Закон сохранения импульса при соударениях

46

Л. Баканина

Закон сохранения импульса при соударении

Закон сохранения импульса (количественная движения) выполняется для замкнутых систем, то есть таких, которые включают в себя взимодейственный тела, так что ни на одно из тел системы не действуют внешние силы. Однако при решении многих физических задач оказывается, что импульс может оставаться постоянным и для независимых систем. Правда, в этом случае количество движения сохраняется лишь приближенно. Попытаемся разобраться, в чем тут дело.

Изменение импульса $\Delta p$ независимо системы равно суммарному импульсу внешних сил. Обозначим через $\vec{F}_{cp}$ среднее значение результатующего внешней силы, действующего на системе в течение промежутка времени $\Delta t$. Тогда

$$\Delta p = \vec{F}_{cp} \Delta t.$$

Если абсцилная величины этой силы не слишком велика и время, в течение которого действует сила, мало, то произведение $|\vec{F}_{cp}| \Delta t$ тоже будет малым. В таком случае возникнет необходимость оценки, с какой точностью можно считать импульс системы неизменным.

Кроме того, не следует забывать, что импульс — вектор, и, следовательно, можно говорить о сохранении проектции этого вектора на какое-либо направление. Действительно, если система не замкнута, но внешние силы таковы, что сумма проекций всех сил на некоторое направление равна нулю, то проектция импульса системы на это направление остается величиной постоянной. Незамкнутая система в этом направлении аналогична замкнутой.

Кратковременные взаимодействия возник凯от, например, при взрывах, выстрелах, соударениях. Такого типа задачи мы и обсуadm. Пострааемся в каждом конкретном случае выяснить, выполняется или не выполняется закон сохранения импульса и от чего это зависит.

Задание 1. Из пущки, сокальывающей без претеня по наклонной плоскости и проедшей уже путь $l$, производится выстрел в горизонтом направления (рис. 1). При какой скорости снаряда пущка оставится после выстрела? Масса снаряда $m$ много меньше массы пущки $M$, угодна наклонная плоскости $\alpha$.

Перед выстрелом пущка (вместе со снарядом), прошедшая путь $l$, имеет импульс $(M+m)\vec{v}_0$, направленный вдоль наклонной плоскости. Модуль этого импульса можно найти из закона сохранения энергии:

$$\frac{(M+m)|\vec{v}_0|^2}{2} = (M+m)|\vec{g}|l\sin\alpha,$$

и

$$(M+m)|\vec{v}_0| = (M+m)\sqrt{2|\vec{g}|l\sin\alpha}.$$

Сразу после выстрела пущка оставилась, а снаряд попелел в горизонтом направления. Таким образом, несмотря на кратковременность взаимодействия пущки и снаряда, им-

47

пульс этой системы не сохраняется. Почему же?

Во время выстрела резко возрастает сила давления пушки на наклонную плоскость, а значит, возрастает и сила реакции со стороны плоскости, так что импульс этой силы оказывается достаточно большим. Он-то и изменяет суммарный импульс пушки и снаряда.

Одноко в направлении вдоль наклонной плоскости проекция силы реакции равна нулю, а проекция импульса силы тяжести $((M+m)|\vec{g}| \times \sin \alpha \cdot \Delta t)$ за малое время выстрела $\Delta t$ мала и при выстреле не увеличивается. Поэтому можно, с некоторой степенью точности, считать, что в направлении вдоль наклонной плоскости проекция количества движения системы пушки — снаряд сохраняется. Следовательно, проекция суммарного импульса пушки и снаряда до выстрела равна проекции снаряда после выстрела (пушка поконтся):

$$(M+m)\sqrt{2|\vec{g}|l\sin \alpha}=m|\vec{v}| \cos \alpha.$$

Отсюда модель скорости снаряда неисредственно после выстрела

$$|\vec{v}|=\frac{(M+m)\sqrt{2|\vec{g}|l\sin \alpha}}{m\cos \alpha} \approx \frac{M\sqrt{2|\vec{g}|l\sin \alpha}}{m\cos \alpha}.$$

При решении этой задачи мы полагали, что в направлении вдоль наклонной плоскости система пушки — снаряд ведет себя как замкнутая система. Однако оценить, с какой степенью точности это справедливо, мы не можем, так как система взаимодействующих тел сложная и нет необходимости данных для такой оценки.

Разберем теперь две задачи с более простым взаимодействием, где также оценку можно сделать.

Задача 2. В деревянный шар массы $M=1$ кг, подающий вниз со скоростью $|\vec{V}_0|=1$ м/сек, стреллятом силу из ружья и пробиваемого его насквозь. Какую скорость будем импульс шар сразу после эмодения? Скорость пушки при подлеме к шару $|\vec{v}_0|=300$ м/сек,

после выстрела из шара $|\vec{v}|=100$ м/сек, масса пушки $m=10$ e.

Оценим, с какой точностью можно считать систему шар — пуля замкнутой во время их взаимодействия. Другими словами, выясним, можно ли пренебречь импульсом силы тяжести за это время.

Время взаимодействия $\Delta t \approx \frac{d}{|\vec{v}_{\text{cp}}|}$, где $d$ — диаметр шара, а $\vec{v}_{\text{cp}}$ — средняя скорость пули внутри шара. Диаметр шара можно оценить, зная, что плотность дерева $\rho$ приближительно равна плотности воды $\rho_B=10^3$ кг/м³:

$$\frac{4}{3}\pi\left(\frac{d}{2}\right)^3\rho=M, \text{ и}$$

$$d=\sqrt[3]{\frac{6M}{\pi\rho}}\approx 0,1 \text{ м},$$

$$|\vec{v}_{\text{cp}}| \approx \frac{|\vec{v}_0|+|\vec{v}|}{2}=200 \text{ м/сек}.$$

Таким образом, $\Delta t \approx 5 \cdot 10^{-4}$ сек. Импульс силы тяжести системы за это время (а значит, и изменение суммарного импульса шара и пули)

$$|\vec{p}|=(M+m)|\vec{g}| \Delta t \approx 5 \cdot 10^{-3} \text{ м} \cdot \text{сек}.$$

Количество движений системы перед взаимодействием

$$|\vec{p}_0|=m|\vec{v}_0|-M|\vec{V}_0|=2 \text{ м} \cdot \text{сек}.$$

Тогда относение

$$\frac{|\vec{p}|}{|\vec{p}_0|}=\frac{|\Delta\vec{p}_0|}{|\vec{p}_0|}=2 \cdot 10^{-3}=0,2\%,$$

и, следовательно, с точностью до 0,2% можно считать, что во время взаимодействия импульс системы не изменяется.

Запишем закон сохранения для проекции импульса на ось, направленную вертикально вверх:

$$mv_0+MV_0=mv+MV,$$

или

$$m|\vec{v}_0|-M|\vec{V}_0|=m|\vec{v}|+MV.$$

Отсюда проекция скорости шара после взаимодействия

$$V=\frac{m|\vec{v}_0|-M|\vec{V}_0|-m|\vec{v}|}{M}=1 \text{ м/сек},$$

то есть шар начинает движаться со скоростью 1 м/сек.

49

Рис. 3.

Подставив сюда соответствующее значение для $v_1$ и $v_2$:

$$v_1 = -|\vec{v}_1| = -\frac{|\vec{v}_0|}{4},$$
$$v_2 = |\vec{v}_2| = \frac{7|\vec{v}_0|}{4},$$

найдем

$$v'_1 = v_2 = \frac{7|\vec{v}_0|}{4} \text{ и } v'_2 = v_1 = -\frac{|\vec{v}_0|}{4}$$

— при упругом ударе шарики равных масс обмениваются скоростями.

Не следует, одноко, думать, что всегда при соударениях можно пренебречь действием внешних сил и считать систему замкнутой. Для примера рассмотрим такую задачу.

Задача 4. Мешок с мукой слозем без начальной скорости с высоты $H$ по главной доске, наклоненной под углом $\alpha = 60^\circ$ к горизонтуму. После спуска мешок попадаем на горизонтальный шероховатый пол. Козффициент трея мешка о пол $\mu = 0,7$. Где остановится мешок?

После спуска с доски мешок имеет скорость $\vec{v}$, направленную вдоль доски (рис. 3). Ее абсолотную величины можно найти из закона сохранения механической энергии, так как доска гладкая и потерь энергии нет:

$$|\vec{v}| = \sqrt{2|\vec{g}|H}$$

Постотрим, как меняются при соударении с полом проекции импульса мешка на горизонтальную и вертикальную оси. Вертикальная проекция после удара обращается в нуль — мешок неупругий и не подрыгавает после удара. Это означает, что во время соударения на него действует направление в нуль, импульс которого как раз равен вертикальной проекции импульса мешка непосредственно перед соударением. Этот сил может быть только силая реакции $\vec{N}_{cp}$ со стороны пола, следовательно,

$$|\vec{N}_{cp}| \Delta t = m|\vec{v}| \sin \alpha.$$

В горизонтальном направлении на мешок действует сила скольжения, модель которой $|\vec{F}_{tp}| = \mu |\vec{N}_{cp}|$. Импульс этой силы за время удара равен

$$|\vec{F}_{tp}| \Delta t = \mu m|\vec{v}| \sin \alpha,$$

то есть не зависит ни от того, по какому закону изменяется сила реакции опоры (а значит, и сила давления мешка на пол), ни от времени соударения. Найдем изменение горизонтальной проекции импульса мешка. Найравим ось $X$ по горизонтали вправо, тогда, согласно второму закону Ньютона,

$$mv'_x - mv_x = -|\vec{F}_{tp}| \Delta t,$$

или

$$v'_x - |\vec{v}| \cos \alpha = -\mu |\vec{v}| \sin \alpha.$$

Отсюда проекция скорости, с которой мешок начинает движаться по полу,

$$v'_x = |\vec{v}|(\cos \alpha - \mu \sin \alpha) = -0,1 |\vec{v}|.$$

Что означает знак «минус»? Формально знак «минус» говорит о том, что после удара мешок должен движаться влево, или, другими словами, что импульс силы трея оказывается больше первоначальной горизонтальной проекции импульса мешка. Значит, в какой-то момент в процессе соударения проекция скорости мешка на ось $X$ обратилась в нуль. Начиная с этого момента, наше решение становится неверным. Действительно, модель силы трея равен $\mu |\vec{N}_{cp}|$ только при скольжения, а в состоянии покоя трея может принять любые значения от 0 до $\mu |\vec{N}_{cp}|$ в зависимости от того, какие силы (кроме силы трея) действуют на тело. В нашем случае никакие другие силы не имеют проекций в горизонтальном направлении, следовательно, в тот момент, когда горизонтальная проекция скорости мешка обратлась в нуль, сила

50

трения тоже обращается в нуль. Таким образом, мешок по полу вообще двигатся не будет!

Наконец, обсуждим еще одну достагоно известную задачу на соударение тел. При решении этой задачи обычно используют довольно грубые приближения, никак не оговоривая при этом ни то, что это приближение, ни при каких условиях им можно пользоваться.

Задание 5. Настоящий наладкой горизонтальной поверхности клин массы $M$ с высоты $h$ nadaем шар массы $m$ и отскакивает в горизонтальном направлении (рис. 4). Наименование проекцию скорости клина

$\vec{V}$ после удара. Тренец претенбрец, уdar считать абсолютию упругим.

В отличие от всех предыдуших задач здесь нужно рассматривать соударение не двух, а трех тел — шарика, клина и горизонтальной плоскости.

В обшем случае, не делая никаких дополнительных предыдложений о механизме удара, решить эту задачу нельзя. В наиболее распространенном решении этой задачи неявно (без всяких оговорок) предполагается, что соударения шарка с клином и клина с горизонтальной плоскостью происходит одновременно, а клин после соударения имеет только горизонтальную проекцию скорости. Затем записьвают уравнение законов соударения механической энергии и импульса:

$$m|\vec{g}|h = \frac{MV_x^2}{2} + \frac{mv_x^2}{2},$$

$$MV_x + mv_x = 0,$$

где $V_x$ и $v_x$ — соответствующее проекции скоростей клина и шарика на горизонтальной ось, направленную вправо. Отсюда

$$V_x = \sqrt{2|\vec{g}|h \frac{m^2}{M(M+m)}}.$$

Однако в таком решении совершенно не ясно, куда делать вертикальная проекция импульса шарика. Ведь если соударение абсолютоно упругое, вертикальная проекция импульса системы не исчезает, а лишь меняет знак! Шарик после удара отскакивает в горизонтальном направлении, плоскость вообще неподвижна. Значит, клин после удара обязательно должен подпрыгнуть. А энергия, связанная с этим движением, в приведенном решении не учитывается.

Физическая картина удара больше соответствует предположение о том, что вначале шарик соудареется только с клином, а потом клин, получивший некоторые стороны скорость в результате этого соударения, взаимодействует с горизонтальной плоскостью. После первого соударения вертикальная проекция скорости клина

$$V_y = \frac{m}{M} \sqrt{2|\vec{g}|h},$$

а горизонтальные проекции скоростей клина и шарика, как и в первом решении, связаны соотношением

$$MV_x + mv_x = 0,$$

или $v_x = -\frac{M}{m} V_x$.

Тогда закон сохранения энергии можно записать в виде

$$m|\vec{g}|h = \frac{mv_x^2}{2} + \frac{MV_x^2}{2} + \frac{MV_y^2}{2}.$$

Подставив сюда соответствующие выражения для $v_x$ и $V_y$, найдем горизонтальную проекцию скорости клина:

$$V_x = \sqrt{2|\vec{g}|h \frac{m^2(M-m)}{M^2(M+m)}}$$

Таким образом, задачу о соударении трех тел мы свели к задаче двух последовательных попарных соударений (второе соударение для решения задачи нам не понадобилось). При этом мы считали, что клин после соударения с шариком движется чисто поступательно. Это может быть только в том случае, если сила давления шарика $\vec{N}$ во время удара проходит