что особое положение 1-чисел основано на чем-то более важном, чем лишь на произволе экспериментаторов.

В чем же дело?

Всякая константа в справочнике получается в результате некоторого измерения. Измерение же есть сравнение с эталоном (килограммом, метром, секундой). Учитываем ли мы где-нибудь использование конкретных эталонов, считая естественным равномерное распределение $i$-чисел среди выбранных констант? Нет. Поэтому можно ожидать, что вид этого распределения существенно не изменится, если выбрать аналогичные константы из американских таблиц, где используется, например, не метр, а фут. Ведь с «американской» точки зрения равномернсе распределение $i$-чисел столь же естественно.

Как мы сейчас увидим, у нас н е т оснований ожидать, что распределение $i$-чисел получится равномерным как раз потому, что равномерное распределение не сохраняется при изменении масштаба измерений.

Проиллюстрируем это следующим примером. Создадим равномерное распределение $i$-чисел искусственно. Возьмем числовую ось и приложим к ней «гребенку» с $n$ зубцами (черная гребенка, рис. 1).

Пусть нумерация зубцов гребенки начинается с нуля, и гребенка такова, что если ее нулевой зубец расположить против числа 1, то последний $((n-1)$-й) зубец не «дотянется» до числа 10 на величину одного промежутка между зубцами. Поскольку между зубцами гребенки $(n-1)$ промежутков, то величина одного промежутка равна $9/n$. Следовательно, на числовой оси зубцам гребенки соответствуют числа

$$x_k = 1 + \frac{9}{n}k, \ \ k = 0, 1, \ldots, n-1, \ (1)$$

образующие арифметическую прогрессию. В этой группе чисел $i$-числа распределены примерно равномерно: количество $i$-чисел среди них для любой цифры $i$ приблизительно равняется отношению $n/9$ (возможная ошибка здесь $\pm 1$, почему?).

Изменим теперь масштаб, умножив каждое число (1) на некоторое число $a$, причем

$$2 \leqslant a < 10. \qquad (2)$$

Посмотрим, как это умножение повлияет на количество 1-чисел. Для них (только для них), очевидно, имеем:

$$10 \leqslant a + a\,\frac{9}{n}\,k < 20.$$

Следовательно, номера новых 1-чисел заключены в интервале

$$\frac{10-a}{9a}\,n \leqslant k < \frac{20-a}{9a}\,n,$$

Рис. 1.

2 «Квант» № 11

18

и, поскольку $k$ — целое, 1-чисел будет примерно столько, какова длина инвервала — около $10n/9a$. Иными словами, количество 1-чисел возрастет примерно в $10/a > 1$ раз (причем эта оценка тем точнее, чем больше число $n$).

Итак, изменив масштаб в $a$ раз ($2 \leqslant a < 10$), мы увеличим долю 1-чисел среди чисел набора (1), хотя в старом масштабе, по построению, 1-числа ничего не выделялись. Это и свидетельствует о том, что предположение о равномерном распределении $i$-чисел — неестественно.

«Логарифмический» масштаб

На рисунке 2 изображены две шкалы. Вместе они образуют как бы «таблицу логарифмов»: под всяким числом на верхней шкале (с неравномерными делениями) можно визу化 (на шкале с равномерными делениями) прочитать десятичный логарифм этого числа, и наоборот, — по логарифму, отмеченному на нижней шкале, легко найти само это число на верхней шкале (которая поэтому логично было бы назвать шкалой антиполагирфов, но мы будем назвать ее логарифмической шкалой).

Логарифмическая шкала обладает одним чрезвычайно важным свойством: изображенные на ней числа очень легко умножать и делить. Вспомним основное свойство логарифмов:

$$\lg ab = \lg a + \lg b.$$

Поэтому умножение чисел $a$ и $b$ можно произвести так: взять эти числа

ла на логарифмической шкале, найти прямо внизу под ними $\lg a$ и $\lg b$, затем сложить найденные величины (ввиду равномерности нижней шкалы это значит—сдвинуть от точки $\lg b$ на расстояние $\lg a$) и, наконец, прочитать результат на логарифмической шкале (рис. 2). Направление сдига определяется знаком числа $\lg a$: если $\lg a > 0$, сдвиг проискдит вправо, если $\lg a < 0$ — влево. (На этом принципике, кстати, основано устройство логарифмической линейки).

Вернемся, однako, к нашей гребенке. Будем считать, что гребенка приложена к нижней шкале, причем промежуток между зубцами равняется $1/n$. Зубцу с номером $k$ на нижней шкале соответствует число $k/n$, а на логарифмической (верхней) шкале — число

$$y_h = 10^{k/n}, k = 0, 1, \dots, n - 1. \quad (3)$$

Числа (3) образуют геометрическую прогрессию со значением $n/10$. Колчество $i$-чисел среди них теперь уже зависит от $i$. Груб говоря, оно равняется отношению длины промежутка нижней шкалы, соответствующого $i$-числом логарифмической шкале, к длине промежутка нижней шкале, которое соответствует числу $i$.

Умножим теперь все числа (3) на $a$. Для этого нам нужно просто сдигить все гребенку на расстояние $\lg a$ (в единицах нижней шкалы). Если для $a$ выполнены неравенства (2), то 1-числа, получившиеся после такого сдиги, будут находиться на

логарифмической шкале в интервале от 10 до 20. Но длина этого интервала (в единицах нижней шкалы) равна мантиссе числа $\lg 20$, то есть она совпадает с длиной интервала от единицы до двух (см. рис. 2). Поэтому с точностью до $\pm 1$ количество 1-чисел останется прежним. На самом деле при этом сдвиге сохраняется количество $i$-чисел для любого $i$, причем условие (2) на величину $a$ можно отбросить. Попробуйте доказать это самостоятельно (см. з а д а ч у 2).

Верно даже обратное утверждение (хотя дать его точную формулировку и доказательство не просто): всякое распределение i-чисел, сохраняющееся при умножении на произвольное число $a > 0$, должно быть близким к «логарифмическому» распределению, задаваемому гребенкой.

Воспользуемся «распределением гребенки», чтобы ответить на главный вопрос статьи. Вспомним нашу таблицу (см. с. 16). В ее последней колонке указаны как раз количества $i$-чисел среди образующих геометрическую прогрессию чисел (3) при $n - 100$. Мы видим, что 1-числа среди них действительно преобладают и, кроме того, что все данные этого распределения довольно хорошо согласуются с экспериментальными. Это наблюдение позволяет предположить, что распределение i-чисел среди образующих геометрическую прогрессию чисел (3) — наиболее вероятное (поэтому-то мы и назвали последнюю колонку таблицы «теоретической»).

Удалось ли нам, однако, д о к а з а т ь гипотезу, что в произвольной таблице распределение $i$-чисел будет соответствовать «логарифмическому» распределению? Конечно, нет. Доказать это в общем виде нельзя. Для этого нужны дополнительные предположения о характере случайности набора рассматриваемых констант. Отметим здесь только, что существуют таблицы именованных констант (например, расписания поездов) с совсем иным распределением $i$-чисел.

Предпочтительные числа

Перед человеком, планирующим производство, стоит задача: наметить выпуск вариантов одного и того же изделия, отличающихся типоразмерами. Например, электрические лампы бывают нужны мощностью от долей ватта (для освещения шкал приборов) до десятков киловатт (для огней маяков). Как составить набор типоразмеров, чтобы удовлетворительно обеспечить любую потребность?

Конечно, хотелось бы, чтобы при этом количество типоразмеров не было чересчур большим. Для этого намечаемые варианты должны хорошо соответствовать неизвестному нам распределению возможных потребностей. Об этом распределении мы почти ничего не знаем, но трудно поверить, что оно может сильно зависеть от применяемых единиц измерения.

Здесь уместно вспомнить гипотезу, высказанную нами в конце предыдущего пункта, касающуюся исключительности «логарифмического» распределения $i$-чисел среди чисел (3).

Оказывается, в нашей стране варианты типоразмеров зафиксированы специальным законодательным постановлением: государственным стандартом (ГОСТ). С 1957 года в СССР действует ГОСТ 8032-56, согласно которому во всех отраслях промышленности при введении нового типоразмера рекомендуется придерживаться некоторых вполне конкретных коэффициентов: предпочтительных чисел.

Эти числа представляют собой округленные значения чисел логарифмической шкалы, определяемых «гребенками», т. е. чисел (3), при $n - 5$, 10, 20, 40! Множество предпочтительных чисел, соответствующее одной гребенке, называется рядом и обозначается через $Rn$. Букву $R$ связывают обычно с именем французского инженера Ш. Р е н а р а, применявшего в конце XIX века такие числа для подбора толщин аэростатных тросов. Вот как

2*

19