Как нарисовать пятиконечную звезду?

74

А. Савин

Как нарисовать пятиконечную звезду?

Не правда ли, красива правильная пятиконечная звезда. Ее мы видим на гербе и флаге нашей Родины, она сияет на военных фуражках и на шпилях башен Кремля.

Кто в детстве не пытался нарисовать эту звезду? Наверное, всякий. Но получалось нечто кособокое и неуклюже, что-нибудь вроде рисунка 1.

Первая попытка
В школе вы познакомились с инструментами для геометрических построений — циркулем и линейкой.

Попробуем возобновить попытки нарисовать правильную пятиконечную звезду. Сначала просим себя, что значит правильную? Наверное, нужно, чтобы пять вершин были соединены отрезками равной длины. Линейка помещет нам сделать стороны звезды прямыми, а при помощи циркуля постараемся сделать их равными.

Приступим. Строим угол с вершиной A. На его сторонах откладываем равные отрезки AB и AC (рис. 2). Три вершины есть. Осталось найти еще две, и все в порядке. Одна из них (D) должна быть удалена от точки B на такое же расстояние, что и точка A. Значит, она должна лежать на окружности с центром в точке B радиуса AB. Проведемдугу (2) этой окружности. Аналогично проведемдугу (3) окружности такого же радиуса с центром в точке C. На ней должна лежать вторая из оставшихся вершин (E).

Вспомним, что мы хотим: расстояние между вершинами D и E должно быть равно расстоянию между остальные вершинами. Поэтому, не изменяя расстояния циркуля, ставим одну из его ножек в какую-нибудь точку D однойдуги (это будет чет-

Рис. 1.
Рис. 2.

76

ли нет, то еще раз таким же способом уточним размер дуги. Двух уточнейный практический всегда хватает.

Точное решение
А нельзя ли сразу получить точное решение? Оказывается, можно.

Вот один из «решетов» такого построения. Пусть $BC$ — диаметр окружности (1), $AO$ — перpendикулярный ему радиус (рис. 6). Проведем окружность (2) радиуса $BO$ с центром $B$. Через точки пересечения окружностей (1) и (2) проведем прямую и обозначим через $D$ точку ее пересечения с диаметром. Затем с центром в точке $D$ радиусом $DA$ проведем еще одну окружность (3). Точку ее пересечения с диаметром обозначим через $E$. Проведя окружность (4) радиуса $AE$ с центром $A$, в пересечении с окружностью (1) получим точки $M$ и $M'$.

Дуга $AM$ равна дуге $AM'$ и равна $1/5$ дуги первого окружности.

Чтобы обосновать это, нужно знания математики старших классов школьы.

Вы можете сами придумать обозначенный решетт построения, если прочитете статью А. Д. Бендукидзе «Золотое решение» («Квант», 1973, № 8). Там расссказывается о заменеальных геометрических свойств правильно пятоконечной звезды.

Обсуждение
Некоторые читатели возникловозпощут: «Зачем же расссказывать о

Рис. 5.

Рис. 6.

приближенном построении, если есть точное?» А вот зачем.

Во-первых, что значит — «точное»? Если его проведится идеальным инструктамми, то оно действительное точно. Но вы же будете чертить реализыми карандашом, циркулем и линейкой. Заведomo при этом получится неточный результат.

А, во-вторых, приближенный метод годится для деления окружности на любое число равных частей, следовательно, достаточно для этого запомнить только один метод.

Далее, этот метод проще точного. А простота часто бывают аргументом. Так, многие математические вычисления на электронных вычислительных машинах (ЭВМ) проводят приближенными методами (хотя существует и точные) лишь потому, что их использование городадо проще, а в ряде случаев возможно машины не позволяют воспользоваться точным, но громоздким методом.

И последнее. Оказывется, нет и не может быть точных методов для деления окружности на 7, 9, 11, 13, 14, 18, 21, 22, 23, 25 и еще много других равных частей. Доказательство этого факта принадлежит замечательному немецскому математике Карлу Фридриху Гауссу.