Решения задач М321—М325; Ф333, Ф335—Ф338

51

Ф375. На горизонтальной поверхности лежат два бруска с массами $m_1$ и $m_2$, соединенные недеформированной пружинкой. Какую наименьшую горизонтальную силу $F$ нужно приложить к одному из брусков, чтобы сdwинуляя и второй брусок? Коэффициент треня брусков о поверхность равен $k$.

Г. Коткин

Ф376. Песочные часы диаметра $d$ вставлены в запаянную и заполненную водой стеклянную трубку диаметра $D$ ($D \approx d$). В начальной момент часы находятся внизу трубки (рис. 2). При переворочании трубки часы на некоторое время остаточная вверху трубки, затем медленно опускают вниз. Найти время, в течение которого часы находятся вверху трубки, если высота часов $h$ ($h \gg d$), их масса $M$, масса находящerea в часах песка $m$ и коэффициент треня часов о стенки трубки равен $k$. Время пересыпания песка из верхнего в нижний отсеки часов равно $t$.

Ф377. Если смотреть приштурившись на далекие яркие лампы, то обычно видны вертикальные или слегка наклонные столбцы света, идущие вниз и вверх от лампы. Объясните это явление. Придумайте и поставьте опыты для того, чтобы проверить ваше объяснение.

Подсказка. Поверхность роговизы не бывают сухой. Она всегда покрыта слоем слезной жидкости.

Рис. 2.

Решения задач
M321—M325; Ф333, Ф335—Ф338

M321. Имеется прямоеольный стол плочади 1. Докажите, что для любого ε>0 можно указать систему прямоеольных салфеток, покрывающих этом стол (края салфеток паралельных краям стола), макую, что любая ее подсистема, состоящая из неперекрывающихся салфеток, имеет плочадь, меньшую ε.

Мы будем говорить, что система салфеток $A$ является подсистемой системы $B$, если всякая салфетка из $A$ является салфеткой из $B$. Введем такое обозначение $S(A)$ — площадь системы $A$ — это площадь части стола, покрытой салфетками из $A$.

Прежде чем начать решать задачу, опишем построение двух системы салфеток, которые пригодятся нам в дальнейшем.

1. Построение системы $A^k$.

Система $A^0$ состоит из одной салфетки с координатами вершин $(0, 0), (a, 0), (0, b), (a, b)$.

Система $A^0$ получается из системы $A^{k-1}$ добавленным двух салфеток: (см. рисунок 1): салфетки с координатами вершин $(0, 0), (2^k a, 0), (0, 2^{-k} b), (2^k a, 2^{-k} b)$, и салфетки с координатами вершин $(0, 0), (2^{-k} a, 0), (0, 2^k b), (2^{-k} a, 2^k b)$.

Каждая из этих салфеток имеет плочадь $ab$ ировно наполовину вылезает из системы $A^{k-1}$, поэтому $S(A^k) = S(A^{k-1}) + ab$ и $S(A^k) = (k+1) \cdot ab$, то есть

$(nлощадь каждой салфетки) = \frac{S(A^k)}{k+1}.$ (*)

Заметим, что всякие две салфетки из системы $A^k$ перекрываются.

2. Построение системы $B^k$.

Система $B^0$ совпадает с уже построенной системе $A^k$, у которой параметры $a$ и $b$ подобраны так, что $2^k a$ и $2^k b$ — это длинны сторон стола, а система координат $xOy$ связана со столом следующего образом: начало координат $O$ — произвольный угол стола, а оси координат направлены по сторонам стола.

Система $B^k$ получается из системы $B^{k-1}$ так. Нужно частота стола, не покрытую салфетками системы $B^{k-1}$, мысленно разрезать на прямуюольные столки и на каждом из них построить «свою» системы $B^0$. Затем к салфеткам системы $B^{k-1}$ нужно добавить полученные новые салфетки — это и будет система $B^k$.

Теперь легко решить задачу. Пусть $\varepsilon > 0$. Выберем $k$ так, чтобы $\frac{1}{k+1} < \frac{\varepsilon}{2}$. Заметим,

52

Рис. 1.

Что система $B_n^k$ состоит из большого числа попарно неперекрывающихся подсистем, подобных $A^k$. Если в $B_n^k$ выбрать подсистему $C$ непересекающийся салфеток, то в каждую из таких систем, составляющих $B_n^k$, входит не более одной салфетки из $C$. Используя (*), получим, что $S(C) \leq \frac{S(B_n^k)}{k+1}$.

А так как $S(B_n^k) < 1$ и $\frac{1}{k+1} < \frac{\varepsilon}{2}$, то $S(C) < \frac{1}{2}\varepsilon$ (**)

для любого $n$ и любой подсистемы $C \subset B_n^k$. Осталось выбрать $n$. Заметим, что $S(B_0^k) = S(A^k) = (k+1)ab$; но так как $S_{\text{стола}} = 2^{2k} \cdot ab (= 1)$, то, следовательно, $S(B_0^k) = \frac{k+1}{2^{2k}}$. (площадь стола, на котором построена $B_0^k$).

Теперь ясно, что площадь части стола, не покрытой салфетками системы $B_n^k$, равна разности между площадью части стола, непокрытой салфетками системы $B_{n-1}^k$, и произведением $\frac{k+1}{2^{2k}}$ на эту площадь, то есть $1 - S(B_n^k) = \left(1 - S(B_{n-1}^k)\right)\left(1 - \frac{k+1}{2^{2k}}\right)$.

Из этого следует, что площадь части стола, не покрытой системой $B_n^k$, меньше $\left(1 - \frac{k+1}{2^{2k}}\right)^n$.

Выберем $n$ так, чтобы $\left(1 - \frac{k+1}{2^{2k}}\right)^n < \frac{\varepsilon}{2}$. Часть стола, не покрытой системой $B_n^k$, покрыт не перекрывающимся салфетками

М322. a) Фигура, состоящая более чем из одной точки, является пересечением $N$ кругов. Докажите, что границу этой фигуры можно представить в виде обедининия не более $2N-2$ дуг окружности.

б) В алфавите $N$ буква. Несоклько букв выписано по окружности макс, что нижкая буква не встречается два раза подряд и для любых двух различных буква a, b можно провести прямую макс, что все буквы a будут по одному сторону от прямой, a буквы b — no другую (рис. 2). Докажите, что выписано не более $2N-2$ буква.

Покажем, каким образом задача a) выводится из задачи б).

Возьем алфавит из $N$ букв и присвоим каждому из данных кругов одну из букв этого алфавита. Будем обходить границу данной фигуры, выписывая последовательно буквы, обозначающие круги по границам которых мы

54

Жет сделать $M=31$. После очередного хода второго игрока будет выполнен неравенство $16 \leq M \leq 30$, и начальная сходимым делом делает $M=15$. Далее сводим ходами начинающий последовательное добавается, чтобы число $M$ равнялось 7, 3 и, наконец, 1, что и означает его победу.

Так же можно доказать, что в этой игре выиграет начинающий, если вначале $M \neq 2^k-1$, где $k$ — натуральное, и его парнер — если $M=2^k-1$.

С. Фомин

М325. В числовом треугольнике верхнее число равно 1 и крайные числа в каждой строке—може 1, а каждое из остальных чисел не меньше суммы двух чисел, стоящих над ним (в частиности, эмму условно удовлеворяем «треугольник Паскала»). Пусть намуральное число $a$, большое 1, встречается в этом треугольнике $k$ раз. Доказим, что $2^k < a^2$.

Разобъем числовой треугольник на прямые углы (см. рисунок 6) и занumerем эти углы числами 0, 1, 2, 3, 4, … Пусть $x_m$ — число, стоящее в вершине $m$-го угла, а $y_m$ и $z_m$ — числа, стоящие над числом $x_m$, $m \geq 1$. Тогда $y_m \geq x_m-1$ и $z_m \geq x_m-1$, а так как $x_m \geq y_m + z_m$, то $x_m \geq 2x_m-1$, причем если $m \geq 2$, то $y_m > x_m-1$, $z_m > x_m-1$, так что $x_m > 2x_m-1$. Так как $x_0 = 1$, то $x_m \geq 2^m$, причем $x_m > 2^m$ при $m \geq 2$. Предположим

Рис. 6.

терерь, что $x_m$ — наиболее из чисел, расположенных в вершинах углов, не превысняя числа $a$, то есть $x_m \leq a$, $x_{m+1} > a$. «Стороны» каждого из углов с номерами 1, 2, …, $m$ содержат не более двух чисел, равных $a$, а углы с номерами, большими $m$, состояят из чисел, больших $a$. Следовательно, $k \leq 2m$. В то же время $a \geq x_m \geq 2^m$, откуда следует, что $2^k \leq 2^{2m} \leq a^2$, причем равенство $2^k = a^2$ возможно лишь при $m = 1$. Но тогда $k \leq 2$, $2^k \leq 4$, так что $a = 2$. Но легко убедиться, что число 2 может встречаться в числовом треугольнике не более одного раза, так что и в этом случае $2^k < a^2$.

Ю. Нонин

Ф333. На непроводящем диске радиуса $R$ закреплена по хорде проводка длиной $l$. Диск врачается с постоянной угловой скоростью $\omega$. Перpendicularно к диску направляется.

Рис. 7.

лено магнитное поле с индукцией $B$ (рис. 7). Наимпusrность потенциалов между серединой и концом проводки.

Рассмотрим сначала проводник $OA$ длины $R$, закрепленный на диске вдоль его радиуса. При вращении диска на свободные электроны проводника будет действовать сил Лоренца, следствие чего между проводника возникнет разность потенциалов. Ее можно расчитать, представив, что движущийся конец $A$ проводника скольчит по получкуглому контактному проводу, соединенной с концом $O$ через волтметр (рис. 8). Тогда за малый промежуток времени $\Delta t$ площадь контура, образованного движущимся и покоящимся проводниками, изменится на $\Delta S = R^2\omega \Delta t/2$, а магнитный поток через контур — на $\Delta \Phi = B\Delta S$. Следовательно, абсолотная величины $\Delta c$ и индукции в контуре, равная модulo разности потенциалов на концах проводника, будет равна $|\mathcal{E}_1| = \Delta \Phi/\Delta t = BR^2\omega/2$, причем потенциал неподвижного конца $O$ проводника будет выше потенциала конца $A$.

Если бы длина проводника была равна $a$, то потенциаль конца $O$ был бы выше соответствующего на величины $\mathcal{E}_2 = Ba^2\omega/2$.

Вернемся теперь к исходной задаче. Дополнительно по хорде, двумя проводниками длины $R$ и $a = \sqrt{R^2-l^2}/4$, соединяющихся центром диска с одним из концов проводки и с ее серединой (точки $A$ и $C$ на рисунке 9). При вращении диска магнитный поток через треугольный контур $AOCA$ не меняется, следовательно, полная э. d. c. индукции в контуре равна нулю, т. е.

$\mathcal{E}_{CA} - \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 = 0$.

Это означает, что искомая разность потенциалов между серединой $C$ проводки и ее концом $A$ равна

$\mathcal{E}_{CA} = \mathcal{E}_1 - \mathcal{E}_2 = \frac{B\omega}{2}(R^2 - a^2) = Bl^2\omega/8$.

Б. Буховцев

55

Ф335. Цилиндрический соуед радиуса $R$, ось которого составляет угол $\alpha$ с вертикальной заполененной водой. В цилиндр опускают хорошо примерный поршень, матерIAL компонент пропускаем воздуха, но непроницаем для воды. При каком минимальном весе поршня всегда его нижняя поверхность будет касаться водой?

Рассмотрим силы, действующие на поршень. Это — сила тяжестни $mg$, равной действующая $Q$ сил давления воды и сила реакции $N$ со стороны стенок цилиндра (рис. 10).

По условию задачи вес поршня должен быть минимальным. Это означает, что в самом верхней точке касания поршня и воды (точка 0 на рисунке 10) давление воды равно нулю. С увеличением $x$ давление $p$ растет пропорционально $x$:

$$p = \rho gh = \rho gx \sin \alpha$$

(ρ — плотность воды). Для того чтобы найти равноведействующую $Q$ сил давления на поршень, разобем его поверхности соприкосовения с водой на узкие полоски также, что на каждой из них давление можно считать постоянным. Выберем две одинаковые полоски $A$ и $B$ (с площадью $s$ каждая), расположенные по разные стороны от центра поршня на равных расстояниях $a$ от него (рис. 11), и подсчитаем силу $\Delta Q$, действующую на обе полоски вместе. Давление воды в точках полоски $A$ равно $p_A = \rho gx_A \sin \alpha = \rho g(R - a) \sin \alpha$, а в точках полоски $B - p_B = \rho gx_B \sin \alpha = \rho g(R + a) \sin \alpha$. Поэтому

$$\Delta Q = p_A s + p_B s = 2s\rho gR \sin \alpha.$$

Отсюда видно, что сила $\Delta Q$ не зависит от расстояния $a$, т. е. не зависит от положения полосок. Она определяется лишь суммарной площадью выбранных полосок. Следовательно, сила давления, действующая на весь поршень, будет равна

$$Q = \rho gR \sin \alpha \cdot \Sigma s_i,$$

где $s_i$ — площадь $i$-й полоски. Но $\Sigma s_i$ — это площадь поршня, т. е. $\Sigma s_i = \pi R^2$, и

$$Q = \pi \rho g R^3 \sin \alpha.$$

Будем считать, что трения между поршнем и стенками цилиндра нет; тогда сила реакции $N$ направлена перpendicularно к стенкам цилиндра.

При равновесии поршня сумма проекций всех сил на любое направление, а значит, и на ось $Y$, равна нулю. Тогда

$$Q - mg \cos \alpha = 0, \quad \text{или } mg = \pi \rho g R^3 \mathrm{tg} \alpha.$$

Так как в нашем случае вес поршня (сила $P$, с которой поршень действует на опору — на воду и стенки цилиндра) равен по абсциссной величины сил тяжестни, то

$$P = mg = \pi \rho g R^3 \mathrm{tg} \alpha.$$

И. Словодечкий

Рис. 8.

Рис. 9.

56

Рис. 11.

Ф336. Ццилиндрическая чашка со ртумью вразашошемся сосуде принята форму параболюда вращения. Расстояние на поверхности жидкости неоторный малый элемент массы $m$, нахождение на расстоянии $x$ от оси вразашения (рис. 12). На этот элемент действуют силы тяжестии $mg$ и силы реакции $N$ со стороны остальной жидкости. Сила $N$ направлена перpendicularно свободной поверхности жидкости. Это следует из того, что свободная поверхность жидкости есть поверхность постоянного давления.

Поскольку выбранный элемент равномерно вразается по окружности радиуса $x$, результирующая сила, действующая на него, направлена по горизонтали к оси враза и разна $m\omega^2 x$. Из параллелограмма сил на рисунке 12 находится:

$$tg\alpha = \frac{\omega^2 x}{g},$$

(1)

Рис. 13.

самыми углами, и мы получим:

$$\alpha \approx \frac{\omega^2 x}{g}, \quad \beta \approx \frac{x}{R}.$$

Отсюда следует, что наличитим приближением к поверхности вразашошемся жидкости является сфера радиуса $R = \frac{g}{\omega^2}$. Фокусное расстояние такой поверхности (вогнутого зеркала) есть *)

$$F = \frac{R}{2} = \frac{g}{2\omega^2}.$$

*) Фокусное расстояние параболического зеркала можно найти непредседательно. Для этого надо воспользоваться канонечским уравнением параболы и ее фокальным свойством (см., например, статью И. Н. Бронштейна «Парабола», «Квант», 1975, № 4).

57

Ф337. При наблюдении в мелескопе яркие звезды видны даже днем. Объяснение, почему.

Если смотреть невооруженным глазом, то звезды не видны на фоне яркого дневного неба из-за слабой контрассной чувствительности глаза. Констракт может быть резко повышен, если наблюдая встики с помощью telescopа. Разберемся в этом подробнее.

Глаз оценивает яркость объектов по освещенности их изображения на сетчатке. Чем более яркий источник, тем больше освещенность его изображения. Мерой контрассности изображения звезды на фоне неба может служить отношение освещенности их изображения на сетчатке глаза, т. е. $E_{3B}/E_\phi$. Это отношение зависит как от параметров симних источников (звезды и фона), так и от оптических инструментов, с помощью которых ведутся наблюдения.

Рассмотрим сначала картину, которая обрабатывается на сетчатке невооруженного глаза. Пусть $d$ — диаметр экрана, $f$ — фокусное расстояние глазной оптики. Освещенность нахождения как относение светового потока к площади изображения. При этом нужно иметь в виду, что изображение звезды (точного источника) имеет вид диффрационного пути. Размер этого пути нельзя получить по формулам геометрической оптики. В теории диффрациции показывается, что линейный размер диффрационного пути в фокусе линзы порядка $\frac{\lambda}{d} f$, где $\lambda$ — длина волны $^*$).

Выберем небольший элемент неба (фона). Световой поток от этого удаленного источника света, попадающий в глаз, очень/no, пропорционален $d^2$. Площадь изображения такого протяженного источника пропорциональна $f^2$. Отсюда освещенность фона $(E_\phi)_1 \sim \frac{d^2}{f^2}$.

Козффициент пропорциональности определяется яростью источника и не меняется при изменении способа наблюдения.

Световой поток от звезды также пропорционален $d^2$, а площадь диффрационного изображения на сетчатке пропорциональна $\left(\frac{\lambda}{d} f\right)^2$. Таким образом, $(E_{3B})_1 \sim \frac{d^2}{\left(\frac{\lambda}{d} f\right)^2} = \frac{d^4}{\lambda^2 f^2}$. Важно отметить, что освещенность диффрационного изображения звезды оказывается изобравенной звезды и фона на сетчатке невооруженного глаза пропорциональностью $d^2$.

*) См., например, статью В. Е. Белонучки и С. М. Козела «Оптический telescop», «Кваант», 1972, № 4.

$$\left(E_{3B}/E_\phi\right)_1 \sim \frac{d^2}{\lambda^2}.$$

В результате условия дневного наблюдения это отношение $(E_{3B}/E_\phi)_1$, являющееся мерой контрассности изображения, таково, что невооруженный глаз практически не видит звезды на фоне яркого неба.

Пусть теперь глаз вооружен telescopом. Тelescop состоит из двух линз: объектива и окуляра. Ход лучей от бесконечного удаленного объекта, находящегося на оптической основе telescopа, показан на рисунке 14. Первое изображение объекта получается в фокальной плоскости изображения $O_1$. Глаз рассматривает это изображение через окуляр $O_2$ как через лупу. Изображение, которое получается на сетчатке глаза, подобно изображению в фокальной плоскости изображения. Поэтому для решения нашей задачи достаточно рассмотреть относение освещенности изображений звезды и фона в этой плоскости. Повторяя рассуджение, приведенные выше, получим:

$$\left(E_{3B}/E_\phi\right)_2 \sim \frac{d^2}{\lambda^2},$$

где $D$ — диаметр объекта telescopа. Поскольку коэффициенты пропорциональности в выражениях (1) и (2) одни и те же (они зависит только от самих источников света — звезды и фона), то

$$\frac{(E_{3B}/E_\phi)_2}{(E_{3B}/E_\phi)_1} = \frac{d^2}{d^2}.$$

Таким образом, telescop увечивает контрассность изображения звезды на фоне неба в $\left(\frac{d}{d}\right)^2$ раз.

Для больших астрономических telescopов это относение достигает значений порядка $10^5 - 10^6$. С помощью таких telescopов можно увидеть днем даже очень звезды.