Решения задач М314, М316, М317; Ф322—Ф327, Ф329

32

Решения задач

M314, M316, M317; Ф322—Ф327, Ф329

М314. Среди всех 9-значных чисел, в десятичной записи комorbых нём цифры 0, найти макое, для коморого разность между самим числом и произведением его цифра a) наименьшая;
б) наибольшая;
Каков будем ответ для п-значных чисел при любом n?

Будем решать задачу сразу для n-значных чисел.
Начнем с задачи a). Пусть искомое число — обозначим его через A — записывается цифрами $a_1, \dots, a_n$: $A = \overline{a_1, \dots, a_n}$. Тогда
$$A = a_1 \cdot 10^n - 1 + a_2 \cdot 10^n - 2 + \dots + a_{n-1} \cdot 10 + a_n.$$
Обозначим разность между числом A и произведением его цифр через B:
$$B = a_1 \cdot 10^n - 1 + \dots + a_{n-1} \cdot 10 + a_n - a_1 \cdot a_2 \dots a_n.$$
Покажем, что если B — наименьшая разность, то у числа A не может быть одновременного двух цифр, отличных от единицы или девятки.
В самом деле, пусть есть две такие цифры: $a_k$ и $a_l$. Тогда, у увеличив, а затем уменьшив цифру $a_k$ на единицу, мы можем составить новые для n-значные числа (среди цифр которых не будет нулей):
$$A_1 = a_1 \cdot 10^n - 1 + \dots + (a_k + 1) \cdot 10^n - k + \dots + a_{n-1} \cdot 10 + a_n;$$
$$A_2 = a_1 \cdot 10^n - 1 + \dots + (a_k - 1) \cdot 10^n - k + \dots + a_{n-1} \cdot 10 + a_n.$$
Запишем разности $B_1$ и $B_2$ между числами $A_1, A_2$ и произведением их цифр:
$$B_1 = A_1 - a_1 \cdot \dots \cdot (a_k + 1) \cdot \dots \cdot a_{n-1} \cdot a_n = (A - a_1 \cdot \dots \cdot a_n) + 10^n - k - a_1 \cdot \dots \cdot a_{k-1} \cdot a_{k+1} \cdot \dots \cdot a_n = B + (10^n - k - a_1 \cdot \dots \cdot a_{k-1} \cdot a_{k+1} \cdot \dots \cdot a_n);$$
$$B_2 = A_2 - a_1 \cdot \dots \cdot (a_k - 1) \cdot \dots \cdot a_{n-1} \cdot a_n = B + (-10^n - k + a_1 \cdot \dots \cdot a_{k-1} \cdot a_{k+1} \cdot \dots \cdot a_n).$$
По предположению B — наименьшая разность; поэтому одновременное должно быть выполнться неравенства $B \leqslant B_1$ и $B \leqslant B_2$:
$$\begin{cases} 10^n - k - a_1 \cdot \dots \cdot a_{k-1} \cdot a_{k+1} \cdot \dots \cdot a_n \geqslant 0, \\ -10^n - k + a_1 \cdot \dots \cdot a_{k-1} \cdot a_{k+1} \cdot \dots \cdot a_n \geqslant 0. \end{cases}$$
откуда
$$a_1 \cdot \dots \cdot a_{k-1} \cdot a_{k+1} \cdot \dots \cdot a_n = 10^n - k.$$

Точно так же получим, что
$$a_1 \cdot \dots \cdot a_{l-1} \cdot a_{l+1} \cdot \dots \cdot a_n = 10^n - l.$$

Деля (1) на (2), получаем:
$$\frac{a_l}{a_h} = 10^{l-k} \quad (l \neq k),$$

но этого быть не может, поскольку $a_l$ и $a_k$ — натуральные числа, меньше 10.

Значит, у искомого числа одновременного двух цифр, отличных от 1 и 9, быть не может.

Предположим, что у искомого числа есть одна цифра, отличная от 1 и 9, — пусть это цифра $a_{n-p}$. Тогда, как и выше, имеем
$$10^p = a_1 \cdot \dots \cdot a_{n-p-1} \cdot a_{n-p+1} \cdot \dots \cdot a_n,$$

33

где цифры $a_1, \dots, a_{n-p-1}, a_{n-p+1}, \dots, a_n$ равны 1, либо 9. Но при $p \geqslant 1$ такое равенства быть не может: левая часть его делится на 10, а правая — не делится.

Если же $p = 0$, то тогда все цифры $a_1, \dots, a_{n-1}$ должны быть единицами, а цифра $a_n$ может быть любой. Само число при этом имеет вид $\underbrace{1 \dots 1}_{n-1} a_n$. Отметим, что разность между числом такого вида и произведением его цифра построена и не зависит от последней цифры $a_n$:

$$\underbrace{1 \dots 1}_{n-1} a_n - 1 \dots 1 \cdot a_n = \underbrace{1 \dots 1}_{n-1} 0.$$

Ниже мы показем, что именно эта разность и является наименшей (то есть, что цифра $\underbrace{1 \dots 1}_{n-1} a_n$ — искомые).

Птак, если у исключого числа есть цифра, отличная от 1 и 9, то оно обязательно вида $\underbrace{1 \dots 1}_{n-1} a_n$.

Предположим теперь, что все цифры исключого числа — единицами или девятки. Пусть это число состоит из $k$ девяток и $n-k$ единиц. Тогда произведение его цифра равно $9^k$ — построенным числу, и для того, чтобы разность между числом и произведением его цифра была наименшей, нужно, чтобы само число (составленное из $k$ девяток и $n-k$ единиц) было наименшим.

Понятно, что таким числом будет число $\underbrace{1 \dots 1}_{n-k} \underbrace{9 \dots 9}_{k},$ у которого все единицы стояят в старших разрядах.

Составим разность

$$B' = \underbrace{1 \dots 1}_{n-k} \underbrace{9 \dots 9}_{k} - 9^k.$$

Возьем теперь число, у которого на одну единицу больше: $\underbrace{1 \dots 1}_{n-k+1} \underbrace{9 \dots 9}_{k-1}$. Для него соответствующая разность равна

$$B'' = \underbrace{1 \dots 1}_{n-k+1} \underbrace{9 \dots 9}_{k-1} - 9^k - \underbrace{1 \dots 1}_{n-k+1} \underbrace{9 \dots 9}_{k-1} + 9^k-1 = 8(10^k-1-9^k-1) \geqslant 0$$

(Cравенство достаточно при $k=1$); то есть $B' \geqslant B''$.

Значит, заменяя всякий раз первую слева девятку единицей, мы тем самым уменьшаем разность между получаемыми числом и произведением его цифр. Поэтому числом, состоящим из одних только единиц и девяток, для которого указанная разность минимальная, является число $\underbrace{1 \dots 1}_{n-1}$.

В силу сказанного равше, от того, какая цифра стоит на последнем месте у числа, все остальные цифры которого равны единице, разность не зависит; то есть на последнем месте может быть любая цифра.

Итак, ответ в задаче a) такое: исключение $n$-значные числа имеет вид $\underbrace{1 \dots 1}_{n-1} a_n$, где $a_n$ — любая цифра.

Перейдем теперь к задаче b).

Рассуждая, как и прежде, получаем, что если число обладает тем свойством, что разность между ним и произведением

34

дением его цифр — наиболееяя, то все его цифры — либо единицы, либо девятки.

Пусть есть число, состоящее из $k$ девяток и $n - k$ единиц. Произведение цифр такого числа построено — равно $9^k$, поэтому для того, чтобы разность была наиболееяя, нужно, чтобы самое число было наиболеешим средним всех чисел, составленных из $k$ девяток и $n - k$ единиц.

Понятно, что таким числом является число $\underbrace{9 \dots 9}_{k} \underbrace{1 \dots 1}_{n - k}$.

Обозначим разность между ним и произведением его цифр через $A'$:

$$A' = \underbrace{9 \dots 9}_{k} \underbrace{1 \dots 1}_{n - k} - 9^k.$$

Посмотрим теперь, каково должно быть $k$, чтобы разность $A'$ между числом $\underbrace{9 \dots 9}_{k} \underbrace{1 \dots 1}_{n - k}$ и произведением его цифр была наиболееяя.

Увеличим $k$ на единицу: возьмем число $\underbrace{9 \dots 9}_{k + 1} \underbrace{1 \dots 1}_{n - k - 1}$.

Для получения числа разность равна

$$A'' = \underbrace{9 \dots 9}_{k + 1} \underbrace{1 \dots 1}_{n - k - 1} - 9^{k + 1}.$$

Уменьшим $k$ на единицу: получим

$$A''' = \underbrace{9 \dots 9}_{k + 1} \underbrace{1 \dots 1}_{n - k + 1} - 9^{k + 1}.$$

Имсем:

$$A' - A'' = \underbrace{9 \dots 9}_{k} \underbrace{1 \dots 1}_{n - k} - 9^k - \underbrace{9 \dots 9}_{k + 1} \underbrace{1 \dots 1}_{n - k - 1} + 9^{k + 1}$$

$$- 8 \cdot 10^{n - k - 1} + 9^k (9 - 1) = 8 \left( -10^{n - k - 1} + 9^k \right) \geq 0,$$

(3)

так как $A'$ по предположению наиболееяя разность.

Аналогично

$$A' - A''' = \underbrace{9 \dots 9}_{k} \underbrace{1 \dots 1}_{n - k} - 9^k - \underbrace{9 \dots 9}_{k + 1} \underbrace{1 \dots 1}_{n - k - 1} + 9^{k + 1}$$

$$= 8 \cdot 10^{n - k} - 9^{k + 1} (9 - 1) = 8 \left( 10^{n - k} - 9^{k + 1} \right) \geq 0.$$

(4)

Из (3) и (4) получаем систему неравенств:

$$\begin{cases} 9^k \geq 10^{n - k - 1}, \\ 10^{n - k} \geq 9^{k + 1}, \end{cases}$$

из которой

$$\begin{cases} k \geq \frac{n - 1}{\lg 9 + 1}, \\ k \leq \frac{n + \lg 9}{\lg 9 + 1}, \end{cases}$$

то есть

$$\frac{n - 1}{\lg 9 + 1} \leq k \leq \frac{n - 1}{\lg 9 + 1} + 1.$$

(5)

35

Так как $k$ — число целое, то из (5) следует, что

$$k = \left[ \frac{n-1}{\lg 9 + 1} + 1 \right],$$

где $[x]$ — целая часть числа $x$.

Итак, в задаче 6) искомое число имеет вид

$$\underbrace{9 \dots 9}_{k} \underbrace{1 \dots 1}_{n-k},$$

где $k = \left[ \frac{n-1}{\lg 9 + 1} + 1 \right].$

И. Н. Клумова, А. Г. Лейдерман

a) Вычислим сумму квадратов $2n+1$ последовательных натуральных чисел. Обозначив менше из них через $x-n$, получим:

$$S_{2n+1} = (x-n)^2 + (x-n+1)^2 + \dots + x^2 + (x+1)^2 + \dots + (x+n)^2 = (2n+1)x^2 + 2(1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2) = (2n+1)x^2 + \frac{1}{3}n(n+1)(2n+1).$$

В частности, $S_3 = 3x^2 + 2$, $S_5 = 5x^2 + 10$, $S_7 = 7x^2 + 28$, $S_9 = 9x^2 + 60$, $S_{11} = 11x^2 + 110$. Сумма квадратов трех последовательных целых чисел не может быть точным квадратом, так как квадрат любого целого числа либо делится на 3, либо при делении на 3 дает остаток 1, а число $S_3 = 3x^2 + 2$ при делении на 3 дает остаток 2.

Докажем, что ни одно из чисел $S_5$, $S_7$ и $S_9$ также не является точным квадратом ни при каком целом $x$. Для этого воспользуемся таким очевидным свойством, вытекающим из единственной разложения на простые множители: если квадрат делится на простое $p$, то он должен делиться на $p^2$. Остается заметить, что $x^2 + 2$ никакого не делится на 5, $x^2 + 4$ никакого не делится на 7, а $3x^2 + 20$ никакого не делится на 3.

6. Это — числа 18, 19, …, 27, 28. В самом деле, число $S_{11} = 11(x^2 + 10)$ должно делиться на $11^2$, следовательно, и число $x^2 - 1 = (x^2 + 10) - 11$ должно делиться на 11. Но так как $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$, то либо $x - 1 = 11l$, либо $x + 1 = 11k$. При $l = 2$ получим $x = 23$, $S_{11} = 77^2$, так что

$$x - n = 23 - 5 = 18$$

и

$$18^2 + 19^2 + 20^2 + \dots + 28^2 = 77^2.$$

Э. Г. Готман

Рассмотрим сначала случай, когда все золото было сосредоточено в одной — «богатой»—стране. Тогда, если после перераспределения в этой стране остатется золотой запас $M$, то в страны, имеющие с ней общую границу, нужно распределить золота не меньше, чем $M/13$, в страны, имеющие с ними общую границу — не меньше, чем $M/169$, и так далее.

Введем понятие рассмотрения $\rho(A, B)$ между двумя странами $A, B$. Будем считать, что $\rho(A, B) = k$, если из страны $A$ можно проехать в страну $B$, пересекая границы $k$ раз, и нельзя, пересекая их меньше число раз. Теперь высказанное

*)Решение задачи M315 было опубlikовано в предыдущем номере.

36

дая страна лишилась не более половины именшегося у нее золота.

Страна, находящаяся на расстоянии $k > 0$ от «богатой» страны, должны граничить хотя бы с одной страной, находящаяся от «богатой» страны на расстоянии $k-1$, и поэтому не может граничить более чем с шестю странами, отстоящими от «богатой» страны на расстоянии $k+1$. Значит, количество страна, находящихся от «богатой» страны на расстоянии $k+1$, превыходит количество страна, находящихся на расстоянии $k$, не более, чем в 6 раз. Стран же, отстоящих от «богатой» на расстоянии 1, не больше 7. Из сказанного следует, что количество страна, находящихся от «богатой» страны на расстоянии $k$, не превыходит числа $7 \cdot 6^{k-1}$. Распределив в каждую страну, находящихся на расстоянии $k$, не превышает числа $7 \cdot 6^{k-1}$ золота (напомним, что «богатая» страна после распределения «получила» золотой запас $M$), мы истратим золота не больше, чем

$$M + 7 \cdot \frac{M}{13} + 7 \cdot 6 \cdot \frac{M}{13^2} + \dots = M + \frac{7}{6} M \left[ \frac{6}{13} + \left( \frac{6}{13} \right)^2 + \dots \right] = 2M.$$

Значит, первоначально в «богатой» стране было не больше 2$M$ золота, и тем самым после описанного перераспределения она лишилась не более половины именшегося у нее золота. То, что описанное перераспределение — требуемое, следует из того, что две граничные друг с другом страны $B$ и $C$ лежат либо на одном и том же расстоянии от третьей страны $A$, либо же эти расстояния отличия на единицу. Это — частный случай «неравенства треугольника»:

$$\rho (A, B) + \rho (B, C) \geq \rho (A, C)$$

при $\rho (B, C) = 1$ ($\rho (A, B)$ — расстояние от $A$ до $B$); доказите это «неравенство треугольника» для нашего расстояния в общем случае.

Заметим еще, что в случае, если на расстоянии $k$ от «богатой» страны находится ро вно $7 \cdot 6^{k-1}$ стран (см. рис. 1), то золотой запас, который необходимо перераспределить, в точности равен 2$M$, а потому $M$ — равно половина на первоначальное именование у «богатой» страны золота. Докажем, что распределив в каждую страну $A_i$

$$\sum_{k} M_k \cdot 13 - \rho (A_i, A_k)$$ золота, мы получим требуемое распределение. В самом деле, во-первых, каждая страна $A_i$ получает не менее $M_i$ золота, и, следовательно, лишается не больше половины именшегося у нее запаса в силу выбора $M_i$. Во вторых, если $A_i$ и $A_j$ граничящие страны, то $\rho (A_i, A_j) = 1$.

Страна $A_i$ получает $\sum_{k} M_k \cdot 13 - \rho (A_i, A_k)$ золота, страна $A_j - \sum_{k} M_k \cdot 13 - \rho (A_j, A_k)$. Подставляя $\rho (A_i, A_j) = 1$ в неравенства треугольника:

$$\rho (A_j, A_k) + \rho (A_i, A_j) \geq \rho (A_i, A_k),$$

$$\rho (A_i, A_k) + \rho (A_j, A_j) \geq \rho (A_j, A_k),$$

37

получаем:
$$\rho(A_j, A_k) + 1 \geq \rho(A_i, A_k),$$
$$\rho(A_i, A_k) + 1 \geq \rho(A_j, A_k),$$

то есть
$$1 - \rho(A_i, A_k) \geq -\rho(A_j, A_k),$$
$$- \rho(A_j, A_k) \geq -1 - \rho(A_i, A_k),$$

откуда для любого номера $k$:
$$13 \cdot M_k \cdot 13 - \rho(A_i, A_k) \geq M_k \cdot 13 - \rho(A_j, A_k) \geq$$
$$\geq \frac{1}{13} \cdot M_k \times 13 - \rho(A_i, A_k),$$

то есть
$$13 \sum_{k} M_k \cdot 13 - \rho(A_i, A_k) \geq \sum_{k} M_k \cdot 13 - \rho(A_j, A_k) \geq$$
$$\geq \frac{1}{13} \sum_{k} M_k \cdot 13 - \rho(A_i, A_k),$$

и каждые две границы друг с другом страны действительно после перераспределения отличия по количеству золота не более, чем в 13 раз.

Замечание. Суммы $\sum_{k} M_k \cdot 13 - \rho(A_i, A_k)$ всегда существует, если число страна конечно (очевидно), или же если можно указать такое число $C$, что во всех странах не больше $C$ золота (доказhte; вам помогет стать М. Л. Гервера «От перемены мест слагаемых…», опубликованная в «Кванте» № 9 за 1974 год). Существование такого числа $C$ предполагается в условиях задачи, — иначе утверждение задачи становится неверным. Постройте соответствующий пример.

Г. В. Егоров

Ф322. Две звезды врачаются вокруг общего центра масс с постмояными по абсолютной величине скорости $v_1$ и $v_2$ с перiodом $T$. Наимм массы звезды и расстояние между ними.

Так как скорости звезд при врашении вокруг центра масс системы по абсолютной величине постоянны, звезды движутся по окружности, причем эти окружности концентрические и их общий центр находится в центре масс системы. Взаимное расположение звезд и общего центра масс (точки $O$) показаны на рисунке 2.

Обозначим через $m_1$ и $m_2$ массы звезд, а через $r_1$ и $r_2$ — радиусы соответствующих окружностей. Центростремительное ускорение ($v^2/r$) каждой звезде сообщает сила тяготения $F = \gamma \frac{m_1 m_2}{r^2}$, где $r = r_1 + r_2$ — расстояние между звездами.

Запишем уравнение движения звезд:
$$\gamma \frac{m_1 m_2}{r^2} = m_1 \frac{v_1^2}{r_1}$$ и $$\gamma \frac{m_1 m_2}{r^2} = m_2 \frac{v_2^2}{r_2}.$$

Скорости звезд с перiodом врачания и радиусами соответствующих окружностей:
$$v_1 = \frac{2\pi r_1}{T}$$ и $$v_2 = \frac{2\pi r_2}{T}.$$

38

Объединим последние четыре управнения в системе. Решая ее и учитывая, что $r = r_1 + r_2$, найдем

$$r = \frac{T}{2\pi} (v_1 + v_2);$$

$$m_1 = \frac{(v_1 + v_2)^2 v_2 T}{2\pi\gamma};$$

$$m_2 = \frac{(v_1 + v_2)^2 v_1 T}{2\pi\gamma}.$$

Давление под изогнутой сферической поверхности жидкости от давления газа над ней на величины $\Delta p = \frac{2\sigma}{r}$, где $r$ — радиус сферы.

В случае полного смчивания стенок трубки водой меняски в узком и широком коленах можно принять за полусферы радиусов $r_1 = d_1/2$ и $r_2 = d_2/2$. Следовательно, если меняск не располагается на одном из концов соответствующего капилляра, давление воздуха над жидкостью в узком колене больше давления воды под поверхностью на $\Delta p_1 = 4\sigma/d_1 \approx 28,6$ см вод. см., а в широком колене — на $\Delta p_2 = 4\sigma/d_2 \approx 14,3$ см вод. см. Поэтому разность уровней таких менясков (см. рис. 3) может быть равной лише

$$\Delta h = \frac{\Delta p_1}{\rho g} - \frac{\Delta p_2}{\rho g} \approx 14,3 \text{ cm}.$$

В нашем случае $l < \Delta h$. Значит, хотя бы один из менясков располагается на конце колена.

При одновременном соприкосовении концов П-образной трубки с поверхностью воды подъем жидкости в узком капилляре приведет к таким повышению давления воздуха в трубке, что он будет выходит (пробулыкивать) через конец широкого капилляра.

Таким образом, вода в узком капилляре должен до самого верхса, где образуется меняск радиуса $R_1 > r_1$. Следовательно, трубку необходимо погрузить в жидкость на всю длину $l$.

У нижнего конца широкой трубки меняск может иметь радиус $R_2 \geq r_2$. При $R_2 = r_2$ давление воздуха в погруженной трубке максимально и равно

$$\rho_{\text{max}} = \rho_{\text{atm}} = \rho g l + \frac{2\sigma}{r_2}.$$

Пробулыкивание будет продолжаться до тех пор, пока масса давления не уменьшится настолько, что его давление становится равным $\rho_{\text{max}}$ или немного меньше. Менисск радиуса $R_2 \geq r_2$ в широком колене будет располагается у нижнего конца капилляра, то есть на глубине $l$.

Если концы трубки коснутся поверхностями воды не одновременно, то пробулыкивание полностью или частично не будет. В этом случае ответ задачи получится другим.

Б. Б. Буховцев

Ф324. Из собирающей линзы с фокусным рассмотрением $F = 50$ cm и диаметром $D = 5$ cm вырезана полоса широкой $h = 5$ мм, а оставшиеся части свинины выполнены интерфейснойную картину. Таким образом,

39

нам нужно найти границы области перекрытия лучков — расстояние $x$ на рисунке 4.

Прежде всего определим положения изображений источника — расстояние $f$ от изображения до соответствующей линии и расстояние $H$ от оси системы. Используя формулу линии и учтывая, что фокусные расстояния новых линии равны $F$, найдем $f$:

$$f = \frac{Fl}{l - F} = 3F.$$

Оптические оси новых линии находятся на расстоянии $h/2$ от оси системы и параллельны этой оси. Это означает, что источник находится на расстоянии $h/2$ от оптической оси каждой линии, а его изображения — на расстоянии $H - h/2$.

Запишем формулу линейного уvelичения линии:

$$\frac{H - h/2}{h/2} = \frac{f}{l},$$

откуда

$$H = \frac{h(l + f)}{2l} = \frac{h(l + 3F)}{2l} = 1,5h.$$

Тепер нетрудно найти $x$. Из подобия треугольников $AOB$ и $BS_2K$ следует, что

$$\frac{AO}{S_2K} = \frac{OB}{BK},$$ или $$\frac{(D - h)/2}{H} = \frac{x}{f - x}.$$

Отсюда

$$x = \frac{f(D - h)}{D - h + 2H} = \frac{3F(D - h)}{D + 2h} = 112,5\text{ см.}$$

◆

Так как колбация шара на спице — гармоничке, то абсцилотная величина силы упругости, действующей на шар при его смесении из положения равновесия, пропорциональна этому смесению:

$$F_{\text{упр}} \sim x,$$ или $$F_{\text{упр}} = k_1x,$$ где $k_1$ — коэффициент пропорциональности. Следовательно, спица эквивалентна общий пружине с жесткостью $k_1$.

Тогда для частоты колбации $v_1$ можно записать:

$$v_1 = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k_1}{m}}$$

(m — масса шара).

Во втором случае, когда шар прикреплен к пружине (обозначим ее жесткость через $k_2$), частота колбации равна

$$v_2 = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k_2}{m}}.$$

40

Скрепленные вместе спицу и пружину можно рассматривать как две последовательно соединенные пружины с жесткостьми $k_1$ и $k_2$. Заметим их одной пружиной и выразим ее жесткость $k$ через величины $k_1$ и $k_2$. Так как общая деформация двух последовательно соединенных пружин равна сумме их деформаций, а силы упругости, возникшие в пружинах, по абсолютиной величины совпадают, то $x_0$ общим = $x_1 + x_2$, или $\frac{F_{\text{упр}}}{k} = \frac{F_{\text{упр}}}{k_1} + \frac{F_{\text{упр}}}{k_2}$. Следовательно, $k = \frac{k_1 k_2}{k_1 + k_2}$, и $v = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k_1 k_2}{(k_1 + k_2) m}}$.

Выразив $k_1$ и $k_2$ из равенств (1) и (2) соответственно, получим окончательную

$$v = \frac{v_1 v_2}{\sqrt{v_1^2 + v_2^2}}.$$

Н. Ш. Словодецкий

Ф326. Закрытый крышкой соедд доверху наполнен жесткостью, в котором имеются два пружика. Как изменится давление в жидкостии, если пружики сольются? Начальное давление в жидкостии $p_0$, коэффициент поверхности натяжения $\sigma$, радиус каждого пружика $r_0$. Считать процесс изометрическим.

Предположим, что рассматриваемая система находится в состоянии неевесомости. Это равносильно тому, что гидрорастаниеское давление отсутствует, и поэтому давление в жидкостии всегда одно и то же. Запишем условие равновесия для каждой пружика до сляния:

$$p_0 + \frac{2\sigma}{r_0} = p_r,$$

где $\frac{2\sigma}{r_0}$ — добавочное давление, обусловленное слиянием поверхностного натяжения жидкости, $p_r$ — давление газа в пружике.

После сляния двух пружиков в один давление газа неизменится, поскольку объем, занимаемый газом, остается постоянным, а добавочное давление изменится, так как радиус пружика становится другим. Раднус $r$ нового пружика найдем из условия построения объема:

$$2 \frac{4}{3} \pi r_0^3 = \frac{4}{3} \pi r^3.$$

Отсюда

$$r = r_0 \sqrt[3]{2}.$$

Условие равновесия для этого пружика можно представить в виде

$$p + \frac{2\sigma}{r} = p_r$$

(п — новое давление в жидкостии). Тогда из (1) — (3) изменение давления в жидкостии равно

$$\Delta p = p - p_0 = \frac{2\sigma}{r_0} \left(1 - \frac{1}{\sqrt[3]{2}}\right).$$

Попробуйте самостоятельно решить эту задачу для случая пружиков разных радиусов.

Р. Л. Энфиджан

41

Ф327. Определить показания электродинамического амператора $A_1$ и магнитозлектрического амператора $A_2$ (рис. 6), пребрежная их внутренними сопротивлениями, если известно, что на клеммы $A$—$B$ подается напряжение $u = u_1 + u_2 \sin \omega t$, причем $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$.

Емкостьми между клеммами приборов пребрежные; колебания стрелок приборов незаменены.

Рис. 6.

Рис. 7.

Прежде всего напомним, как устройны магнитозлектрический и электродинамический амператоры. В ампературе магнитозлектрической системы изменяемый ток пропускается через витки легкой подвижной рамки, жестко скрепленной со стрелкой. Рамка находится между положами постоянного магнита. Две спиральные пружины соединяют витки рамки с внешней электрической цепью.

Магнитные силы, действующие на рамку с током, пропорциональны величины тока в рамке, а значит, и врашательный момент этих сил тоже пропорционален величины изменяемого тока. При повороте рамки возникает противодействующий момент управления сил пружинок. Этот момент пропорционален углу поворота рамки. Когда противодействующий момент управления сил станет равным врашательному моменту магнитных сил, установится равновесие. Таким образом, угол поворота рамки в магнитозлектрическом ампературе пряmo пропорционален изменяемой току.

В электродинамическом ампературе подвижная рамка помещена внутри неподвижной катушки, витки которой уже включаются во внешнюю электрическую цепь (последовательно или параллельно виткам подвижной рамки). В этом случае магнитное поле неподвижной катушки не постоянно, а изменяется пропорционально величины тока. Следовательно, магнитные силы, действующие на подвижную рамку, и их врашательный момент изменяются пропорционально квадрату тока. Противодействующий момент управления сил пружинок, как и в первом случае, пропорционален углу поворота рамки. Поэтому угол поворота рамки, а значит, и стрелки прибора электродинамического системы, пропорциональны квадрату изменяемого тока.

Все, что мы говорим, относится по существу к постоянному току. А как будут вести себя приборы при включении их в цепь переменного тока? Очевидно, что врашательные моменты в обихи приборах будут изменяться со временем. Однако, в силу инертности, прижняя рамка не успевает за изменением врашательного момента, а реагирует лишь на его среднее значение, если период изменения тока много меньше периода собственных колебаний рамки (как это и предполагается в условиях задачи).

Поэтому угол поворота рамки магнитозлектрического амператора будет пропорционален среднему за период значению переменного тока, а электродинамического — среднему за период значению квадрата тока.

Поскольку среднее за период значению магнитозлектрического системы не будет реагировать на такой ток. Этот прибором можно пользоваться только для изменений постоянного тока.

Приборы электродинамической системы пригодны и для постоянного, и для переменного токов. Общно их градируют по постоянному току. При включении амператора в цепь переменного тока угол поворота рамки пропорционален среднему за период значению квадрата тока $I^2(t)$, следовательно, показание электродинамического амператора равно $\sqrt{I^2(t)}$, т. е. действующему (эффективному) значению переменного тока.

Теперь вернемся к задаче. Подваемое на клеммы $A$—$B$ напряжение $u$ имеет две составляющие — постоянную ($u_1$) и переменную ($u_2$ sin $\omega t$). Через амператор $A_1$ проходит оба тока (и переменный, и постоянный). Через амператор $A_2$ постоянный ток проходит не может (в цепи есть конденсатор), а переменный ток он не изменяет, следовательно, его показания равны нулю.

42

А что показывает амператор $A_1$? Для построенной составляющей тока схему можно переисвать так, как показано на рисунке 7. Полное сопротивление этой цепи равно $3R$.

Частота $\omega$ переменной составляющей тока равна $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$, т. е. $\omega L = \frac{1}{\omega C}$. Это означает, что полное сопротивление участка цепи, содержащого катушки индуктивности и конденсатор $\left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right)$, равно нулю. Поэтому схему можно заменить такой, как представлена на рисунке 8. Сопротивление такой цепи равно $2R$.

Птак, через электроннаяческий амператор $A_1$ идет ток

$$I_1(t) = \frac{u_1}{3R} + \frac{u_2}{2R} \sin \omega t.$$

Показания амператора $A_1$ равны

$$I_1 = \sqrt{\frac{I_1^2}{2(t)}} = \frac{1}{6R} \sqrt{(2u_1 + 3u_2 \sin \omega t)^2} = \frac{1}{6R} \sqrt{4u_1^2 + 4,5u_2^2}.$$

В. А. Позжеев

Ф329 *). Многие из вас, повидимому, замечали, что в тот момент, когда вы ступаете на мокрый песк, он светлелет. Это связано с тем, что песк становится сущие. Но как только вы убираете носу, след, оставленный носой, немедленно заполняется водой. Объясните это явление.

Чтобы объяснить, что происходит с песком на берегу реки, начнем с… шариков. Одинаковые шарики можно уложить на плоскости так, чтобы каждый из них касался шести других шаров. В лунки между шарами первого слоя можно положить шары второго слоя. Каждый из них будет касаться трех шаров нижнего слоя и шести соседей своего слоя и т. д. Полученное таким образом расположение шаров называется плотной упаковкой шаров. Если нарушить плотную упаковку, выведя шары одного из лунок между шарами нижнего слоя, промежутки между шарами увеличются. Возрастет и объем всей системы. Это означает, что если на системе из плотного упаковных шаров действуют силы, приводящие к нарушению плотной упаковки, объем системы увеличивается за счет увеличения промежутков между шарами.

Аналогично ведет себя и любая зернистая среда. Возьмите, например, пшено (или кофе), наполните им стакан, слегка встряхивая стакан, чтобы зерна располагались, образуя наиболее плотную из возможных упаковку. Затем надавите на пшено. Давление приведет к увеличению объема, занимаемого зернами, то есть к нарушению плотной упаковки. Часть зерен высыпет. Если теперь слегка поступать по стакану с тем, чтобы зерна вновь «упаковались» наоболее плотно, стакан оказывается не заполненным доверху.

Теперь вернемся к песку на берегу. Он тоже плотно упакован. При давлении на песком плотная упаковка разрушается, и объем песка увеличивается за счет увеличения пространства между песками. Вода из верхних слоев песка уходит вглубь, заполняя эти увеличившиеся промежутки. Песк как «высыхает». Когда ногу убирают, плотная упаковка восстанавливается, а вытесенная из уменьшившихся вновь промежутков вода заполняется след, оставленной ногой.

Н. Ш. Словодечкий

*) Решение задачи Ф328 будет опубликовано в следующем номере.