Задачи М526—М530; Ф538—Ф542

38

Задчи

M526—M530; Ф538—Ф542

М526. а) Докажите, что площадь выпуклого четырехугольника равна
$$S = \frac{tg\varphi |a^2 - b^2 + c^2 - d^2|}{4},$$
где $a, b, c$ и $d$ — длины последовательных сторон четырехугольника, $\varphi$ — величина угла между его диагоналями, $\varphi \neq 90^\circ$.

6. Можно ли найти площадь $S$, зная $a, b, c$ и $d$, если $\varphi = 90^\circ$?

У. Алла

М527. Пусть $x_1, x_2, \dots, x_n$ — действительные числа, $0 \leqslant x_i \leqslant 1$. Докажите, что величина
$$x_1 + x_2 + \dots + x_{n-1} + x_n = x_1x_2 \cdots x_nx_1$$
не превышает
a) 1 при $n=3$;
b) 2 при $n=4$;
b) $^* [n/2]$ при любом $n \geqslant 3$.

В. Батышев, ученник 10 класса

М528. На каждой клетке шахматной доски стоит по фишке (рис. 1). Фишки нужно представить так, чтобы расстояние между каждой парой фишек не уменьшилось по сравнению с расстоянием между ними при первоначальном расположении. Скольники способами это можно сделать? (Расстоянием между фишками считается расстояние между центрами клеток, которые они занимают.)

M. Бершадский

М529. а) Многоугольник $M'$ — образ выпуклого многоугольника $M$ при томости с коэффициентом $k = -1/2$. Докажите, что существует параллельный перенос $T$ такой, что $T(M') \subset M$.

6. При каких коэффициентах готовится $k < 0$ верно аналогичное утверждение для выпуклого многоугольника $M$ в пространстве?

H. Нечевмаев

39

М530. На прямогольном листе бумаги в клетку некоторые клетки закрашены в черный цвет. Затем присходит одновременное перекрашивание всех клеток листа по следующему правилу: клетка, имеющая четное число черных соседей, становится белой, а имеющая нечетное число черных соседей — черной. (Соседями считаются клетки, имеющие общую сторону.)
a) Докажите, что если множество $B$ черных клеток при перекрашивание не изменяется (рис. 2, а) то в $B$ четное число клеток.
b) Пусть при перекрашивание множество $B_1$ черных клеток переходит в $B_2$, $B_2 \leftarrow B_3$, …, $B_{r-1} \leftarrow B_r$, а $B_r \leftarrow$ снова в $B_1$. Докажите, что общее число черных клеток в множествах $B_1$, $B_2$, …, $B_r$ четно.

Р. Измайлов, ученик 10 класса

Ф538. Тяжелая вервка подвешена в точках $A$ и $B$ (рис. 3). Абсолютное значение силы натяжения вервки в точке $C$ равно 20 Н. Найти массу вервки.

Н. Словодецкий

Ф539. На рисунке 4 показаны два замкнутых термодинамических цикла, проведенных с идеальным одноатомным газом: $1 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 4 \rightarrow 1$ и $1 \rightarrow 5 \rightarrow 6 \rightarrow 4 \rightarrow 1$. У какого из циклов коэффициент полезного действия выше? Во сколько раз?

А. Зильберман

Ф540. Две катушки с индуктивностью $L_1$ и $L_2$ соединены параллельно. Какими будут максимальные точки в катушках, если параллельно им подключит конденсатор с емкостью $C$ (рис. 5), предварительно заряженный до напряжения $U$?

О. Савченко

Рис. 5.

Рис. 6.

Ф541. Промежуток искрового генератора (рис. 6) отрегулирован на напряжение $U$, а сопротивление $R$ резистора подобно таким, чтобы присходило $n$ разрядов в секунду. Определить среднюю мощность, выделяющегося на резисторе, если во время разряда конденсатор успевает полностью разрядиться.

П. Зубков

Ф542. Как изменится скорость истечения газа из баллона через небольшое отверстие, если температуру газа увеличить в 4 раза, а давление — в 8 раза?