60
Непересекающие тропинки
Представьте себе, что вам нужно продолжить тропинки, соединищие попарно точек, причем сделать это так, чтобы тропинки между собой не пересекались. Для каких это можно сделать? Как бы вы ни старались, если эти точки лежат на плоскости или на сфере, то больше чем перехотить таким образом не удался. Правда, доказать это строго довольно сложно.
Вот еще похожая задача — про домики и колодцы:
Рис. 1.
Рис. 2.
Нужно соединить три домика и три колодца так, чтобы каждый домик был соединен с каждой колодцем и тропинки не пересекались. Оказывается, этого тоже сделать нельзя (рис. 1, 2).
Но то, что нельзя сделать на плоскости и на сфере, удается осуществить, если точки лежат на других поверхностях. Возьмем, например, тор — так математики называют поверхность бублика. На торе удается попарно соединить даже семь точки. Лег-
60
61
ко решить на нем и задачу о домиках и колодах. Эту вторую задачу сделайте самостояльно, а первый решена… на первой странице обложки. Вот правила, по которым нарисованы тропинки на обложке. Серый квадрат — это дырка, обладающая волшебным свойством: если тропинка подошла к одной из ее сторон, то после этого она продолжается на противоположной стороне дырки (рис. 3).
Но все-tаки, причем здесь тор? Объясним это. Прежде всего заметим, что с точки зрения тропинок не важно, «аккуратный» тор или нет (рис. 4,5). Теперь
Рис. 4.
Рис. 5.
представьте себе, что рисунок с первой страницы обложки сделан не на синей плоскости, а на синей сфере (см рис. на с. 60 на нем проведена еще одна тропинка, иушка по синей области; на обложке она не показана). Затем из сферы вырезан серый «квадрат», и противоположные стороны образовавшейся дырки склеены. При этом действительно получится тор (рис. 6). И на этом тор семь точек соединены непересекающимся
Рис. 6.
Рис. 7. тропинками.
Постарейтесь решить на торе задчу про четыре до-mика и четыре колодца.
Придумайте аналогичные правила рисования на кренделе (рис. 7).
Г. Макаров