Ваш рейтинг, гроссмейстер?

20

Е. Гик

Ваш рейтинг, гроссмейстер?

На страницах «Кванта» мы не разписали о различных связях, существующих между математикой и шахматами. В этой статье мы рассекем о системе коэффициентов Элю, широко использованиемны для оценки и прогноза результатов шахматистов в современных (турипах и матчах).

В те далекие времена, когда во всем мире в шахматных турипах выступало всего несколько десять мастеров, сравнивать результаты шахматистов было современ нетрудно. Вопрос, кто из двух мастеров играет сильнее, решался просто: на противении какого-то отрезка времени они встречались между собой в турипах, и если один регулятор операjal другой, значит, он и был сильнее; если же впереди оказалась то один, можно было предположить, что их сила примерно одинакова; в особо спорных случаях между ними устранвался матч.

Сейчас шахматные современная проискодят одновременно в несколько странах и даже в нескольких городах одной страны. В одной лишь международных квалификационных современных (то есть таких, в которых присваивается международные значения) участвует добрая тысяча шахматистов, из которых многое знают друг о друге лишь понасыщке. В таких условиях сравнивать силу мастеров стало труднее.

Первые попытки построить систему оценок сил шахматистов относится к началу века. А в конце 50-х годов начались практические испытания нескольких систем, основанных на том, что каждому шахмату присваивается меняющийся от современника к современию индивидальный коэффициент, или, иначе, рейтинг (от англійского слова rating — «оценка»), вычисляемый по определенной формуле и зависимости от коэффициентов противников и показ-

21

занного результата. После многолетнего обсуждения различных систем коэффициентов (приципиально не отличаюшихся друг от друга) Международная шахматная Федерация (ФИДЕ) в 1970 году официально приняла система индивидальных коэффициентов, разработанную американским математиком профессором Арпадом Эло.

Покажем сначала, как по системе Эло ведется расчет коэффициентов, а затем обсуadm ряд ее особенностей.

Пусть «старый» коэффициент данного участника (т. е. коэффициент перед началом соревнования) — $K_{ct}$. «Новый» коэффициент (коэффициент после окончания соревнования) $K_{now}$ находится по следующей формуле:

$$K_{now} = K_{ct} + 10 (N - N_{ojk}),$$

(1) где $N$ — число набранных очков (результат шахматства в соревновании), а $N_{ojk}$ — так называемое окн и даемое число очков.

Для вычисления $N_{ojk}$ прежде всего подсчитывается средний коэффициент $K_{cp}$ всех соперников данного шахматства (в случае матча $K_{cp}$ совпадает с $K_{ct}$ его партнера), который затем okругляется до целого числа *).

*) «Погранничные» числа (вроде 2377,5) okругляются, по соглашению, в любую сторону — например, в сторону меньших чисел.

Затем находим отсклонение коэффициента $K_{ct}$ от $K_{cp}$:

$$\Delta K = K_{ct} - K_{cp}.$$

(2)

Тепер из таблицы 1 по $|\Delta K|$ определяется окн и даемый процент очков:

$$h = \begin{cases} h_6, если \Delta K \geqslant 0. \\ h_m, если \Delta K < 0. \end{cases}$$

(3)

Наконец, ожидаем число очков получается при okруглении до 0,5 очка по следующей формуле:

$$N_{ojk} = \frac{h}{100} \cdot m,$$

(4)

где $m$ — число партий, которое шахмату представить в соревновании. Неформально говоря, $N_{ojk}$ — это наболее верятный результат шахматства в соревновании, а $h$ — наболее верятный процент набранных очков; это и объясняет соответствие (4).

Заметим, что в СССР при расчете рейтигов советских шахматов с 1 января 1977 года официально использовался система Эло, с той лишь разницей, что okругление в формуле (4) производится до 0,1 очка.

Если перед началом турира мы хотим найти $K_{i_{now}}$ каждого участника турира, мы должны, в соответствии с равенством (2), вычислить средние рейтиги $K_{i_{cp}}$ противников каждого участника ($i = 1, 2, ..., n$). Оказывается, эту работу можно

22

упростить. Пусть $K_{cT}^1, K_{cT}^2, \dots, K_{cT}^n$ — рейтиниги участников турнира до его начала. Введем величины

$$K_T = \frac{K_{cT}^1 + K_{cT}^2 + \dots + K_{cT}^n}{n}$$

(она округляется до целого числа), называемую коэффициентом турнира. Легко доказать, что

$$\Delta K = \frac{n}{n-1} (K_{cT} - K_T),$$

(5)

где округление вновь произведится до целого числа (результаты округления в формулах (2) и (5) совпадают). Таким образом, вместо того, чтобы $n$ раз вычислять коэффициенты $K_{cP}^i$, нам достаточно один раз найти коэффициент $K_T$, после чего для определения $\Delta K$ пользоваться формулой (5).

Для квалификации междунарного турнира по системе Эло необходимо чтобы: 1) не менее 2/3 его участников имели рейтинг; 2) коэффициент турнира $K_T$ был не менее 2250. Если же перед началом такого турнира у кого-то из участников еще нет рейтинга, то он получает начальный коэффициент $K_0 = 2200$ (который, очень удобно, после турнира может уменьшиться). Так как $K_0$ — число целое, а числа $N_{ojk}$ округляются до 0,5 или 0,1, рейтиниги шахматистов — всегда числа целые, причем у Эло они оканчиваются на 0 или 5.

Внимательно посмотрев на таблицу 1, мы замечем, что от строки к строке процент $h$ меняется на 1 и при достижении $h_6 = 100$ (соответственно, $h_M = 0$) уже не меняется (мы попадем в «зону насыщения»).

Чтобы лучше понять таблицу 1, поставляемся графические изображения $h$ от $\Delta K$, причем $h$ будем воспринать в соответствии с интуитивным смыслом слов «ожидаемый процесс очиков».

Если коэффициент $K_{cT}$ данного участника совпадает с $K_{cp}$ его противников, то следует ожидать, что он наберет $50\%$ очков; поэтому искомая кривая должна проходить через точку с координатами $\Delta K = 0$, $h = 50$. Естественно считать ее симметричной относительной этой точки. Если $K_{cT} > K_{cp}$, то, разумеется, $h > 50$, а если $K_{cT} < K_{cp}$, то $h < 50$. Поскольку $h$ меняется от 0 до 100, кривая должна асимптотически стремиться к прямой $h = 100$ при $\Delta K \rightarrow +\infty$ и к оси абсцисс при $\Delta K \rightarrow -\infty$.

Огромная статистика совершенний показывает, что если из двух шахматистов, играющих матч, один так сказает, сльнее другого на разряд, то он в среднем набирает 75% очиков.

Указанное обстоятельство Эло при построении кривой учел следующим образом: положив, что разница между двумя соседними ступенками в шахматной нерархии составляет 200 единиц рейтинга, он проводил кривой через точку с координатами $\Delta K = 200$, $h = 75$ (и, соответственно, $\Delta K = -200$, $h = 25$).

Итак, вид нашей кривой довольно ясен (см. рисунок), и ее можно использовать для определения значений $h$ при данных $\Delta K$. Однако такой способ нахождения $h$ неудобен по нескольким принципам. Во-первых, сама кривая, несмотря на вышеказанные свойства, не определяна однозначно; во-вторых, целых значений $\Delta K$ бесконечно много и их нельзя — все затабулировать; наконец, не изменять же всякий раз величины $h$ линейкой! Поэтому и возникает идея разбить ось абсцисс на конечное число отрезков (и два бесконечных полинтераvals) с постоянным $h$ на каждом из них так, чтобы значения $h$ на соседних отрезках отличались на 1.

В результате вместе нашей главной кривой мы получаем «лестиницу» (см. рисунок). Высота ее ступенек одинаковая и равна 1, а их длины по мере удаления от центра в соответствии с повышением кривой увеличаются.

23

Разумеется, таблица 1, построенная по этой «лестице», могла бы выглядеть и несколько иначе (при выборе чуть более узких или более широких отрезков с фиксированным $h$), однако прициплального значения это не имеет — лишь бы сохранялся общий характер зависимости $h$ от $\Delta K$.

В настоящее время перед началом любого крупного турира подсчитывается числа $N_{ojk}$ для всех его участников, что позволяет прикинуть окончательные итоги турира и наиболее вероятное распределение мест в нем. Однако этот популярый способ прогнозирования можно применять не только перед началом севернования, но и перед каждым его турим. Если мы сложим очки, набранные участником в уже состоявшихся турирах, с очками, которые «обещают» ему коэффициенты Элю в оставшихся турирах, мы получим ожиданный результат в турире с учетом уже сыграных партий.ECTественно считать, что эти прогнозы точнее характеризуют положение участников в данной момент, чем фактически набранное им число очков, так как они учитывают информацию об оставшихся противныхах.

Метод прогнозирования, о котором идет речь, имеет некоторые технические трудности. Ведь, скажем, при 22 участниках турира для нахождения чисел $N_{ojk}$ перед каждым туриром расчет ожидаемых результатов приведется в таблице 21 раз. Вручную такая работа потребует нескольких часов вычисления, причем к ней можно приступить только после жеребевки турира. Впрочем, ЭВМ справляется с такой задачей всего за какую-то минуту!

При применении формулы (1) возникает парадокс, на котором стоит остановиться подробнее. Представьте себе, что вы решили сыграть матч со своим товарием, скажем, из 1000 партии. Вы оба — перворазрядники и имеете одинаковыйрейтинг 2000. Пусть вы выиграли этот mapфон со счетом 580:420. По прогнозу вы должны были свести матч вничью, т. е. набрать $N_{ojk} = 500$ очков. Разница в 80 очков даст вам прибавку крейтингу 800 единиц. Итак, закончив этот матч, вы получитерейтинг 2800 — больше, чем у самого чемпонами мира!

Нетрудно видеть, что при увеличении числа партии в матчерейтинг одного шахматства вообще может неограниченно растить,рейтинг другого — неограниченно padать.

Таким образом, линейная зависимость между результатом шахматства в северновании и приращением егорейтинга не совсем правомерна. Выйти из положения пытались разными способами. Самый распространенный из них — введение в формуле (1) вместе коэффициента 10 переменного параметра $\alpha$, зависит от числа партии:

$$K_{нов} = K_{ст} + \alpha (N - N_{ojk}).$$

При этом от парадокса удалется избавиться, но заметно усложняется расчет коэффициентов.

Происхождение парадокса связано с тем, что коэффициенты шахматств фактически меняются не только в конце севернования, но и в процессе его. Так, в упомянутом матче из 1000 партий вскоре после его начала вы поведете в счете, что должно привести к увеличению вашегорейтинга и padениюрейтинга. Если вы в среднем набираете 58% очков (согласно окончательному счету), то, как только разница в вашихрейтках достигает 60 единиц (2030 против 1070), коэффициенты стабилизируются и в дальнейшем не будут сильно меняться (разница в 60 единицрейтке как раз соответствуют 58% очков — см. таблицу 1).

Из сказанного следует, что система Элю исправляется очень просто — пересечет коэффициентов следует после каждой партии! Однако такой частный пересечет, оправдаваемый математически, практическими нikого не устроит. Итак, не годится расчетрейтгов ни после большого числа партии, ни после каждой партии.

Истина, как всегда, лежит послеdefine. Формула (1) проста и удобна, и не хочеется от нее отказывать, но необходимо ограничиться «средним» числом партии. Сам Элю полагает, что если $m \leq 25$, то никаких недора-