[Примерные варианты вступительных экзаменов по математике в вузы в 1977 году для втузов]

52

4. Правильный тетраэд содержится в шаре радиуса $R$ так, что три его вершины принадлежат сфере, а четвертая вершина отстоит от центра сферы на расстояние $d$. Найти ребро тетраэд.
5. Докажите, что композиция двух осьвых симметрий с параллельными осями есть параллельный перенос.
   Л. Садовский, Э. Шувалова

II. Для остальных факультетов вузов.

1. Найти область определения функций:
   a) $y = \lg(x - 1) - \arcsin \frac{x}{3}$;
   b) $y = \sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}}$;
   c) $y = \frac{\sqrt{x^2 - 10x + 9}}{\log_2(x + 1)}$;
   d) $y = \lg(1 - \lg(x^2 - 5x + 14))$.

2. Дана функция $f(x) = x^4 + 5x^2 + 1$. Показать, что $f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{f(x)}{x^4}$.

3. $f(x) = x^2$. Найти:
   a) $\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$;
   b) $\frac{f(a + h) - f(a - h)}{2h}$.

4. Дана функция $f(x) = \lg \frac{1 - x}{1 + x}$. Показать, что $f(a) + f(b) = f\left(\frac{a + b}{1 + ab}\right)$.

5. Вычислить предель функции:
   a) $\lim_{x \to 5} \frac{x^2 - 7x + 10}{x^2 - 9x + 20}$;
   b) $\lim_{x \to 1} \frac{3x^4 - 4x^2 + 1}{x^3 - x^2 - x + 1}$;
   c) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x} - \sqrt{1 - x}}{x}$.

6. Найти экстремальные значения следующих функций и указать, при каком значении $x$ они достигаются:
   a) $y = 2x^2 + 4x + 7$;
   b) $y = |8x^2 - 8x - 6|$.

7. Найти наиболее и наиболее значения функций $y = \sin 2x - x$ на отрезке $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$.

8. Найти наиболее и наиболее значения функций $y = 2\sin x + \sin 2x$ на отрезке $\left[0, \frac{3\pi}{2}\right]$.

9. Из всех цилиндров, у которых полной поверхности равна $48\pi cm^2$, найти тот, который имеет наиболее объем.

10. Требуется сделать из жестки коробку без крышки с квадратным основанием наиболее объема, площад поверхности которой была равна $12cm^2$. Определить размеры коробки.

11. В разложении бинома
    $$\left(\frac{1}{2}a^2b - 2ab^2\right)^n$$
    вычислить четырьмя членами, если отношение биномального коэффициента третьего члена разложения к биномальному коэффициенту пятого члена равно 2.

12. Доказать метод математической индукции формулы:
    a) $1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + \dots + n(n + 1) = \frac{1}{3}n(n + 1)(n + 2)$;
    b) $\frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \dots + \frac{1}{n(n + 1)} = \frac{n}{(n + 1)}$.

13. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 составляют все возможные числа, не содержащие одинаковых цифр. Сколько среди них чисел, содержащих цифры 2, 4 и 5 однозвременно?

14. Двенадцати ученикам выданы два варианта контроля работы. Сколько способами их можно посадить в два ряда, чтобы у сидящих рядом не было одинаковых вариантов, а у сидящих друг за другом был один и тот же вариант?

15. В треугольнике $ABC$ точка $O$ есть точка пересечения трех медиан. Показать, что $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{0}$.

16. Цилиндр, радиус основания которого равен 1 см и высота 3 см, вписан в шар так, что его основания являются сеченными шара. Найти отношение площади поверхности шара к площади поверхности цилиндра.

17. Полукруг разделен на три конгруэнтных сектора двумя радиусами. Найти отношение объемов функции, полученных при выражении этих секторов вокруг диаметра полукрута.

18. Дана трапеция $ABCD$, в которой $\overrightarrow{BAD} = 60^\circ$. Через большие основание плоскости под углом $45^\circ$ к боковой стороне $AB$. Найти относение плоскости данной трапеции к площаде ее проекции на поверхности плоскости.

19. В треугольник $ABC$, у которой $\hat{A} = 45^\circ$, $\hat{B} = 60^\circ$, вписан в единичную окружность с центром в точке $O$. Вычислите скалярные произведения:

1. $\overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OC}$;
2. $\overrightarrow{OC} \cdot \overrightarrow{OA}$;
3. $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}$.

B. Треноцин, Н. Квачёва