Задачи М431—М435; Ф443—Ф447

28

Задачик
кванта

Задачи

M431—M435; Ф443—Ф447

M431. В лесу растут деревья цилиндрической формы. Связисту нужно протянуть по лесу провод из точки A в точку B, расстояние между которых равно l. Докажите, что для этой цели связи достаточно иметь кусок провода длиной 1,6 l.
A. Альтшиллер

M432. Существует ли полный квадрат, сумма цифр которого равна
a) 1977;
b) 1978?
b) * Выясните, какие натуральные числа могут быть суммами цифр квадрата целого числа.
A. Гришков

M433. В выпуклом пятнуюгольнике ABCDE сторона BC параллельна диагонали AD, сторона CD — диагонали BE, сторона DE — диагонали AC и сторона AE — диагонали BD (рис. 1). Докажите, что сторона AB параллельна диагонали CE.
Э. Туркевич

M434. Число $\frac{2}{1} + \frac{2^2}{2} + \frac{2^3}{3} + \dots + \frac{2^n}{n}$ представляется в виде несократимой дроби $\frac{p_n}{q_n}$.
a) Докажите, что $p_n$ — четное число.
b) Докажите, что если $n \geq 3$, то $p_n$ делится на 8.
b) * Докажите, что для любого натурального k можно указать такое n, что числа $p_n, p_{n+1}, p_{n+2}, \dots$ делятся на $2^k$.
Д. Фаддеев

M435 *. В таблице размерами $m \times n$ записаны действительные числа, в каждой клетке по числу. В каждом столбце подчеркуто k наиболее чисел ($k \leq m$), в каждой строке — l наиболее чисел ($l \leq n$). Докажите, что по крайней мере kl чисел подчеркуты дважды. Разберите вначале случан a) $k=l=2$; 6) $k=l=3$.
C. Коняции

Ф443. Как известно, земной шар делает полный оборот вокруг своей оси за 23 час 56 мин 04 сек. Следовательно, за сутки все часы, цифрplat которых раз-

29

делен на 24 часа, должны отставать почти на 4 мин. Это составляет почти полчаса в неделю. Почему же мы не замечаем этого отставания и не подводим все часы непрерывно?

Б. Буховцев

Ф444. Тяжелый ящик массы $M$ скатывается по роликам, образующим наклонную плоскость (рис. 2). Расстояние между роликами $l$, их радиусы $r$ и массы $m$. Угол наклона плоскости к горизонту равен $\alpha$. Найти скорость движения ящика, если известно, что она постоянная. Считать, что ролики полые и толщина их стенок $d \ll r$.

Ф445. Конденсатор емкости $C=0,04$ мкф с помощью ключа $K$ перiodических с частотой $v=50$ раз в секунду заряжается от источника с э. д. с. $\mathcal{E}=100$ б и внутренним сопротивлением $r-5$ ом и заряжается через сопротивление $R-1$ком (рис. 3). Определить мощность, выделяемого в нагрузке $R$, и к. п. д. такого устройства. Считать, что время замыкания контактов ключа достаточно, чтобы конденсатор успел полностью зарядиться (положение $I$) и полностью зарядиться (положение $II$).

Ф446. На шероховатой ленте транспортера лежит тело массой $M$, прикрепленное к стене приложенной к (рис. 4). Ленту приводят в движение с постоянной скоростью $v$, и через некоторое время установливается периодическое движение тела. Нарисуйте график зависимости смесиния тела, его скорости и ускорения от времени при этом движении.

Ф447. Вдоль оси, проходящей через центр двух жестко связанных концентрических цилиндров, натянута платиновая проволочка, покрыта слоем сегебра (рис. 5). При прохождения тока по проводке она нагревается, и слой сегебра испаряется. Через узкую прорезь во внутреннем цилиндре часть atomов сегебра пролетает во внешний цилиндр и осаждается на его внутренней поверхности.

Радиус внешнего цилиндра $R=30$ см, радиус внутреннего цилиндра пребрежимо мал по сравнению с $R$; ширина щелки в маленьком цилиндре $\delta=1$ мм. Температура паров сегебра $T=1000^\circ\text{K}$, плотность паров $\rho=10^{-5}\text{e/cm}^3$.

Цилиндры врашаются, делая $n=10$ оборотов в секунду. Найти распределение поверхности плостицы сегебра в слое, осаждающемся на внутренней поверхности большого цилиндра за время $t=1$ сек.