2
Задча Мёбиуса и ее продолжение
Полтора века назад (в 1823 г.) молодой тридцатлетний астроном обсерватории в Лейппите Август Мёбиус образил внимание математиков на то, что хотя уже Эйлер расматривал не только простые геометрические преобразования (движения и подбия), но и более общие, которые он назвал аффинными*). они все неодостаточно применяются геометрами.
Мёбиус указывает при этом, что многогеометрические задачи, содержание которых не использует ни поняття длины, ни измерения углов, решались и после Эйлера чужыми их содержанию средствами, и высказывал свое убеждание**), что следовало бы также задчи по возможности полно представить, систематически их расположить и разить самостояльное геометрическое направление, которое не использало бы ни тригонометрики, ни Magister Matheseos (так называли в XVII века теорему Пифагора). Далее он продолжает: «В первые годы мого пребывания
*) Так называют геометрические преобразования, которые применяют в примыке, причем параллельные примыке переходят в параллельные примыке.
**) Эти и последующие высказывания Мёбиуса содержатся в его первой математической работе «Две геометрические задачи», направанной в качестве приложения в астрономическом издании: «Наблюдения Королевской Университетской Обсерватории» в Лейппите в 1823 году.
здесь*), когда мои обязанности оставляли мне больший доступ, я сделал попытку в этом направлении. Я был к этому подготовлен благодаря ранее изобретенному много особого рода геометрико-аналитической исчисленью, с помощью которого я сразу обнаружил, что именно эти общие свойства фигур**) и составляют, собственно, область его применения; благодаря этому исчисленью я получил возможность обнаружить геометрические результаты, к которым другие методы меня привели бы на более трудном пути.
Полное изложение этого «исчисления» Мёбиус дал в 1827 году в своем общирном труде «Барисентрическое исчисление». Эту книгу Феликс Клейн назвал «подлиннымkladомидей,изложенныхсизумительнойясность»; самого же Мёбиуса Клейн считал предшественником своей Эрлангенской программы, сделавшейся впоследствии программим многих основных направлений в области геометрии XIX и XX столейй (см. статью С. Гиндикина «Феликс Клейн», «Квант», 1975, № 12).
Мы не можем здесь подробно остановывать на этой замечательной книге Мёбиуса; скажем только, что в ней отсутствивы выявляются основы векторной алгебры и ее приложений к геометриям (все это теперь изучается в школе).
В этой небольший заметке мы познакомим читателя с задачей Мёбиуса, которое он哉ел достойной того, чтобы привлечь внимание математков своего времени к новому кругу геометрических проблем.
В своей первой работе (1823 г.) он пишет: «Из многочисленных, относящихся к этой области задачи я разрешаю себе предложить читателю для самостоятельного решения следующую:
Каковые две из примывulous заданных в плоскости мочек А, В, C, D, Е содержены прямой. Площади
*) В Лейппигской обсерватории.
**) To есть свойства, сохраняющие при аффинных преобразованиях и поэтому не зависящие от измерения длины и углов.
4
при котором он разлияет направление обхода *).
В конце своей небольшой статьи «Письмо профессора Мёбиуса к издателью журнала» («Астропомические известия», 1825, т. 3) Мёбиус по поводу предложенной им задачи пишет:
«Не довольно говорить о столбной задаче, которая, рассмотренная сама по себе, есть просто курьез; она заслуживает неокоторого внимания лишь постолько, поскольку представляет пример следующей теоремы, которая мне кажется новой: если каждый две точки какой-либо системы п точек, расположенных в плоскости, соединить прямой линии, и если считать заданным площади (неависимые между собой) каких-либо 2n—5 многоугодыков, возникающих от пересечения этих прямых, то через них можно выразить площадь какдоо из остальных многоугодыков».
Доказательство этой теоремы может быть предметом самостоятельного исследования читателя (Мёбиус также опубликовал его в своей книге «Барисентрическое исчисление»).
Предложим еще одну задачу — она является своеобразным продолжением первого (и также, как она, представляется пример теоремы типа теоремы Мёбиуса).
В пямцуольнике ABCDE заданы площади p, q, r, s, t треугольников ACD, BDE, CEA, DAB и EBC.
*) Подробное изложение теории изменения «площадей ориентированных фигур» вместе с приложениями этой теории (в геометрии и геодезии) читатель найдет в брошюре А. М. Лопш ица — выпуск 20 серии «Популярные лекции по математике», М., 1956 год.
Площадь п-угодыка, λ-сопряженного с заданным многоугодыком , равна , где числа P, Q, R определяются площадью многоугодыка и площадью многоугодыка , -сопряженного с многоугодыком (его вершины являются серединами последовательных сторон многоугодыка : — середина , — середина и т. д.).
Мы надеемся, что эти задачи заинтересуют наших читателей. Их решения мы предполагаем опубликовать позже. А пока — ждем ваших писем.
Рис. 3.