Квант
Разное

[Ответ на вопрос читателя С. Киржалова о решении иррационального уравнения]

Розов Н. Х.

Квант 1977, №3с. 56-57Тег H0M1

56

Спрашивайте — ответаем

В редакцию пришло письмо из города Харькова от Степана Киржалова, ученика 9 класса. Вот что он пишет.

«В «Справочике по элементарной математике» (Киев, 1973 год) я встретил любымный способ решенияирационального уравнения
8x+43−8x−43=2.\sqrt[3]{8x+4} - \sqrt[3]{8x-4} = 2. (*)

Возвсгда сбе части этого уравнения в куб, получим (8x+4)(8x+4) —
−38x+438x−43×(8x+43−8x−43)−(8x−4)=8.-3\sqrt[3]{8x+4}\sqrt[3]{8x-4} \times (\sqrt[3]{8x+4} - \sqrt[3]{8x-4}) - (8x-4) = 8.

Учитывая, что по условию выражение в квадратных скобках должно быть равно 2, может записать
−664x2−163=0,-6\sqrt[3]{64x^2-16} = 0,
откуда x1=1/2x_1=1/2, x2=−1/2x_2=-1/2. Я также способ поprobовал решить другие уравнения
2x−13+x−13=1,\sqrt[3]{2x-1} + \sqrt[3]{x-1} = 1, (**)

но оказалось, что из двух получившихся значений x1=1x_1=1, x2=0x_2=0 только первоое удовлетворяем уравнению. В чем же дело?

Поскольку ответ на письмо Степана Киржалова может представить интерес и для многих других читателей «Кванта», публикуем этот ответ на страницах журнала.

Прежде всего напомним читателям, что в математической литературе запись a3\sqrt[3]{a} используется в двух смыслах (см. «Алгебра 8», М., «Просвещение», 1975, стр. 95).

Во-первых, символьм a3\sqrt[3]{a} обозначает неотрицательное число, куб которого равен aa; тогда этот символь определяет при любом aa. В упомянутой в письме С. Киржалова книге Г. П. Бевза, П. Ф. Фильчакова, К. И. Швецова, Ф. П. Яремчука «Справочик по элементарной математике для построения вузы» (Киев, «Наукова думка», 1973, стр. 152—153) знак a3\sqrt[3]{a} применяется в этом смысле, так что, например, выражение 8x−43\sqrt[3]{8x-4} при x=−1/2x=-1/2 существует и равно -2.

Способ решенияирационных уравнений с радиkalamми третьей степени, о котором пишет автор письма, применяется довольно часто. О нем упоминается и в названном «Справочике», однako, к сожалению, там не указано, что, решая уравнение максим способом, мы можем прибрести посторониные корни, и помому всегда нужно делать проверку.

Убедиться в этом нетрудно. Мы сейчас проводим соответствующее рассуждение, тем более, что они весба поччительны и показывают, как конкретно исследуется вопрос о равносильности уравнений и выясняются причины ее нарушения. Предварительно приведем одно алгебраическое подход:

a3+b3+c3−3abc=12(a+b+c)[(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2];a^3+b^3+c^3-3abc = \frac{1}{2}(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2];

для его доказательства достаточно раскрыть скобки в правой части.

Рассмотрим уравнение

f(x)3+g(x)3=φ(x)\sqrt[3]{f(x)} + \sqrt[3]{g(x)} = \varphi(x)

и допустим, что x0x_0 — его корень, так что

57

f(x0)3+g(x0)3−φ(x0).\sqrt[3]{f(x_0)} + \sqrt[3]{g(x_0)} - \varphi(x_0).

Возвода обе части верного числового равенства (3) в куб и продолжные преобразования, получим:

f(x0)+3f(x0)3g(x0)3[f(x0)3+g(x0)3]+g(x0)=φ3(x0).f(x_0) + 3\sqrt[3]{f(x_0)} \sqrt[3]{g(x_0)} \left[ \sqrt[3]{f(x_0)} + \sqrt[3]{g(x_0)} \right] + g(x_0) = \varphi^3(x_0).

Если снова воспользоваться верным числовым равенством (3), то получим равенство

f(x0)+3f(x0)3g(x0)3φ(x0)+g(x0)=φ3(x0),f(x_0) + 3\sqrt[3]{f(x_0)} \sqrt[3]{g(x_0)} \varphi(x_0) + g(x_0) = \varphi^3(x_0),

которое показывает, что x0x_0 — корень уравнения

f(x)+3f(x)3g(x)3φ(x)+g(x)=φ3(x).f(x) + 3\sqrt[3]{f(x)} \sqrt[3]{g(x)} \varphi(x) + g(x) = \varphi^3(x).

Таким образом, всякий корень уравнения (2) является корнем уравнения (5).

Рассмотрим теперь уравнение (5) и допустим, что x0x_0 — его корень, так что выполнен числовое равенство (4). Применяя тожество (1) при

a=f(x0)3,b=g(x0)3,c=−φ(x0),a = \sqrt[3]{f(x_0)}, b = \sqrt[3]{g(x_0)}, c = -\varphi(x_0),

перепишем равенство (4) в виде

12(f(x0)3+g(x0)3−φ(x0))×∣(f(x0)3−g(x0)3)2+(f(x0)3+φ(x0))2+(g(x0)3+φ(x0))2∣=0.\frac{1}{2} \left( \sqrt[3]{f(x_0)} + \sqrt[3]{g(x_0)} - \varphi(x_0) \right) \times \left| \left( \sqrt[3]{f(x_0)} - \sqrt[3]{g(x_0)} \right)^2 + \left( \sqrt[3]{f(x_0)} + \varphi(x_0) \right)^2 + \left( \sqrt[3]{g(x_0)} + \varphi(x_0) \right)^2 \right| = 0.

Из равенства (6) видно, что число x0x_0 либо удовлетворяет равенству (3), то есть является корнем уравнения (2), либо удовлетворяет равенству

f(x0)3=g(x0)3=−φ(x0),\sqrt[3]{f(x_0)} = \sqrt[3]{g(x_0)} = -\varphi(x_0),

то есть является решением системы уравнений

{f(x)=−φ3(x),g(x)=−φ3(x).\begin{cases} f(x) = -\varphi^3(x), \\ g(x) = -\varphi^3(x). \end{cases}

Таким образом, уравнение (5) может иметь корни, не являющиеся корнями уравнения (2). Нетрудно убедиться, что корень x0x_0 уравнения (5) является построенным для уравнения (2) тогда и только тогда, когда выполнены условия

{φ(x0)≠0,f(x0)=g(x0)=−φ3(x0).\begin{cases} \varphi(x_0) \neq 0, \\ f(x_0) = g(x_0) = -\varphi^3(x_0). \end{cases}

Найdenное автором письма значения x=0x = 0 удовлетворяет этим условиям и потому будет построенным корнем для уравнения (**).

В заключение еще раз отмечим, что с точки зрения новой школьной программы значение x=−1/2x = -1/2 не является корнем уравнения (), поскольку при этом значения левая часть уравнения () не определяна.

H. Розов