Задачи М351—М355; Ф363—Ф367

30

Задачи

М351—М355; Ф363—Ф367

М351. Восстановите треугольник, если на плоскости отмещены три точки: O — центр описанной окружности, P — центр тяжестии и H — основание одной из высот этого треугольника.

М. М. Имершивили (ученик 9 класса, Тбилиси)

М352 *. Пусть $n$ — целое число, для которого
$$n < \left(45 + \sqrt{1975}\right)^{30} < n + 1.$$
Докажите, что $n$ нечетно.

Д. К. Фаддеев

М353 *. Пусть $ABCD$ — произвольный треугольр. Докажите, что:
a) сумма двухгранных углов треугольра, ребрами которых служат $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$, меньше 2π;
b) сумма всех двухгранных углов треугольра больше 2π, но меньше 3π;
b) сумма косинусов всех двухгранных углов треугольра положительная и не превысит 2, причем эта сумма равна 2 в том и только в том случае, когда все грани треугольника;
г) если $|AB| + |CD| = |BC| + |DA|$, то сумма двухгранных углов с ребрами $AB$ и $CD$ равна сумме двухгранных углов с ребрами $BC$ и $AD$.

Н. Ф. Шарынн

М354. Можно ли расставить числа 1, 2, 3, …, $4n + 2$ в вершинах и серединах сторона правильно $(2n + 1)$-угольника так, чтобы сумма трех чисел, стоящих в концах и середине каждой стороны, была для всех сторон одинаковой?

Рассмотите в качестве примеров случай $n = 3$, $n = 8$.

С. Т. Берколайко

М355. $N$ ребят перекидывают $N$ мячами. В начале игры каждый из нихbrosает свой мяч кому-нибудь из своих товаров и сам ловит брошенный крем-нибудь мяч (он может подбросить и попытать свой собственный мяч) так, что снова у всех оказывается по мячу. Затем ребята опятьbrosают мяч тем же, кому ониbrosали их в первых раз, и так далее. Игра останавливается, когда все мячи вер-

31

нулись к своим владелцам (что мычи не перепутались, будем считать их разноцветными).
Докажите, что
a) к каждому из участников мяч вернется впервые не более чем через $N$ бросаний;
b) игра обязательно закончится;
b)) для 5, 10 и 15 участников она может закончится самоое большее через соответствие 6, 30 и 105 бросаний (а какова максимальная возможность игры для $N = 7$, $N = 8$, $N = 20$?);
г)) длительность игры всегда является делительом числа $N!=1\cdot 2\cdots N$;
d)*) длительность игры не может превышать $3N/3$.

Э. Г. Белаea

Ф363. На цилиндр намотаны нити, как показано на рисунке 1. Правые концы нити тянут со скоростью $v_1$, а левые — со скоростью $v_2$. С какой угловой скоростью врашается при этом цилиндр вокруг своей оси? Радиус цилиндра равен $R$.

Ф364. Каким должен быть коэффициент трения $k$ резины о внешнюю поверхность конуса с углом при вершине $2\alpha$, чтобы мотоикLIST мог двигаться по поверхности конуса по горизонтальной окружности радиуса $R$ со скоростью $v$ (рис. 2)?

Ф365. Найти емкость системы конденсатора, соединенных так, как показано на рисунке 3.

В. Е. Белонучкин

Ф366. Колба-шар емкостью $V = 1\lambda$ была откачана и закрыта. На стенках колбы остался мономолекулярный слой воздуха. Оценить давление, которое будет в колбе, нагretой до 300 $C$, если известно, что при такой температуре стенки колбы полностью обезгружаются.

А. В. Митрофаон

Ф367. Построить изображение квадрата, даваемое собирающей линзой (см. рис. 4). Середина стороны квадрата, лежащей на главной оптичекой оси линзы, находится от линзы на расстоянии, равном фокусному.