Трансцендентные числа

Трансцендентные числа

Понятие о числе формировалось на протяжении тысячелетий. И лишь двести лет тому назад — прежде всего в трудах Л. Эйлера (1707—1783) — в математику вошли комплексные числа, и завершилось развитие понятия о числе.

Напомним этапы (нехронологические) этого развития:

1. натуральные числа 1, 2, 3, $\ldots$;
2. целые числа $\ldots$, $-3$, $-2$, $-1$, 0, 1, 2, 3, $\ldots$;
3. рациональные числа, т. е. числа вида $\dfrac pq$, где $p$ — целое, $q$ — натуральное число;
4. действительные числа, т. е. числа, выражаемые бесконечными десятичными дробями;
5. комплексные числа, т. е. числа вида $a+bi$, где $a$ и $b$ — действительные числа, а символ $i$ определяется условием $i^2=-1$.

В этой последовательности каждый следующий класс содержит все числа предыдущего класса и дополнительно «новые» числа. При каждом расширении класса чисел мы приобретаем возможность производить во всех случаях те или иные действия, которые не всёгда выполнимы в «старых» числах. Так, в классе целых чисел всегда выполнимо вычитание, а в классе рациональных сверх того всегда выполнимо деление, в классе действительных чисел всегда выполнимы не только четыре арифметических Действия, но — для положительных чисел — извлечение корня, и вообще возведение в любую действительную степень, а также нахождение логарифма. Наконец, как доказал в 1799 году Гаусс (1777—1855), в комплексных числах всегда разрешимы алгебраические уравнения любой степени: уравнение
$$a_0z^n+a_1z^{n-1}+\ldots+a_n=0,\tag1$$
где $n$ — натуральное число, а коэффициенты — комплексные, имеет $n$ комплексных корней. Ещё раньше (1748 г.) Эйлер построил теорию показательной, логарифмической, тригонометрических и обратных им функций от комплексного аргумента.

В настоящей статье мы рассмотрим другую классификацию чисел, именно, разбиение их на алгебраические и неалгебраические (иначе — трансцендентные).

Определение. Число называется алгебраическим, если существует алгебраическое уравнение с целыми коэффициентами, корнем которого оно является.

Подчеркнём, что для того, чтобы число было алгебраическим, уравнение (1), которому оно удовлетворяет, должно иметь коэффициентами целые числа (или может быть приведено к такому уравнению).

Очевидно, рациональные числа являются алгебраическими: $\dfrac pq$ есть корень уравнения $qz-p=0$ с целыми коэффициентами $q$ и $-p$. Алгебраическими числами являются корни квадратных уравнений с целыми коэффициентами, например: число $i$ (корень уравнения $z^2+1=0$), число $-\sqrt5-1$ (корень уравнения $z^2+2z-4=0$), число $1-i\sqrt5$ (корень уравнения $z^2-2z+6=0$).

Существуют ли трансцендентные числа?

Естественно возникает вопрос: а есть ли вообще трансцендентные числа?

Положительный ответ на него дал в 1844 году французский математик Лиувилль (1809—1882). В 1873 году Эрмит доказал трансцендентность числа $e$, в 1882 году Линдеман — трансцендентность числа $\pi$. В 1900 году на II Международном конгрессе математиков в Париже Д. Гильберт (1860—1940), среди поставленных им и ставших знаменитыми 23 проблем, сформулировал седьмую проблему: трансцендентны ли числа вида $\alpha^\beta$, где $\alpha$ — алгебраическое число, отличное от нуля и единицы, а $\beta$ — иррациональное алгебраическое число?

Положительный ответ на этот вопрос дал в 1934 году выдающийся советский математик А. О. Гельфонд (1906—1968).

Результаты Лиувилля

В дальнейшем мы будем предполагать, что алгебраические и трансцендентные числа — действительные, хотя всё остается справедливым и для комплексных чисел (см. упражнения в конце статьи).

Теорема 1. Пусть $\alpha$ — иррациональное число, являющееся корнем уравнения
$$f(z)\equiv a_0z^n+a_1z^{n-1}+\ldots+a_n=0.\tag2$$
По коэффициентам уравнения и произвольному $A\ge|\alpha|$ можно найти такое число $M$, что для любой дроби $\dfrac pq$, $\left|\dfrac pq\right|\le A$, не являющейся корнем уравнения (2), справедливо неравенство
$$\left|\alpha-\dfrac pq\right|\ge\dfrac1{Mq^n}.\tag3$$

Доказательство. По условию теоремы имеем:
$$\begin{gather*} f(\alpha)=a_0\alpha^n+a_1\alpha^{n-1}+\ldots+a_{n-1}\alpha+a_n=0,\\ f{\left(\dfrac pq\right)}=a_0{\left(\dfrac pq\right)^n}+a_1{\left(\dfrac pq\right)^{n-1}}+ a_{n-1}\dfrac pq+a_n\ne0. \end{gather*}$$
Отсюда
$$\begin{gather*} f{\left(\dfrac pq\right)}=f{\left(\dfrac pq\right)}-f(\alpha)=a_0{\left[{\left(\dfrac pq\right)^n}-\alpha^n\right]}+a_1{\left[{\left(\dfrac pq\right)^{n-1}}-\alpha^{n-1}\right]}+ \ldots+a_{n-1}{\left(\dfrac pq-\alpha\right)}=\\ ={\left(\dfrac pq-\alpha\right)}{\left\{a_0{\left[{\left(\dfrac pq\right)^{n-1}}+ {\left(\dfrac pq\right)^{n-2}}\alpha+\ldots+\dfrac pq\alpha^{n-2}+\alpha^{n-1}\right]}+{}\right.}\\ {\left.{}+a_1{\left[{\left(\dfrac pq\right)^{n-2}}+{\left(\dfrac pq\right)^{n-3}}\alpha+\ldots+\alpha^{n-2}\right]}+\ldots+a_{n-1}\right\}}. \end{gather*}$$
Так как $|\alpha|\lt A$, $\left|\dfrac pq\right|\le A$, то $$\left|f{\left(\dfrac pq\right)}\right|\le{\left|\dfrac pq-\alpha\right|}M,\tag4$$
где $$M=|a_0|nA^{n-1}+|a_1|(n-1)A^{n-2}+\ldots+|a_{n-1}|.\tag5$$
Но $$\left|f{\left(\dfrac pq\right)}\right|=\dfrac{|a_0p^n+a_1p^{n-1}q+\ldots+a_nq^n|}{q^n}.\tag6$$

В числителе дроби (6) $a_0$, $a_1$, $\ldots$, $a_n$, $p$, $q$ — целые числа, поэтому числитель (6) — целое число, а так как $f{\left(\dfrac pq\right)}\ne0$, то он не меньше единицы. Следовательно,
$$\left|f{\left(\dfrac pq\right)}\right|\ge\dfrac1{q^n}.\tag7$$
Из (4) и (7) следует (3). Теорема доказана.

Теорема 2. Число
$$\alpha=c_0+\dfrac{c_1}{10}+\dfrac{c_2}{10^{2!}}+\dfrac{c_3}{10^{3!}}+\ldots+\dfrac{c_k}{10^{k!}}+{\ldots},$$
где $c_0$ — произвольное целое, а $c_1$, $c_2$, $\ldots$ принимают одно из значений 0, 1, 2, $\ldots$, 9 и не равны нулю подряд, начиная с некоторого, — трансцендентно.

Доказательство. Положим
$$c_0+\dfrac{c_1}{10}+\dfrac{c_2}{10^{2!}}+\ldots+\dfrac{c_k}{10^{k!}}=\dfrac pq.\tag8$$
Тогда
$$\alpha-\dfrac pq=\dfrac{c_{k+1}}{10^{(k+1)!}}+\dfrac{c_{k+2}}{10^{(k+2)!}}+\ldots\gt0,$$
и так как $q=10^{k!}$, то $$\alpha-\dfrac pq=\dfrac{c_{k+1}}{q^{k+1}}+\dfrac{c_{k+2}}{q^{(k+1)(k+2)}}+{\ldots}.$$
Отсюда
$$\alpha-\dfrac pq\le9{\left(\dfrac1{q^{k+1}}+\dfrac1{q^{(k+1)(k+2)}}+\ldots\right)}\lt\dfrac9{(q-1)q^k}.\tag9$$

Чтобы доказать трансцендентность числа $\alpha$, предположим противное — что оно алгебраическое; тогда $\alpha$ удовлетворяет уравнению (1), коэффициенты которого — целые числа. Обозначим через $d$ кратчайшее расстояние от корня$\alpha$ до других действительных корней уравнения.

Положив $A=|\alpha|+d$, вычислим по формуле (5) число $M$ и выберем натуральнсе число $k$ таким большим, чтобы одновременно выполнялись следующие три неравенства:
$$k\gt n,\quad\dfrac9{(q-1)q^k}\lt d,\quad\dfrac9{(q-1)q^{k-n}}\lt\dfrac1M.\tag{10}$$

В силу неравенства (9) и среднего из условий (10), $\dfrac pq$ отстоит от $\alpha$ меньше чем. на $d$, и потому не является корнем уравнения (1). Так как $$\left|\dfrac pq\right|=\left|\alpha-\left(\alpha-\dfrac pq\right)\right|\le|\alpha|+\left|\alpha-\dfrac pq\right|\lt|\alpha|+d=A,$$
то выполняются условия теоремы 1, и, следовательно,
$$\left|\alpha-\dfrac pq\right|\ge\dfrac1{Mq^n}.\tag{11}$$

С другой стороны, из неравенства (9) и последнего из условий (10)
$$\left|\alpha-\dfrac pq\right|\lt\dfrac1{Mq^n}.\tag{12}$$

Таким образом, предположение, что $\alpha$ — алгебраическое число, привело к противоречивым неравенствам (11) и (12). Следовательно, $\alpha$ — трансцендентное число.

Итак, теорема 2 позволяет нам строить трансцендентные числа. Именно, трансцендентное число можно получить из всякой бесконечной дроби, у которой не все цифры, начиная с некоторой, нули, по следующему способу: нужно $k$-ю цифру после запятой поставить на место с номером $k!$, а остальные места заполнить нулями. Например, из числа $0{,}314159\ldots$ получается такое трансцендентное число:
$$\def\A#1{\mathclap{\footnotesize\begin{array}{c}\text{#1-е}\\\text{место}\end{array}}} \def\colsep#1#2{#2} \colsep{0pt}{\begin{array}{ccccccc} 0{,}31000&4&0\ldots0&1&0\ldots0&5&0\ldots\\ &\mathclap\downarrow&&\mathclap\downarrow&&\mathclap\downarrow&\\ &\A{6}&&\A{24}&&\A{120}& \end{array}}$$

Заключение

С одной стороны, действительные трансцендентные числа составляют часть всех действительных чисел. Но приведённый в конце предыдущего пункта пример показывает, что в некотором смысле трансцендентных чисел «столько же», сколько и действительных, — именно в том смысле, что из каждого действительного числа (кроме конечных десятичных чисел) можно образовать трансцендентное.

Однако в некотором другом смысле почти все действительные числа — трансцендентные, алгебраические же составляют лишь ничтожную часть действительных чисел!

В 1878 году немецкий математик Г. Кантор (1845—1918) доказал, что алгебраические числа можно занумеровать так, что каждое алгебраическое число получит свой номер, и под каждым номером будет алгебраическое число (см. Приложение). Возьмём отрезок сколь угодно малой длины, например длины $\eps=10^{-15}$ см (напомним, что радиус электрона равен приблизительно $10^{-12}$ см). Изобразив действительные числа точками числовой прямой, покроем алгебраическую точку №1 отрезком длины $\dfrac12\eps$, алгебраическую точку №2 — отрезком длины $\dfrac1{2^2}\eps$, алгебраическую точку №$n$ — отрезком длины — $\dfrac1{2^n}\eps$ и т. д. Сумма длин покрывающих отрезков равна $\eps$, хотя они частично и накладываются друг на друга и покрывают не только все алгебраические числа, но и часть трансцендентных. Вся числовая ось бесконечна, а сумма длин отрезков, покрывающих алгебраические точки, составляет всего тысячную долю радиуса электрона! Это наглядно показывает, что почти все числа — трансцендентные, алгебраические же числа являются редкими исключениями.

Приложение

Назовем рангом уравнения (1) число $r$:
$$r=n+|a_0|+|a_1|+\ldots+|a_n|;\tag{13}$$
здесь $n\ge1$, $|a_0|\ge1$, следовательно, $r\ge2$.

Для каждого натурального $r\ge2$ неопределённое уравнение (13) имеет конечное число решений в целых неотрицательных числах. Следовательно, существует конечное число уравнений каждого ранга. Например, ранга 2 — два уравнения: $\pm x=0$; ранга 3 — шесть уравнений:
$$\pm x^2=0,\quad \pm x\pm1=0;$$
ранга 4 — уравнения
$$\pm x^3=0,\quad\pm x^2\pm x=0,\quad\pm x^2\pm1=0,\quad\pm x\pm2=0,\quad\pm2x\pm1=0.$$
Найдём корни этих уравнений и выпишем их друг за другом: сначала корни уравнений ранга 2, затем — корни уравнений ранга 3 и т. д.; корни уравнений одного ранга выписываем в произвольном порядке, причём если число является корнем нескольких уравнений, то выписываем его только один раз. Получим последовательность чисел:
$$0,~1,~{-1},~i,~{-i},~2,~{-2},~\dfrac12,~{-\dfrac12},$$
далее — корни уравнений ранга 5 и т. д.

Каждое алгебраическое число, таким образом, будет выписано и получит свой порядковый номер в последовательности. Если интересуются только действительными алгебраическими числами, то комплексные опускают.

Упражнения

1. Докажите, что число
   $$\alpha=c_0+\dfrac{c_1}2+\dfrac{c_2}{2^{2!}}+\ldots+\dfrac{c_k}{2^{k!}}+{\ldots},$$
   где $c_0$ — целое, а $c_1$, $c_2$, $\ldots$ принимают одно из значений 0 или 1, — трансцендентно.
2. Докажите, что теорема 2 справедлива и в том случае, если числа $\{c_k\}$ принимают любые целые значения, ограниченные в совокупности, т. е. если существует такая константа $B$, что $|c_k|\lt B$ для всех значений индекса $k$.
3. Докажите, что в теореме 2 можно положить
   $$\alpha=c_0+\dfrac{c_1}{10^{n_1}}+\dfrac{c_2}{10^{n_2}}+{\ldots},$$
   где $\{n_k\}$ — любая последовательность натуральных чисел, подчинённая условию
   $$n_{k+1}\ge\lambda_kn_k,\quad k=1{,}~2{,}~{\ldots},$$
   а $\{\lambda_k\}$ — произвольная бесконечно возрастающая последовательность действительных чисел, например, $\lambda_k=\lg k$.

В следующих упражнениях под целым комплексным числом мы понимаем число вида $a+bi$, под рациональным комплексным — число $\dfrac{a+bi}q$, где $a$, $b$ — целые, $q$ — натуральное число, а $i$ — такое, что $i^2=-1$.

1. Докажите, что если число $\alpha$ удовлетворяет уравнению (1) с целыми комплексными коэффициентами, то оно алгебраическое.
2. Докажите, что теорема 1 справедлива, если в ее условиях $\alpha$ — комплексное иррациональное, а $\dfrac pq$ — комплексное рациональное число.
3. Докажите, что теорема 2 и утверждения упражнений 1, 2, 3 справедливы и тогда, когда коэффициенты $\{c_k\}$ принимают целые комплексные значения.