Задачи М361—М365; Ф373—Ф377

50

Задание

M361. Двое играют в следующую игру. На клетчатой бумаге выделяется прямогольник $m \times n$ клеток. Каждый по очереди вычеркивает все клетки какого-нибудь горизонтального или вертикального ряда, в котором еще есть невычеркичные клетки. Выигравает тот, кто вычеркивает последние клетки.

Кто может обеспечить выиграть: начинающий или его партнер? (Ответ, конечно, зависит от $m$ и $n$.)
А. Бернард, А. Фельштин, А. Ткачев

M362. Подаим каждую сторону выпуклого четырехугольника $ABCD$ на три равные части и соединим отрезками соответствующие точки на противоположных сторонах (рис. 1). Доказите, что площадь «среднего» четырехугольника в 9 раз меньше площади четырехугольника $ABCD$.
А. Лопшиц

M363. Две параболи с параллельными осями пересекаются в точках $A_0$ и $B_0$. На первой из них берутся точки $A_1, \dots, A_{2n}$, на второй — точки $B_1, \dots, B_{2n}$ так, что $A_0A_1||B_0B_1, A_1A_2||B_1B_2, \dots, A_{2n-1}A_{2n}||B_{2n-1}B_{2n}$. Доказите, что $A_0B_{2n}||B_0A_{2n}$.
Нечен Коне Кви

M364. Из 16 космонавтов нужно выбрать 4-х — экипаж кссмического коаблаля. Тренировки проводятся с 4-мя экипажами по 4 человке в каждой

Рис. 1.

дом. Можно ли составить расписание тренировок таким образом, чтобы любые два космонавта pobывали в одном экипажеровно один раз?

M365. a) Сумма несколько чисел равна 1. Может ли сумма их кубов быть больше единиц?
b) Может ли счупиться, что ряд $a_1 + a_2 + a_3 + \dots$ сходится, а ряд $a_1^3 + a_2^3 + a_3^3 \dots$ — нет?
(Напомним, что ряд $x_1 + x_2 + x_3 + \dots$ называется сходящимся, если последовательность чисел $S_n = x_1 + x_2 + \dots + x_n$ имеет предел.)

Ф373*. Два биллардных шара, один из которых первооначально покопится, испытывают упругое «косое» столковение. Линия, прохождение через центры шаров при столковении, составляет угол $60^\circ$ с направлением первооначального движения на летающего шара. Во время столковения шары деформаруют, и часть кинетической энергии налетаются шара переходит в потенциальную энергию упругой деформации шаров, которая при разлепе шаров вновь переходит в кинетическую энергию. Определить максимальное число частей энергии шаров, переходящую в энергию упругой деформации в процессе удара. Шары считать абсолотно гладкими.

Ф374*. На дне стакана с водой лежат несколько запаяных с одной конца и заполненных воздухом капиллярных трубок. Динамир трубок $d = 0,2$ мм, высота уровня воды в стакане $h = 10$ см. При кипении воды у открытых концов трубок образуют пузыры пара. Чему равна температура воды на дне стакана, если атмосферное давление равно $10^5$ к/$m^2$? Козффициент поверхностиного натяжения воды принять равным 57 дин/см. Считать, что давление насыщенных паров воды влизи 100°C возрастает на 27 мм рм. см. при повышении температуры на 1°.