55
Винтовая линия
В настоящие время трудно найти человека, который хоть сколько-нибудь связаан с техникой и не имеет о винтовой линии никакого представления. И неудивительно. В технических приспособлениях, от самых распространенных до наиболее специализых, не обойтись без винтов, болтов, гаек, шурупов, и т. д. Край резьбы у них — винтовая линия. Используется она преимущественно из-за своего геометрического свойства — винтовая линия может скольить вдоль самой себя. Впрочем, в архитектуре с ее помощью «сворачивают расстояния»: винтовая лестница занимает в строении меньше места.
Винтовая линия с той или иной степенью точности часто встречается в природе. Стебли вышихся растений «шаг за шагом», «виток за витком» взбираются по стволу дерева по винтовой линии. По ней же смерч скручивает стволы деревьев. Вспомните еще о молекулах ДНК, раковинах моллюсков, винторих антилопах…
Дадим определение: винтовая линия l — это пространственная кривая, описываемая точкой M, которая врашает с постоянной по величине скоростью v₁ вокруг оси Oz и одновременно скользит с постоянной скоростью v₂ вдоль оси Oz (рис. 1). Когда точка M перемещается вдоль винтовой линии на один виток, по оси Oz она сdwгается на постоянную величины d (шаг винта); ее проекция M’ описывает при этом окружность.
На рисунке 1 показан еще один способ получения винтовой линии: бумажный прямогольный треугольник ABC приклеили катетом AC к поверхности цилиндра и намотали на него; в результате гипотенуза BC разместилась по винтовой линии l. Действительно, из определения винтовой линии следует, что касательная MN к ней в любоий точке M ∈ l образуется с осью Oz постоянный угол. Следовательно, угол касательной MN с плоскостью xOy также сохраняет постоянную величины α для всех точек M ∈ l.
Чтобы определить линию кратчайшего расстояния между двумя точками M₁ и M₂ на поверхности цилиндра (так называемую геодезическую), надо развернуть поверхность цилиндра на плоскость, проведги [M₁M₂] и вернуть поверхность в режиме положения. Геодезическая оказывается отрезком винтовой линии.
Рис. 1.
Рис. 2.
Проекция винтовой линии на плоскость xOz — синусunda (доказhte).
Разверткой окружности называется кривая, которая описывает фиксированная точка прямой, катящей без скольжения по неподвижной окружности. На рисунке 1 точка N описывает именно такую кривую — развертку окружности (O, |OM’|).
Циклоподь называется линия, которая описывает точка P окружности (Q, a), катящей без скольжения по неподвижной прямой Ox
корабля, грубо говоря, является куском винтовой поверхности.
Винтовая поверхность, образованная отрезком прямой, перpendикularным оси врашения, называется прямым геликодом («геликонд» в переводе с греческого ознакоме «спиралеподобный»). На первой странице обложки изображена модель прямым геликодом. Другой его модель является мыльная пленка, натянутая на проводную винтовую линию.
В. Березин