Московский инженерно-физический институт

53

Московский инженерно-физический институт

Ниже приведятся некоторые варианты письменного вступительного экзамена по математике и задачи устного экзамена по физике 1977 года.

Математика

Вариант 1

1. Автомобиль едет из пункта K в пункт M. От пункта K до пункт L, расположенного между K и M, он едет со скоростью 48 km/час. В пункте L он уменшает свою скорость на V km/ч (0<V<48) и с этой скоростью едет 1/3 часть пути от L до M. Оставшую часть пути от L до M он едет со скоростью, которая на 2V km/ч превышает первоначальную скорость 48 km/ч. При каком значении V автоматically всего проделает путь от L до M?

2. В шар виссана правильная треугольная парамида так, что плоскость основания парамиды делит перpendикулярный к ней радиус шара в отношении 3:7, считая от центра шара. Найти объем конуса, вписанного в парамиду. Радиус шара равен R.

3. Найти площад фигуры, ограниченной кривой y = $\frac{3}{x}$, прямыми y=4, y=6 и осью ordinат.

4. Решить уравнение 11 sin²7x-3 sin 7x cos 7x+5 cos²7x=a-6.

Вариант 2

1. Смешали p%-ный растор соляной кислоты с 10%-ным растором соляной кислоты и получили 600 г 15%-ного растора. Сколько граммов каждого растора было взято?

2. В основании правильной четырехугольной парамиды SABCD лежит квадрат ABCD с длиной стороны, равной a. Поскольку боковых граней образуют с плоскостью основания парамиды угол α. На сторонах AD и BC основания взяты точки E и F так, что |AE| = $\frac{2}{3}$ a и |CF| = $\frac{a}{3}$. Через эти точки проведена плоскость, составляющая с плоскостью основания парамиды угол β. Найти площад получившегося сечения.

3. Найти площад фигуры, ограниченной кривой

$$y = 1 + \frac{1}{3(x-1)}, \quad y = \frac{1}{6x}.$$

4. Найти критические точки функции f(x)=0,5e²x+(1-a)e⁻x+sin 2.

Физика

1. Два спутника движутся вокруг Земли по круговым орбитам, расположенным в одной плоскости, с линейными скоростями v₁=7,8 km/c и v₂=7,7 km/c. Определить интервал времени t, через которых оба спутника, врашающеся вокруг Земли в одном направлении, периодически слияются на минимальное расстояние друг от друга. Радиус Земли R=6400 km.

2. Цилиндрическая пробирка длиной l=30 см, содержащая неокторое количество воздуха при температуре T=300 K, полностью погружена открытом концом в глицерин, плотность которого ρ=1,3 г/cm³. При этом воздуха внутри пробирки занимает половину ее объема. Пробирку вынимают из глицеринка так, что своим открытом концом она едва касается поверхности жидкости. Как и на сколько следует изменить температуру воздуха в пробирке, чтобы он по-прежнему заполнял половину ее объема? Внешнее давление равно p₀=760 мм pt. ст.

3. Tonкой сферической оболочке радиуса R₁=5,0 см и массы m=0,015 г собщают заряд до тех пор, пока ее потенциал не достигнет значения φ₁=10 кВ. При этом оболочка, выделенное электрическою отталкивания, разрывается на малые осолки, летящие в разные стороны. Найти скорость осолков к моменту, когда они оказываются сферической поверхностью радиуса R₂=12 см.

4. Перекладина длиной l=20 см и массой m=15 г подвешена горизонтальное на двух тонких неевесомых проводах в вертикальном магнитном поле с индикцией |B| = 0,04 T (см. рисунок). К точкам закреплення проводов подключают источник тока, при этом по цепи течет ток силой I=2,5 A. На какой угол отклоняется провод с перекладиной от начального положения?

5. Имеются собирающая линза с фокусным расстоянием F=10 см и экран, расположенный в ее фокальной плоскости. По другую стороны линзы в ее фокусе находится точный источник света, который в некоторый момент начинает удаляться от линзы с постояннымускорением |a|=4 м/c². Через какой промежуток времени t после начала движения радиус светаого пятна на экране уменьшится в n=6 раз?

А. Александров, А. Забоев, Н. Нарожный, Н. Шолохов