Читатели советуют

46

Практикум абитурения

Н. Розов

Читатель советуют

В письмах и заметках, присвязываемых в «Квант» учащимся, преподавателей, любители математики, часто затрагиваются вопросы, относящие к тематике «Практикума абитурения». Читатель журнала высказывают замечания теоретического характера, сообщают приемы решения отдельных типов задач, дают методические советы, предложают самостоятельно придуманные упражнения. Далеко не всегда содержащиеся в этих письмах и заметках сообщения и задачи являются новыми и оригинальными, однако с некоторыми из них, по нашему мнению, полезно позначить готовящийся к вступительным экзаменам вузы. Поэтому редактирация решила подготовить очередную подборку материалов, составленную по идеям к предложениям читателей «Кванта», с необходимыми дополнительными комментариями.

В вариантах вступительных экзаменов по математике передко встречаются системы управления. Поступающие, как правило, хорошо с основными приемами решения систем — методом подстановки и методом исключения. На интересное сообщение, позволящее решать некоторых систем управления, обращает внимание читатель журнала П. Чеботарев (Москва). Однако, прежде чем рассказыть об этом, немного поговорим о сложных функциях специального вида.

Пусть дана функция $f$, причем для простоты будем считать, что $D(f) = R$. Исходя из этой функции, можно образовать новую функцию

$$F(x) = f(f(x));$$

она, оченьindo, определяна также на всей числовой прямой. Функцию $F$ принято называть iterацией) функция $f$. Из рисунка 1 легко понять, каким образом с помощью графика функции $f$ находится значение iterации $f(f(x_*))$ для конкретного значения $x_*$ аргумента.

Рассмотрим уравнение

$$f(f(x)) = x. \tag{1}$$

Прежде всего заметим, что если $x_0$ — корень уравнения

$$f(x) = x, \tag{2}$$

то $x_0$ — корень и уравнения (1). Но уравнение (1) может, конечно, иметь и другие корни, не являющиеся корнями уравнения (2) (попытательесь усмотреть этот факт из рисунка 1).

Поскольку уравнение (2) является уравнения (1), полезно указать ситуацию, в которых эти уравнения равносильны. Докажем, например, следующое предложение: если функция $f$ при некотором аудовлетеоряет условия

$$\begin{cases} f(x) \geq x, \text{ при всех } x < a, \\ f(a) = a, \\ a \leq f(x) \leq x, \text{ при всех } x > a, \end{cases}$$

то уравнение (1) и (2) равносильны (дайте геометрическую интерпретацию этой теоремы).

Выше уже отмечалось, что корни уравнения (2) всегда служат корнями уравнения (1); установим справедливость обратного утверждения. Пусть $x_0$ — корень уравнения (1):

$$f(f(x_0)) = x_0; \tag{4}$$

*) Вообщие iterацией (от латинского iteratio — повторение) в математике называют результат повторного применения каждой-нибудь операции.

47

рассмотрим каждый из возможных случаев $x_0 > a$, $x_0 < a$, $x_0 = a$ в отдельности.

Если $x_0 > a$, то (см. (3))
$$a \leq f(x_0) \leq x_0.$$ (5)

Из свойств (3) функции $f$ следует, что неравенства $a \leq f(z) \leq z$ имеют место при любом $z \geq a$. Поэтому, выбрав $z = f(x_0)$, будем, учитывая (5), имеем
$$a \leq f(f(x_0)) \leq f(x_0).$$ (6)

Из соответствии (6) и (5) ясно, что
$$f(f(x_0)) \leq f(x_0) \leq x_0.$$
Сравнивая эту целочку неравенства с равенством (4), заключаем, что $f(x_0) = x_0$, то есть $x_0$ — корень уравнения (2).

Допустим, далее, что $x_0 < a$.
В этом случае неравенство $f(x_0) \geq a$ невозможно: если бы оно имело место, то выполнялось бы соответствие (6), которое, с учетом неравенства $x_0 < a$, привело бы к противоречию с равенством (4). Таким образом, если $x_0 < a$, то $f(x_0) < a$. Из свойств (3) функции $f$ следует, что неравенство $f(z) \geq z$ имеет место при любом $z < a$. Поэтому, выбрав снача $z = x_0$ и затем $z = f(x_0)$, будем имееть
$$x_0 \leq f(x_0) \leq f(f(x_0)).$$
С помощью равенства (4) снова заключаем, что $f(x_0) = x_0$.

Слушай $x_0 = a$ оченьiden. Следовательно, при условиях (3) любой корень уравнения (1) является корнем уравнения (2).

В заключение отметим, что по заданной функции $f$ можно, очевидно, определить также функция
$$f(f(f(x))), f(f(f(f(x))))), \dots$$
Справедливо следующее предложение (доказите его самостояльно): если функция $f$ удовлетворяет условиям (3), то каждое из уравнений $f(f(f(x))) = x, f(f(f(f(x)))) = x, \dots$
равносильно уравнению (2).

А теперь посмотрим, как формулированные предложения удается использовать для решения таких систем, в которых все уравнения одинаковы с точностью до обозначения переменных и в каждое уравнение входят лишь две переменные.

Пример 1 (МГУ, мехмат, 1977). Найти все решения системы уравнений
$$\begin{cases} y^3 - 6x^2 + 12x - 8 = 0, \\ z^3 - 6y^2 + 12y - 8 = 0, \\ x^3 - 6z^2 + 12z - 8 = 0. \end{cases}$$

отределим функцию
$$f(x) = \sqrt[3]{6x^2 - 12x + 8}, x \in \mathbb{R};$$ (7)

тогда данную систему можно переписать в виде
$$y = f(x), z = f(y), x = f(z).$$ (8)

Используя метод подстановки, получаем отсюда
$$f(f(f(x))) = x.$$ (9)

Прежде всего рассмотрим уравнение $f(x) = x$, или
$$x^3 - 6x^2 + 12x - 8 = 0.$$
Оно имеет единственный корень $x = 2$ (сгруппируйте первый левый части с последним и второй с третьим), который является корнем и уравнения (9). Из выражения (7) для функции $f$ и уравнения (8) получаем решение исходной системы:
(2; 2; 2).

Проверим, что функция (7) удовлетворяет условиям (3) при $a = 2$, а потому уравнение (9) не имеет корней, помимо $x = 2$. Неравенство $f(x) \geq x$, которое в данной случае приводится к виду
$$(x - 2)^3 \leq 0$$
(проведите необходимые преобразования), действительно выполняется при $x < 2$, а $f(2) = 2$. Далее, что $f(x) \leq x$ при всех $x > 2$. Наконец, неравенство $f(x) \geq 2$ легко переписать в форме
$$6x^2 - 8x \geq 0,$$
откуда видно, что оно справедливо при $x > 2$.

Следовательно, исходная система имеет единственное решение (2; 2; 2).

Упражнения

1. Найти интеграцию $f(f(x))$, если:
   a) $f(x) = \sin x$;
   b) $f(x) = \sqrt{1+x^2}$;
   c) $f(x) = -x^2 + 1$.

48

2. Определите функцию $f(f(x))$, если $f(x) = -x + 3$.

3. Решите уравнения $f(x) = x$ и $f(f(x)) = x$, если:
   a) $f(x) = -x^2 + 1$;
   b) $f(x) = -x + 3$.
   c) $f(x) \leqslant x$ при всех $x \in \mathbb{R}$
   или если $f(x) \geqslant x$ при всех $x \in \mathbb{R}$
   то уравнение $f(f(x)) = x$ имеет единственный корень $x = a$.
   Решите системы уравнений:

4. $\begin{cases} x - 5y = 2y^2 + 2, \\ y - 5z = 2z^2 + 2, \\ z - 5x = 2x^2 + 2. \end{cases}$

5. $\begin{cases} x = \frac{2y^2}{1 + y^2}, \\ y = \frac{2z^2}{1 + z^2}, \\ z = \frac{2x^2}{1 + x^2}. \end{cases}$

6. (МГУ, механизм, 1977).

7. Могут ли при каком-нибудь значении $a$ графики функции $y = a^x$ и $y = \log_a x$ касаться друг друга?

Поясним, что две кривые касаются друг друга, если они в некоторой общей точке имеют общую касательную.

Очень важное письмо прислад в редакцию наш читатель А. Корнилов (Ростов-на-Дону). Он указывает, что в статье Я. Суконника и П. Горштейна «Геометрические решения геометрических задач» («Квант», 1979, № 9, с. 38) при решении задачи 1 допущена серверная ошибка.

Напомним, о какой задаче идет речь.

При мер 2. Около треугольника AMB описана окружность, центр которого удален от стороны AM на расстояние 10. Продолжение стороны AM за вершину M пересекается в точке C с касательной к этой окружности, проведенной через вершину B. Найти площадь треугольника BMC, если известно, что

$$|BC| = 29, \quad \hat{ACB} = \arctg \frac{20}{21}.$$

Условие почти любой геометрической задачи не дает определению, исчерпывающего описания того, какая именно конфигурация (фигура) имеет в виду: фиксируются только некоторые ее свойства, характеристики или параметры, а остальные в условиях не детализируются. Если в условия задачи говорится о «треугольнике AMB», то с логичной точки зрения этот треугольник может быть, к примеру, и остроугольным, и прямоугольным, и тупоугольным. В большинстве случаев авев для решения задачи не требуется знать те свойства конфигурации, которые не уточны в условия, и ответ от них, естественно, не зависит.

Однако в ряде более серьезных задач бывают необходимо начиная решения с выяснения или уточнения отдельных свойств конфигурации, которые явно в условия не оговорены, но выводятся из него путем рассуждания. Скажем, для решения задачи нужно в первую очередь установить, что рассматриваемый треугольник AMB на самом деле не может быть отсутствующим. В подобных задачах особенно важно не упустить из виду ни одной логической возможности и по поводу каждой из них выяснить, совместим ли соответствующая конфигурация с данными условия задачи.

Все сказанное относится к сфере мирированной выше задаче — для ее решения прежнее всего требуется извлечь из условия дополнительную информацию о фигуре, уточнить ее вид. В упомянутой системе решения этой задачи начинается по существу с доказательства того, что треугольник AMB не является отсутствующим (хотя там об этом прямо и не сказа-

49

но). Если же угол AMB — прямой, то тогда получается ответ:

$$S_{BMC} = 210.$$

Оdnako тем самым далеко не исчерпываются все логические возможности типы углов треугольника AMB (или, что то же самое, все возможные расположения центра описанной окружности), а проведенные в стате рассудения существенно опираются на чертеж, относительной лишь к остругольному треугольнику AMB. Правда, случай

угол MAB — прямой,
угол MAB — тупой,
угол ABM — прямой,
угол AMB — тупой

по различным принципам несовместимыми с данными условия задачи (приведите необходимые обозначения). Остается последняя возможность: угол ABM — тупой (рис. 2).

Опустим из точки B перpendикуляр $BM_1$ на сторону AM и продолжим его до пересечения с окружностью в точке $M_2$, а центр окружности O спроектируем на хорды AM и $BM_2$. Тогда, как легко проверить,

$$|BM_1| = |BC| \sin \widehat{ACB} = 20 = 2|OK|,$$
$$|BM_2| = 2(|BM_1| + |M_1L|) = 3|BM_1|;$$

последнее соответствие, в отличие от случай остругольного треугольника AMB, не противечит условию задачи. Если теперь последовательно рассмотрить треугольники $BM_1C$, $BOL$, $OKM$ и заметить, что $\widehat{OBL} = \widehat{ACB}$, мы прием к ответу (убедитесь в этом):

$$S_{BMC} = \frac{1}{7}(3470 - 600\sqrt{22}).$$

В геометрии обычно принято так формулировать задачу, чтобы ответ

оказывался одним и тем же для любой конфигурации в пределах того производа, который допускает условия. С этой точки зрения приведенная формулировка задачи неудача: в зависимости от того, прямойolgным или тупоolgным является треугольник AMB, получается разные ответы (10) или (11). Для того чтобы такой неоднозначности не было, условия задачи должны начиная так:

«Около нетупоульного треугольника AMB…», тогда задача имеет единственный ответ (10). Однако авторы указанной выше статьи по недосмотру опустил слова «нетупоульного» в текст условия задачи.

Многие читатели присылают в своих письмах различных алгебраических уравнений степени выше второй, для решения которых нужно «увидеть» пусть разложения многочлена на множители, подчас довольно хитрый. Вот два таких уравнения, предложенные учеником 8 класса Алексадром Матвеевым (Рига):

Решите уравнения:

10. $x^3 + x^2 - 5x - 6 = 0.$
11. $x^4 - 10x^3 + 24x^2 - 6x - 9 = 0.$

Школьникам хорошо известно, что для решения задача на экстремумы существует универсальный метод, связанный с использованием производа. Однако это не значит, что в любой задаче такой метод проще и быстрее всего приводит к целю. Иногда лучше не спешить дифференцировать, а попытаться выяснить, нельзя ли воспользоваться какими-нибудь особенностями рассматриваемой конкретиной задачи.

Именно об этом и напоминает читатель «Кваента» в своей письме С. Берколайко (с. Котово Белгородской обл.). При мер 3. Найти площадь боковой поверхности прямогоольного параллеленида $ABCDA_1B_1C_1D_1$, имеющего наиболее общим, если известно, что

$$|AC| = 2\sqrt{2}, \quad |AA_1| = 1.$$

50

Поскольку высота параллелепеда задана, наиболее будем будет иметь параллелепид с наиболее плоскостью основания $ABCD$. Если обозначить через $x$ длину одной стороны прямогольника $ABCD$, то $\sqrt{8-x^2}$ — длина его другой стороны. Таким образом, вопрос о том, когда основание имеет наиболее плоскую площадь, свидетелья о отсутствии наиболее плоского значения функции

$$S(x) = x\sqrt{8-x^2}.$$

Стандартный метод решения такой задачи путем исследования произвольной $S'(x)$ требует проведения некоторых преобразований и вычислений.

Этот можно избежать, если несколько менее шаблонно подойти к задаче нахождения прямогольника наиболее плоской площадь с заданной длиной диагонали. Выберем в качестве переменной величины угла $\alpha$ между диагоналями прямогольника $ABCD$. тогда для его площади получается выражение (проверьте!)

$$S(\alpha) = 4\sin \alpha,$$

откуда сразу же, без всякого дифференцирования, видно, что наиболее плоскую площадь имеет квадрат со стороны длины 2. Следовательно, площадь боковой поверхности параллелепеда равна 8.

Понятие предела последовательности — одно из важнейших в школьном курсе математики и одновременно одно из труднейших для учащихся. Объчно школьники знают, что такое предела последовательности (то есть могут на память сказать определение), но далеко не все достаточно глубоко это определение понятно (то есть могут с ним свободно работать). В. Лебеденко (г. Дубна Московской обл.) прислал в редакцию задачу (правда, довольно известную), решение которого требует именно понимания определения предела последовательности.

12. Существует ли предела последовательности

$$x_n = \sin n?$$

Владение разнообразными приемами преобразования имеет в математике больше значения — низколько не меньше, чем значения различных теорем или умение проводить логические рассудения. Однако из этих приемов состоит в том, чтобы прибавить и вычесть некоторое удалено подобранное выражение. Именно так часто поступают, например, при разложении многочленов на множители.

Ученик 9 класса Аваз Назиев (п. Минджевань Зангеланского р-на Азербайджанской СССР) приводит такой пример:

Пример 4. Доказать, что если функция $f(x)$ имеет произвольную при $x = a$, то

$$\lim_{x \to a} \frac{xf(a) - af(x)}{x - a} = f(a) - af'(a).$$

Прежде чем вычисляется алгебраические преобразования данного выражения (считая, что $x \neq a$):

$$\frac{xf(a) - af(x)}{x - a} = \frac{xf(a) - af(x)}{x - a} - \frac{af(x) - af(a)}{x - a} = f(a) - a \frac{f(x) - f(a)}{x - a}.$$

Отсюда ужеясно, что указаный в (12) предел действительное существует, если существует $f'(a)$ и равенство (12) справедливо.

Предлагаем читательм журнала самостоятельное решение еще две задачи. Первую из них прислал нам ученик 10 класса Аладдин Эйвазов (с. Ашурлу Масаллинского р-на АзССР), вторую — ученик 10 класса Андрей Казаринов (Тольятти).

13. Решите уравнение

$$3^{\log_2 x} + x^{\log_3 x} = 162.$$

14. Три окружности расположены в одной плоскости так, что каждая из них проходит через центры двух других. Найдите площадь фигуры, являющейся объедининием всех трех кругов, если известно, что площадь пересечения всех трех кругов равна $S$.