[О педагоге-математике А. Ф. Жинкине]

Квант 1980, №5 с. 25, 27, 28, 29, 30 Тег C20M

разрешимого предложения. Доказательство того, что предложение, которое получили, следующий инструкции, неразрешимо, зависит от подробного изучения тех же самых инструкций. Здесь нет ничего неправильного, здесь нет парадокса, здесь все волне логичного. Тот факт, что никака не потребила запись неразрешимое предложение Гёдель полностью, снова объявляется недостатком терпения и быстроеность человека жизни.

Когда я ставил вопрос о полоте, я сказал, что уже ответил на него. На самом деле, рассмотрим предложение (записанное форматно с помощью дюжины формальных символов аргметики), которое утверждает, что аргметика не противоречитва. Совсем не ясно, что скудный форматный аппарат аргметики способен выразить такое предложение. Однако из-зауг Гёдель является то, что он показал способность аргметики проделать это. Если мы примем это на веру и если мы наоземем одно такое предложение $P$ , то мы знаем только, что $P$ недоказуем в элементарной аргметике. А как насчет $P$ ? Ну, совершенно ясно, что $P$ также не может быть доказано. Причина: все доказываемое, как мы уже знаем из наших предложших рассужdenи на эту тему, истинно. (Это связано с тем, что аргметика не противоречитва.) Предложение $\neg P$ , конечно, не истинно. (Вспомните, что $\neg P$ отрицает непротиворечность аргметики.) Вывод: ни $P$ , ни $\neg P$ не доказуем. (Замечание: из этих двух высказываний, истинным является $P$ ).

Но это не все

To, что я сообщил вам, произошло в 30-х годах. Но с тех пор наука не стояла на месте. Сам Гёдель добавил много ярких результатов к нашим знаниям о форматной логике. Многие другие работы в этой области и обнаружили неожиданные приложения и затруднения. Кто, например, мог ожидать, что форматная логика оказется одним из самых важных инструментов при конструкции самых что ни есть настоящих электронных вычислительных машин! Математическая логика жива и здорова, многое еще предстоит сделать, иройдет много времени до того, когда кто-нибудь сможет описать математическую логiku от «А» до «Я».

Дорогой Великой Отечественной войны прошли миллионы советских людей: учтеля и инженеры, рабочие и колхозники. Люди самых разных профессии по признаву партии и зову сердца встали на защиту отчечества. Мы рассказем вам об учтнике Великой Отечественной войны, вся жизнь которого неразрывно связана с преподавательской деятельности в Ростове-на-Дону. В 1937 году он оказивает институт и начинает работать на кафедре математики.

Великая Отечественная война прерывает педагогическую деятельности А. Ф. Жинкина. 15 ноября 1941 года он уходит на фронт, прини-мает участке в боях на Малой земле. Именно там назывник политотдела армии товарищ Л. И. Брежнев вручает А. Ф. Жинкину партийный билет.

За боевые заслуги А. Ф. Жинкин нагradжен многими боевыми ordenами и медалими.

По окончании войны он продолжает свою преподавательскую деятельности в Винницком. педагогите на кафедре методики математики, занимаясь изготовлением наглядных пособий.

Выйдет в 1970 году на пенсию, А. Ф. Жинкин не перестает заниматься педагогической и общественной деятельности — выйдет с lekциями перед молодежью, прививая ей любовь к математике.

М. Барская

на угол φ, то левое нижно повернуть на несколько больший угол φ + β. Расстояние R от оси симметрики корпуса автоматия до центра поворота можно найти из соответствия

$R = L \text{ ctg } \varphi - \frac{d}{2},$

где L — расстояние между осями передних и задних колес — так называемая база автоматия, d — расстояние между соосными колесами — колей автоматия.

Однако такая картина поворота возникла лишь при очень медленном повороте, когда центростремительное ускорение центра тяжести автоматия и вызывающие его боковые силы, приложенные к колесам от земли, невелики.

При наличии боковой силы автоматная шина «идет» под некоторым углом к своей плоскости симметрики. Это называется явлением увода шины. Для изучения явления увода применяется такой опыт. Испытемую шину закрепляют на неподвижной оси и прижимают к врашшощемуся барабану силой G, соответствующей нагрузке, то есть вес автоматия, «приходящемуся» на одно колесо (рисунок 2, а). Колесо закрепляют так, что его плоскость симметрики (Пл. M) составляет с плоскостью симметрики барабана (Пл. N) некоторые угол δ, называемый углом увода (рисунок 2, б).

При врашении барабана на колесо будет действовать сила треня $\vec{F}_{\text{тр}} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2$ (рисунок 2, в) Слагаемое $\vec{F}_1$ — это сила, «раскручивающая» колесо, а слагаемое $\vec{R}_2$ — это та сила; которая, если ее не «компенсировать», будет смешать колесо «поперек» барабана. Следовательно, чтобы колесо «шло» под углом δ к плоскости N, к нему надо приложить силу $\vec{P} = -\vec{F}_2$ .

Измеряя с помощью диаметра величины силы $\vec{P}$ при различных углах увода, можно построить график зависимости $\|\vec{P}\|$ (δ). Общий вид такого графика приведен на рисунке 3. При малых углах увода ( $\delta < 5^\circ$ ) зависит $\|\vec{P}\|$ от δ оказывается почти линейной, так что напишем $\|\vec{P}\| = k\delta$ . (1)

Коэффициент k называют сопротивлением бокового увода данной шины. Значение k зависит от конструкции шины и от величины нагрузки $\vec{G}$ . Для современных шин приблизительно выполняется соответствие сопротивления.

$k \approx 5 \|\vec{G}\|.$

Например, для автоматия «Жигули» нагрузка на одно колесо составляет примерно 2200 Н. Следовательно, $k \approx 11000$ Н/рад.

При углах увода $\delta > 5^\circ$ боковая сила представляет растие с ростом δ. Участок кривой $\|\vec{P}\|$ (δ) при $\delta > 5^\circ$ соответствует качению колеса с полным боковым скольжением. Соответствующая сила треня — так называемая предельная сила треня — $\|\vec{P}_0\| = \mu \|\vec{G}\|$ , где μ — общный коэффициент треня

ния скольжения, который в теории автоматического принято называть коэффициентом сцепления шины с дорогой.

Для современной шины на сухом асфальте μ=0,6÷0,8 (то есть трение шины о дорогу очень велико; например, при скольжения стали по стали μ=0,08÷0,1).

Оказывается, что при обычной эксплуатации автоматия углы увода находятся на линейном участке характерастики |P| (δ). Далее на таких «крайных» режимах работы шины, как поворот автоматия «с письмом», угол увода еще несколько меньше «критического» значения δ=5°.

При езде по хорошейровной дороге значения углов увода все время меняются, так как водитель все время «подправляет» рулем движения автоматия, но остатся при этом очень малими (δ≈0,5÷1°).

Линейный участок характерастики увода, описываемый формулой (1), определяется, как показали многочисленные исследования, боковой упругостью шины. Для очень жесткого колеса (например, колесо детского велосипеда или коляски со сплошной резиновой шиной) критический угол увода очень мал — порядка 0,5÷1°.

Рисунок 4 сделан с фотографии модели шины в месте ее контакта с дорогой. (Шина «катилась» по барабу со специальной проразной поверхности, через которой изнутри барабана и были сделаны снимки.) На рисунке 4, а показано при контакта при качении без увода, а на рисунке 4, δ — с уводом. Для того чтобы картина деформации шины была видна более четко, на шине нарисована средняя линия (экватор на недеформированной шине). Как видно из этих рисунков, средняя линия в зоне контакта направлена по вектору скорости движения шины и величина деформаций тем больше, чем больше угол увода. Отсюда ясно, что при одном и том же угле увода, а следовательно, при одних и тех же деформациях боковая сила тем больше, чем жестче шина.

Выяснение зависимости величины k — сопротивления боковому уводу шины — от конструктивных параметров шины (давления воздуха в шине, ее геометрических размеров, жесткости резины и т.п.) является очень сложной задачей. Кроме того, рассмотрена нами зависимость (1) справедлива лишь в тех случаях, когда угол увода неизменен во времени или меняется сравнительно медленно.

В случаех, когда необходимо расстматировать быстро меняющиеся углы увода, зависимость оказывается более сложной. Такая зависимость изучалась академиком М. В. Келдышем при исследовании быстрых колебаний колеса с прругой шиной относительно вертикальной оси. Колебания этого типа носит название «шимми» (по названю американского танца). Такие колебания во многих случаях приводили к поломке рулевых управлений автоматией и самолетных шасси. Теория М. В. Келдыша позволяет создать специальные приспособления, устройства эти колебания.

Для изучения же устойчивости и управляемости автоматия в целом зависимость (1) оказывает достаточно.

Движение автоматия на круговом повороте

Как мы уже говорили, даже при движении автоматия по прямой и сравнительноровной дороге водитель немного движения рулем, так как различные помехи, неровности дороги (пусты даже очень малые), порывы бокового ветра и, наконец, просто невозможность поставить передние рулевые колеса точно в положение

«Прямо» заставляет немного поворачивать руль время от времени. В течение одного какого-нибудь промежуточка времени, пока руль неодвижен, траектория центра тяжести автоматоля близка к дуге окружности очень большого (по сравнению с длиной автоматоля) радиуса. Таким образом, реализная траектория центра тяжести автоматоля, движущшегося «прямо», состоит из друг окруженной большого радиуса и только кажется прямой линейей.

Рассмотрим движение автоматоля по окружности радиуса $R$ при неподвижном положении руля и постоянной скорости $v$ . Такое движение называется установившимся повтором.

Пусть рулевые (передние) колеса автоматоля повернуть под некоторым постоянным углом $\varphi$ по отношению к положению «прямо» (рисунок 5). Центр тяжести автоматоля (точка $C$ ) движется по дуге окружности радиуса $R$ с центростремиальнымускорением

$|\vec{w}_C| = v^2/R.$

Это центростремиальноеускорение сообщается равнойствушей боковых сил, приложенных к колесам автоматоля (на рисунке 5 показаны лишь составляющие $\vec{P}_A, \vec{P}_B, \vec{P}_D$ и $\vec{P}_E$ этих сил, переменную оси автоматоля; продолжные их составляющие в рассматриваемом случае неусуществены). Если радиус поворота $R$ велик по сравнению с длиной автоматоля, то можно принять

$\vec{P}_A = \vec{P}_B$

Рис. 5.

Однако суммарная сила $\vec{P}_D = \vec{P}_E$ . Однако суммарная сила $\vec{P}_1 = 2\vec{P}_A$ , приложенная к передней оси, и суммарная сила $\vec{P}_2 = 2\vec{P}_D$ , приложенная к задней оси, не равны между собой. Их соответствие условиям

$|\vec{P}_1| = m \frac{v^2 b}{RL}, \quad |\vec{P}_2| = m \frac{v^2 a}{RL},$

где $m$ — масса автоматоля, $L = a + b$ — база автоматоля.

Действие боковых сил приводит к уводу шин. Пусть $\delta_1$ и $\delta_2$ — углы увода соответствующего передней и задней шин. Векторы $\vec{v}_1$ и $\vec{v}_D$ скоростей переднего ( $A$ ) и заднего ( $D$ ) колес направлены так, как показано на рисунке 5. Перpendикуляры к векторам $\vec{v}_A$ и $\vec{v}_D$ в точках $A$ и $D$ пересекаются в точке $O$ — в центре дуги-траектории. (Мы считаем, что $R$ очень велико по сравнению с шинной автоматоля, и поэтому пренебрегаем разницей в радиусах окружностей, описываемых точками $A, B, C$ и $D$ , и считаем, что все эти радиусы равны $R$ .) В соответствии с изложенной выше теорией увода

$|\vec{P}_1| = 2k_1\delta_1, \quad |\vec{P}_2| = 2k_2\delta_2,$

где $k_1$ и $k_2$ — сопротивления увода соответствующего углом $v$ (см. рисунок 5): $R = L/v$ (поскольку $L \ll R$ ). Как видно из рисунка 5,

$v = \varphi - \delta_1 + \delta_2.$

Если $\delta_1 = \delta_2$ , то $v = \varphi$ — угол поворота руля полностью определяет радиус автоматоля. Автомобиль, у которого

выполняется это условие (а это выполняется в соответствии с (4), если $k_1 a = k_2 b$ ), называется по терминологии академика Е. А. Чудакова авторомлением с «нейтральной поворачиваемостью».

Если увод задней оси больше чем передней ( $\delta_2 > \delta_1$ и соответствен, $k_1 a > k_2 b$ ), то очевидно, $\vartheta > \varphi$ — авторомиль поворачивает «круче». Такой авторомиль называют авторомлением с «избыточной поворачиваемостью».

И наконец, если увод задней оси меньше чем передней ( $\delta_2 < \delta_1$ , то есть $k_1 a < k_2 b$ ), то $\vartheta < \varphi$ — авторомиль имеет «недостаточно поворачиваемость».

Так как углы увода при данном $R$ растут с ростом скорости (см. (4)), то «недостаточно» или «избыточность» поворачиваемся тем сильнее, чем больше $v$ .

Подставляя (4) в (5) (с учетом соответствия $R = L/\vartheta$ ), можно получить общую формулу для «результирующего» угла повората:

$\vartheta = \frac{4}{1 - \frac{mv^2}{L^2} \left( \frac{k_1 a - k_2 b}{k_1 k_2} \right)}$

Пусть $k_1 a > k_2 b$ (избыточная поворачиваемость). При данном $\varphi$ с ростом скорости $v$ занимается в выражении (6) уменшается и $\vartheta$ возрастает. То есть чем больше $v$ , тем «круче» поворачивает авторомиль (при постоянном угле повората руля $\varphi$ ). наконец, при некоторых скорости $v = v_{\kappa}$ величины $\vartheta$ становятся бесконечно большой. При такой скорости достаточно бесконечно малого движения руля, чтобы авторомиль «развернуть» вокруг вертикальной оси. Поэтому величины $v_{\kappa}$ называют критической скоростью потери управляемости для авторомиля с избыточной поворачиваемостью.

Значение $v_{\kappa}$ найдем из (6), приравняв знаменатель нулю:

$v_{\kappa} = L \sqrt{\frac{k_1 k_2}{m(k_1 a - k_2 b)}}$

Для авторомиля с недостаточной поворачиваемостью критической скорости не существует. В этом случае ( $k_1 a < k_2 b$ ) занимается в формуле (6) всегда положитель и монотно увыает с ростом скорости $v$ . Таким образом, в этом случае эффективность управления это увыает (а это увыает в соответствии с (4), если $k_1 a = k_2 b$ ), называется по терминологии академика Е. А. Чудакова авторомлением с «нейтральной поворачиваемостью».

Если увод задней оси меньше чем передней ( $\delta_2 < \delta_1$ , то есть $k_1 a < k_2 b$ ), то $\vartheta < \varphi$ — авторомиль имеет «недостаточно поворачиваемость».

$\vartheta = \frac{4}{1 - \frac{mv^2}{L^2} \left( \frac{k_1 a - k_2 b}{k_1 k_2} \right)}$

Значение $v_{\kappa}$ найдем из (6), приравняв знаменатель нулю:

$v_{\kappa} = L \sqrt{\frac{k_1 k_2}{m(k_1 a - k_2 b)}}$

Для легкового авторомиля с одинаковыми передними и задними колесами и с центром тяжестями, расположеннымиprimerно в середине ( $a \approx b$ ), поворачиваемость близка к нейтральной и критической скорость, если и существует, то достаточно высока. Если, однако, у такого авторомиля «спустит» одна из задних шин, то сопротивление уводзадней оси будет определяться, грубо говоря, лишь один из двух колес и поэтому уменшитсяprimerно вдвое. Легко проверить по формуле (7), что при этом критическая скорость может оказаться довольно низкой, порядка $20 \div 30$ км/ч. (В случае $a = b$ , $k_2 = \frac{1}{2} k_1$ и $k_1 = \frac{5}{4} gm$ формула для $v_{\kappa}$ принимает вид $v_{\kappa} = \sqrt{\frac{5}{2}} gL$ .) Если при этом до спуска задней шин авторомиль имел скорость $60 \div 70$ км/ч, то после неожиданного спуска шин он оказывается за критической скоростью. Ситуация при движении с «закритической» скоростью очень интересна. Из формулы (6) видно, что при $v > v_{\kappa}$ знаменатель отрицательен. Это означает, что наступает «обратимость управления». То есть, если руль повернуть «налево», то авторомиль завершет «направо», и наборот. Недвижительно поэтому, что резкое padение давления в одной из задних шин приводит во многих случаях к серверным авариям, так как водитель не может быстро «перестроиться» и теряет управление. При специальных испитаниях, когда водитель подготовлен, онправляется с машиной и может двигаться со скоростью, большей критической. Но когда спуск шин происходит неожиданно, авария почти неизбежна.

Существует мнение, что наиболее опасен разрыв шин переднего колеса. Это, однако, несовсем так. При быстропуске передней шины резко возрастает усилия на руле. Но если суметь «удержать» руль (для этого требуется не очень большие усилия, дело лишь в неожиданности), то ничего опасного не произойдет.