Признаки делимости на l

25

В. Абрамович

Признаки делимости на 1

Время от времени на страницах различных изданий, в том числе «Кванта», вниманию читателей предлагаются все новые и новые, иногда очень экзотическая, признаки делимости на различные числа.

Часто справывают: а как открывают новые признаки делимости? Неужели каждый раз проводят длиную серию оптов с числами, а потом, в случае удачи, пытаются доказать наиболее вероятное предположение?

Что же, такой путь для любых «возиться» с числами не тягостен, а в случае удачи вполне окупается радостью путь небольшего, но открытия.

И все же: не существует ли какого-нибудь общего способа признаков делимости?

Автора заинтересовал этот вопрос, и он попытался на него ответить. Что из этого получилось, читатель найдет в заметке.

Еще в четвертом классе вы узнали, что натуральное число тогда и только тогда делится на 3, когда делится на 3 сумма его цифр *).

Можно представить себе дело так: при обычной (десятичной!) записи числа

$$n = a_1 a_2 \dots a_t = a_1 a_2 \dots a_t^{(10)}$$

каждая цифра-кирпичок чем левее, тем весоме:

$$n = a_t + 10 a_{t-1} + 10^2 a_{t-2} + \dots + 10^{t-1} a_1;$$

*) Точнее: сумма цифр его десятичной записи (записи в десятичной системе чиселения). Скорее всего, натуральные числа вы воспринимали до сих пор только в десятичной системе чиселения и даже не задумывались об этом. Ну, что же! Может еще некоторое время «не задумываться». Для чтения этой статьи вам скоро понадобится понимание того, что такое m-чная система чиселения (m — произвольное натуральное число, больше 1). О системе чиселения вы можете прочитать в «Кванте», 1975, № 8, с. 59 или в брошюре С. В. Фомина «Системы чиселения» (М., «Нayka», 1975).