Задачи наших читателей

27

орнаментом. На рисунке 9 изображены три линейных орнамента, причем разного типа — с различно устройством группами симметрий (объясните, в чем разница).

Задача 2. Перечисление все возможные типы линейных орнаментов (и докажите, что другие возможные нет!).

Сообщаем ответ: число различных линейных кристаллографических групп равно 7.

Б) Перечисление правил ильных паркетов.

Паркетом называется разбиение плоскости на многоугольники, при котором каждые два многоугольника либо не пересекаются, либо имеютровно одну общую вершину, либо имеют общую сторону, причем объединение сторон всех многоугольников является плоским орнаментом. Паркет называется правильным, если все многоугольники разбиения правильные (возможно, с различным числом сторон) и любую вершину паркета можно перевести в любую другую его вершину некоторым перемещением, отображающим весь паркет на себя. Изображенные на рисунке 10 разбиения А) и Б) вообще не являются паркетами в определенном выше смысле; разбиения В) и Г) — паркеты, но не правильные, и, наконец, разбиения Д) и Е) являются правильными паркетами (объясните).

Задача 3. Найдиме все возможные правильные паркеты.

Эта задача уже была сформирована в «Кванте»: в статье А. Н. Колмогорова «Паркеты из правильных многоугольников» («Квант», 1970, № 3). В этой статье изложен и возможность подход к перечислению всех правильных паркетов. Сообщаем ответ: число различных, с точностью до подобия, правильных паркетов равно 11.

Литература

Г. С. М. Кокстер, Введение в геометрию, главы 3, 4 и 15 (М., «Наука», 1966).

Г. Вейль, Симметрия, третья лекция (М., «Наука», 1968).

Д. Гильберт и С. Кон-Фосен, Назадная геометрия, глава II (М. — Л., ГТТИ, 1951).

Задачи наших читателей

Докажите следующие соотношение между элементами остругольного треугольника ABC:

$$\frac{|C_0A_0| \cdot |A_0B_0|}{h_a^2} + \frac{|A_0B_0| \cdot |B_0C_0|}{h_b^2} + \frac{|B_0C_0| \cdot |A_0C_0|}{h_c^2} = 1,$$

где $A_0, B_0$ и $C_0$ — основания высот, опущенных из вершин $A, B, C$ соответственно; $h_a, h_b, h_c$ — длины соответствующих высот.

У. Алая
(г. Выру Эстонской ССР)