Решения задач М436—М440; Ф448, Ф450—Ф452

30

Решения задач
M436—M440; Ф448, Ф450—Ф452

M436. Дано 20 чисел $a_1, a_2, \dots, a_{10}, b_1, b_2, \dots, b_{10}$. Докажите, что множество из 10 чисел (необязательное различных) $a_1 + b_1, a_1 + b_2, \dots, a_{10} + b_{10}$ можно разбить на 10 подмножества, по 10 чисел в каждой мак, чтобы сумма чисел в каждой подмножестве была одной и той же цифрой). Легко видеть, что в каждом столбце (в каждой строке) есть представители всех подмножества, так что индексы $i$ и $j$ чисел $a_i + b_j$, входящих в каждое из подмножества, принимают все значения от 1 до 10 (ровно по одному разу). Поэтому сумма чисел в каждом из подмножества одна и та же: $a_1 + a_2 + \dots + a_{10} + b_1 + b_2 + \dots + b_{10}$.

С. Берковаю

Рис. 1.

Рис. 2.

М437. Докажите, что нечетное число, являющееся произведение n различных множителей, можно представить в виде разности квадратов двух натуральных чисел равно $2^{n-1}$ различными способами.

М438. В данной семетии вычисляются всевозможные пары касацихса окружности. Для каждой пары окружности через точку касация про-
Докажем, что все эти прямые проходят через точку $M$ — середину дуги сегмента, дополнительного данный сегмента до кругга. Обозначим границу этого кругга через $\gamma$ (рис. 3).

Через $K$ обозначим точку пересечения диаметра $MN$ окружности $\gamma$ с хордой $AB$ данного сегмента. Пусть $\gamma_1$ и

32

(еде $a_1, a_2, \dots, a_n$ — действительные $k_1, k_2, \dots, k_n$ — натуральные числа) имеет не более $n$ положительных корней.

в) Доказание, что уравнение
$$ax^k(x+1)^p + bx^l(x+1)^q + cx^m(x+1)^r = 1$$
(еде $a, b, c$ — действительные $k, l, m, p, q, r$ — натуральные числа) имеет не более 14 положительных корней.

Рис. 5.

части уравнения $(1')$ на $(-a_n x^k n^{-1})$, получим уравнение
$$b_1 x^{k_1}-k_n + b_2 x^{k_2}-k_n + \dots + b_{n-1} x^{k_n-1}-k_n = 1$$
(имеющей более $n-1$ положительных корней). Продифференцировав обе части уравнения $(2)$, получим уравнение
$$\bar{b}_1 x^{k_1}-k_n-1 + \bar{b}_2 x^{k_2}-k_n-1 + \dots + \bar{b}_{n-1} x^{k_n-1}-k_n-1 = 0$$
(имеющей более $n-2$ положительных корней). Проделав указанные действия $n-1$ раз, мы придем к уравнению
$$\alpha x^m = 1, (m = k_1-k_2),$$

которое, в силу сделанного предположения относительно уравнения $(1)$, должно иметь более одного положительного корня. Но это невозможно; значит, исходное уравнение $(1)$ не может иметь более $n$ положительных корней. Утверждение задачи 6) доказано.

Перейдем к задаче в). Нам понадобится следующий факт.

Пусть $P_m(x)$ — многочлен от $x$ степени $m$. Тогда произвольная выражения $x^k(x+1)^p P_m(x)$ имеет вид
$$x^{k-1}(x+1)^{p-1} P_{m+1}(x),$$ где $P_{m+1}(x)$ — многочлен от $x$ степени $m+1$ ($k$ и $p$ — любые действительные числа). Действительно,

$$(x^k(x+1)^p P_m(x))' = kx^{k-1}(x+1)^p P_m(x) +$$
$$+ px^k(x+1)^{p-1} P_m(x) + x^k(x+1)^p P'_m(x) =$$
$$= x^{k-1}(x+1)^{p-1} [k(x+1)P_m(x) + pxP_m(x) +$$
$$+ x(x+1)P'_m(x)] = x^{k-1}(x+1)^{p-1} P_{m+1}(x),$$

где $P_{m+1}(x)$ — многочлен степени $m+1$, записанный в квадратных скобках (напомним, что степень многочлена $P'_m(x)$ равна $m-1$).

Предположим теперь, что уравнение
$$ax^k(x+1)^p + bx^l(x+1)^q + cx^m(x+1)^r = 1$$
(имеющей более 14 положительных корней). Тогда, так же как и задачке 6), уравнение, полученное из него дифференцированием обихих частей, имеет более 13 положительных корней. Это уравнение будет такого вида (см. доказанное выше дифференцирования):

$$x^{k-1}(x+1)^{p-1} A_1(x) + x^{l-1}(x+1)^{q-1} B_1(x) +$$
$$+ x^{m-1}(x+1)^{r-1} C_1(x) = 0$$
(числа $k, p, l, q, m, r$ могут быть любыми действительными; $A_1(x), B_1(x), C_1(x)$ — многочлены первого степени).

Поделив обе части уравнения $(4')$ на $x^{m-1}(x+1)^{r-1}$ (это — «законная» операция: нас интересует только положительные корни!), мы получим уравнение
$$x^{k-m}(x+1)^{p-r} A_1(x) + x^{l-m}(x+1)^{q-r} B_1(x) + C_1(x) = 0$$
(имеющей более 13 положительных корней). Продилев обе части уравнения $(4'')$ два раза, получим уравнение
$$x^{k-m-2}(x+1)^{p-r-2} A_3(x) + x^{l-m-2}(x+1)^{q-r-2} B_3(x) = 0$$
(имеющей более 11 положительных корней (продумайте это!). Поделив обе части уравнения $(5)$ на $x^{l-m-2}(x+1)^{q-r-2}$, получим уравнение
$$x^{k-l}(x+1)^{p-q} A_3(x) + B_3(x) = 0$$
(имеющей более 12 положительных корней). Продилев обе части уравнения $(5')$ на $x^{l-m-2}(x+1)^{q-r-2}$, получим уравнение
$$x^{k-l}(x+1)^{p-q} A_3(x) + B_3(x) = 0$$

34

Ф448. Почему бревна, пли-вуцице по реке, ориентированы вседа по местению, а не поперек его?

Рис. 8.

Ф450. Ядро массы m, легя-цee со скоростью $v_0$, распадается на лему на два одинаковых осолкка. Определим максимальное возможный угол между вектором скорости одного из осолков и вектором $v_0$, если при распаде покоящегося ядра осолки имеем скорость $|\vec{v}| < |\vec{v}_0|$.

Рис. 9.

Ф451. Нарисуйте примерный график зависимости мока через сопротивление R от положения движения левжака помещением (рис. 10). При каком значении $y = x/l$ этом ток максимален?

$$K \cdot C \cdot 3 \leq K_3 \cdot K_C \cdot C_K \cdot C_3 \cdot 3_C \leq \left[ \frac{1}{6} \left(K_3 + K_C + \dots + 3_K\right) \right]^6 \leq 50^8,$$

откуда $X \leq 2500$.

Пример расположения 2500 шампуров в соответствии с условиями задачи 6) приведен на рисунке 7.

Н. Нечьемаев,
C. Фомин

Действие сил треня приводит к тому, что в русле реки устанавливается определенное распределение скоростей различных частей потока. Tonкие слои жидкости, примыкающие к берегам (и дну реки), неподвижны, а по мере приближения к середине реки (и к поверхности воды) скорость воды непрерывно возрастает (рис. 8).

Если в реку помещить бревно, расположенное под углом к течение, то та часть бревна, которая находится близке к берегу, будет движаться с меньшей скоростью, чем часть бревна, находящая близке к середине реки. Это приводит к тому, что бревно начинает поворачиваться. И будет поворачиваться до тех пор, пока близкая к середине реки到期 бревна не оказывается впереди, а само бревно не будет ориентирован по течение.

Скорость $\vec{u}$ одного из осолков ядра равна

$$\vec{u} = \vec{v}_0 + \vec{v},$$

где $\vec{v}_0$ — его скорость до распада ядра, а $\vec{v}$ — скорость осолка относительно покоящегося ядра (то есть в той системе координат, в которой ядро до распада покойлось).

Расположим вектор $\vec{v}_0$ так, как показано на рисунке 9. Конец вектора $\vec{v}$ может лежать на окружности радиуса $|\vec{v}|$. Из рисунка 9 видно, что вектор $\vec{u}$ составляет максимальный угол $\alpha$ с вектором $\vec{v}_0$, если угол между векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ равен $\pi/2$. В этом случае

$$\alpha = \arcsin \frac{|\vec{v}|}{|\vec{v}_0|}.$$

Подвижный контакт (движок) делит сопротивление $r$ потенциометра на две части. Обозначим их через $r_1$ и $r_2$ (рис. 11), причем

$$r_1 = ry \text{ и } r_2 = r(1 - y).$$

Общее сопротивление $R_0$ цепи равно

$$R_0 = R_1 + r_2 + \frac{r_1R}{r_1 + R}$$

(считаем, что внутреннее сопротивление источника входит в $R_1$). Ток в цепи