Задачи М621—М625; Ф633—Ф637

36

Задачи

М621—М625; Ф633—Ф637

М621. Вокруг окружности описан $n$-угольник. Произвольная точка $P$ внутри окружности соединена со всем его вершинами и точками касания. Образовавшиеся $2n$ треугольников окрашены попеременно в красный и синей цвет. Доказите, что произведение площадей треугольников равно произведение площадей синих треугольников.

У. Алла

М622. Доказите, что количество решений уравнения
$$x^3 + y^2 = z^3 + t^2 + 1$$
в натуральных числах, не превысading $10^6$, меньше, чем количество решений уравнения
$$x^3 + y^2 = z^3 + t^2$$
в натуральных числах, не превысading $10^6$.

В. Вавилов

М623. а) Сколько осей симметрины имеет куб? Правильная треугольная парамида?
б) * Доказите, что если некоторый многогранник имеет $k$ осей симметрины ($k \ge 1$), то $k$ нечетно.

В. Сендеров

М624. Найдите последовательность $(a_n)$, определяемую условиями $a_1 = 1$,
$$1 + \sum_{d} (-1)^{n/d} a_d = 0,$$
где сумма $\sum$ берется по всем делительям $d$ числа $n$ (включая $d = 1$ и $d = n$).

Например, если $n = p$ — простое число, то (*) принимает вид $1 + (-1)^{p/1} a_1 + (-1)^{p/p} a_p = 0$, откуда $a_p = 2$, если $p = 2$, и $a_p = 0$ — если $p > 2$.

В. Абрамович

М625.* На координатной плоскости заданы четыре точки с разциональными координатами, не лежащие в вершинах параллелограмма, причем никакие три из них не принадлежат одной прямой. Разрешается проводить прямую через любые две уже полученные точки и отмечать точку пересечения любых двух проведенных прямых. Доказите, что множество точки, которые можно получить таким образом, — это множество всех точек плоскости.

37

кости с рациональным координатами, если:
a) эти четыре точки — вершины трапеци; б) эти четыре точки — вершины произвольного четырехугольника.

Ю. Михеев

Ф633. Три одинаковых резистора, конденсатор емкостью $C$ и катушка индуктивностью $L$ соединены в цепь, как показано на рисунке 1. Частота $\omega$ переменного тока в цепи такова, что $\omega L = 1/\omega C$.
При каком сопротивлении $R$ резисторов tok в неразвлекательной части цепи в $n$ раз меньше тока в каждой из ветвей?

Г. Савкун

Ф634. Стержень $AB$ длиной $l$ и массой $m$ нижним концом опирается на стену и с помощью нити удерживается в наклонном положении (рис. 2).
Нить привязана к стене в точке $C$, а к стержню — в точке $D$ такой, что $|AD| = 1/3|AB|$. Углы, составляемые нитью и стержнем со стеной, равны $\alpha$ и $\beta$ соответственно. Найти возможность значения коэффициента треня между стержнем и стеной.

Ф635. Два одинаковых автоматics массой $m = 10^3$ кг движутся вверх по одной и той же горной дороге. Зависимость высоты $h$ дороги от расстояния $x$ до начала подьема показана на рисунке 3. Каждый автоматиль развивается постоянно мощность $P = 12$ кВт, а сила сопротивления движению автоматия пропорциональна квадрату его скорости: $|\vec{F}| = \alpha|\vec{v}|^2$, где $\alpha = 1,4$ кг/м. На последнем горизонтальном участке дороги расстояние между автоматями равно 100 м. Каким было минимальное расстояние между автоматами при их движении?

«Средниекольный математический журнал», Будапешт

Ф636. Цилиндрический сосуд, закрытый невесоимм поршнем площадью сечения $S$, содержит газ под атмосферным давлением $p_0$. Объем газа при этом равен $V_0$. Сосуд погружают в воду (плотность $\rho_0$) так, как показано на рисунке 4. Найти зависимость расстояния $x$ между поршнем и поверхностью воды от модели $F$ силы, удерживающей нить, которая привязана к поршню.

«Средниекольный математический журнал», Будапешт

Ф637. В сверхпроводящих катушках с индуктивностями $L_1$ и $L_2$, включенных паралельно, возбужден ток. Индуктивность $L_1$ одной из катушек уменьшается до нуля. Во сколько раз изменяется при этом ток в цепи и энергия системы?

П. Зубков

39

так что наименьшее отношение площадей $\frac{a^2}{x_{\max}^2} = \frac{1}{5}$.

Для случая 6)

$$x_{\max} = 2a,$$

так что наименьшее отношение площадей равно $\frac{1}{4}$.

Как и раньше, делаем вывод, что искомое наименьшее отношение площадей равно $\frac{1}{5}$.

Второе решение, конечно, длине первого; но оно основано на красивом геометрическом рассужении, которое можно применять и в других ситуациях. Например, когда рассматривают произвольные треугольники. В этом вы можете убедиться, решив самостояльно такую задачу:

В данной треугольник $ABC$ описать подобный ему треугольник $A_1B_1C_1$ ($\hat{A} = \hat{A}_1$, $\hat{B} = \hat{B}_1$, $\hat{C} = \hat{C}_1$) так, что $A_1 \in [BC]$, $B_1 \in [CA]$, $C_1 \in [AB]$ и площадь треугольника $A_1B_1C_1$ — наименьшая. Более общая задача уже разбиралась в «Кванте» (М207, решение — «Квант», 1974, № 2).

В. Батырев, А. Сосинский

M567. Натуральные числа $p$ и $q$ взаимно просты. Отрезок $[0; 1]$ разбит на $p+q$ одинаковых отрезков (рис. 1). Доказите, что в каждом из этих отрезков, кроме двух крайних, лежитровно одно из $p+q-2$ чисел

$$\frac{1}{p}, \frac{2}{p}, \dots, \frac{p-1}{p},$$

$$\frac{1}{q}, \frac{2}{q}, \dots, \frac{q-1}{q}.$$

Приведем два решения.

Первое решение. Из условия следует, что каждое из чисел $p$ и $q$ взаимно просто с числом $n=p+q$, поэтому никакие две из точки $i/p, j/q, k/n$ (отличные от 0 и 1) не совпадают. Поскольку $1/p > 1/n$ и $1/q > 1/n$, любые две из точки $i/p$ лежат в разных отрезках $\left[\frac{k}{n}; \frac{k+1}{n}\right]$ и любые две из точки $j/q$ — тоже. Нужно лишь доказать, что какие-то две точки $i/p$ и $j/q$ не могут попасть в один и тот же отрезок $\left[\frac{k}{n}; \frac{k+1}{n}\right]$ ($k=1, 2, \dots, n-2$). Но это сразу следует из того, что дробь $\frac{k}{n} = \frac{i+j}{p+q}$ лежит между $\frac{i}{p}$ и $\frac{j}{q}$ (см., на рис. 1).

$p=8, q=5, n=8+5=13$

пример, рисунок 2: угловой коэффициент диагонали параллелограмма заклочен между угловыми коэффициентами его стороны*).

Второе решение. Нарисуем на клетчатой бумаге прямогольник размерми $p \times q$ клеток и проведем в нем диагональ $OE$ (рис. 3) — она и будет играть роль отрезка $[0; 1]$ нашей задачи. Линии одного направления (синние) делят ее на $p$ равных частей, другого (красные) — на $q$ равных частей. Проведем через вершины клеток еще ряд параллельных прямых — под углом $45^\circ$ к линяям сетки (на рисунке это черные прямые $x+y=k$, где $k=1, 2, \dots, p+q-1$). Они делят $OE$ на $n=p+q$ одинаковых отрезков. Утверждение задачи становится почти очевидным. В самом деле, на $OE$ между любыми двумя синкрасьми точкиками обязательно лежит черная точка: ведь, пересекая какую-то клетку, $OE$ обязается пересекает и ее черную диагональ. (Можно вместо этого сказаить и так: между любыми точками пересечения $OE$ с соседними черными прямыми лежит точка пересечения с синей или красной линей.)

В этом решении взаимная простота чисел $p$ и $q$ гарантирует, что $OE$ не проходит через узлы сетки, отличные от $O$ и $E$ (глядя на наш маленький рисунок, в этом можно усомниться).

*) Тот факт, что «mediana» двух дробей $i/p$ и $j/q$ лежит между ними, использовался в статье «Близкие дроби» («Квант», 1975, № 8).

40

Задча M567 допускает заменательное обобщение. Пусть α и β — любые положительные числа, связанные соотношением 1/α + 1/β = 1.

Отметим на числовой оси свободные числа вида iα и jβ (i ∈ Z, j ∈ Z). Тогда каждый отрезок [k; k+1] оси (k ∈ Z), ни в один из концов которого не попало отмещение число, содержитровно одно из отмещенных чисел iα, jβ.

Наша задача эквивалентна этому факту при разциональных α и β: нужно взять α = n/p, β = n/q (роль отрезка [0; 1] будет играть теперь отрезок [0; n]). Этот же факт (для инрациональных α и β) упоминался недавно в решении задачи M538 («Квант», 1979, № 11), очень похожем на нашей второе решение M567.

Н. Васильев

M569. В теперь направлено несколько чисел. К этим числам разрешается приписать число, равное среднему арифметической длины или нескольких из них, если оно отлично от всех уже написанных чисел. Докажите, что, наавс с двух чисел 0 и 1, с помощью описанных операций можно получить
a) число 1/5;
b) любое рациональное число между 0 и 1.

Рис. 4.

$$\frac{1}{3} = \frac{\frac{1}{2} + \frac{3}{8} + \frac{1}{8}}{3};$$
$$\frac{1}{5} = \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{3}{32} + \frac{1}{32}}{5}$$

Рис. 2.

Начнем с представления числа 1/5 и вообше 1/q. Числа 1/2, 1/4, 3/4 получить очень просто:

$$\frac{1}{2} = \frac{0+1}{2}, \frac{1}{4} = \frac{0+\frac{1}{2}}{2}, \frac{3}{4} = \frac{\frac{1}{2}+1}{2}.$$

Так же можно, оченьindo, получить любую двойную двойно-рациональную дробь, то есть дробь вида p/2^m, p<2^m (рис. 1).

Чтобы получить дробь 1/q, достаточно представить 1 в виде суммы q различных правильных двойно-рациональных дробей: их среднее арифметическое будет равно как раз 1/q. Докажем по индукции, что это возможно. В виде суммы двух таких дробей 1 представить можно (например, 1=3/4+1/4).

Из представления 1 в виде суммы n-1 различных двойно-рациональных дробей можно получить ее представление в виде суммы n таких дробей:

$$1 = a_1 + a_2 + \dots + a_{n-1} = \frac{1}{2} + \frac{a_1}{2} + \frac{a_2}{2} + \dots + \frac{a_{n-1}}{2}.$$

В частности, следует этому построению, получим

$$1 = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} + \frac{3}{8} + \frac{1}{8} =$$
$$= \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{3}{16} + \frac{1}{16} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{3}{32} + \frac{1}{32},$$

что дает представление числа 1/5.

Гелерь к доказательству второго утверждения задачи можно идти многоими разными путями. Приведем два из них.

1. Докажем, что если натуральное число p можно представить в виде суммы n-1 различных правильных двойно-рациональных дробей:

$$p = a_1 + a_2 + \dots + a_{n-1} \quad (0 < a_{n-1} < \dots < a_2 < a_1 < 1),$$

то его можно представить и в виде суммы n таких дробей. Пусть 2^m — наиболее низким из значений слагаемых a_i. Заменив a_n-1 на сумму $\left(a_{n-1} - \frac{1}{2^m+2}\right) + \frac{1}{2^m+2}$, получим нужное представление. Итак, каждая из дробей $\frac{1}{q}, \frac{2}{q}, \dots, \frac{q-1}{q}$ может быть представлена в виде среднего арифметического различных правильных двойно-рациональных дробей, то и дроби $\frac{1}{q+1}, \frac{2}{q+1}, \dots, \frac{q-1}{q+1}$ могут быть представлены в аналогичном виде. Чтобы доказать доказательство по индукции (база индукции — представление числа 1/2), осталось представить в нужном виде дробь $\frac{q}{q+1}$. Ее можно получить из представления числа $\frac{1}{q+1}$ заменой всех дробей a_i на 1—a_i.

2. Расмотрим три уже полученных числа: 0, 1/q, 1. Однако из двух средних $\frac{0+1}{2}, \frac{1/q+1}{2}$ — дроби вида p_0/q, 1<p_0<q (если q>2). Однако из двух средних $\frac{0+p_0/q}{2}, \frac{1/q+p_0/q}{2}$ —

41

Дробь $p_1/q$, где $1<p_1<p_0$ (если $q>3$). Ясно, что, продолжая этот процесс, мы получим дробь $2/q$. Расстояв затем тройку чисел $1/q, 2/q, p_0/q$, мы таким же спуском получим дробь $3/q$, затем (если $q>4$) $4/q$, …, $(q-1)/q$ и т. д. (рис. 2).

Заметим, что среднее арифметическое больше чем двух чисел нам надо находить лишь один раз.

М. Серов

Ф578. Концы А и В стержня AB скольzt по сторонам прямого угла (рис. 1). Как зависит от угла α, образуемо стержнем с одной из сторон этого угла, ускорение середины стержня (точки C), если конец В стержня движется с постоянной скоростью $v$?

Рис. 1.

Рис. 2.

Ф580. В схеме, показанной на рисунке, ЭДС батареи Е, ее внутреннее сопротивление r, сопротивление резистора R. При замыкнии ключа K1 стрелка галванометра отклоняется на угол α. На какой угол отклоняется стрелка галванометра, если при замкнутом ключе K1 замкнуты ключи K2? Отклонение стрелки пропорционально заряду, прошедему через галванометр.

Рис. 3.

Рис. 4

◆

Точка C при любом положении стержня находится на расстоянии $l/2$ от вершины O прямого угла (медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы). Следовательно, точка C движется по окружности радиуса $l/2$ с центром в точке O. Скорость $v_c$ точки C направлена по касательной к траектории и в любой момент перпендикулярна OC.

Так как стержень нерастяжим, проекции скоростей точек C и В на направление стержня равны (рис. 2).

$$v \cos \alpha = v_c \cos \beta = v_c \cos \left( 2\alpha - \frac{\pi}{2} \right) = v_c \sin 2\alpha.$$

Позтому

$$v_c = \frac{v \cos \alpha}{\sin 2\alpha} = \frac{v}{2 \sin \alpha}.$$

Проекция ускорения $\vec{a}_c$ точки C на радиус OC = $l/2$ должна быть равна $\frac{v_c^2}{l/2} = \frac{v^2}{2l \sin^2 \alpha}$. Как направлен вектор $\vec{a}_c$? Заметим, что проекция скорости $\vec{v}_c$ точки C на горизонтальном ось равна $v_c \cos (\alpha - \beta) = v_c \cos \left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right) = \frac{v}{2}$. Эта величина не зависит от α и, следовательно, постоянна. Это означает, что вектор $\vec{a}_c$ направлен вертикально.

Таким образом,

$$a_c \cos \left( \frac{\pi}{2} - a \right) = \frac{v^2}{2l \sin^2 \alpha},$$

откуда

$$a_c = \frac{v^2}{2l \sin^3 \alpha}.$$

◆

После замыкния ключа K1 направление на конденсаторе становится равным Е. При этом заряд конденсатора равным

$$q_1 = C \varepsilon.$$

Такой заряд и проходит через галванометр при замыкнии ключа K1. Следовательно,

$$\alpha = kq_1 = kC \varepsilon,$$

где $k = \text{const}$ — коэффициент пропорциональности.

После замыкния ключа K2 направление на конденсаторе становится равным резисторю на резисторе, то есть $U = IR$, где I — ток, текущий через резistor. Так как резistor включен после давления с источником, $I = \varepsilon / (R + r)$. Следовательно, $U = \varepsilon R / (R + r)$. Заряд же конденсатора после замыкния ключа K2 становится равным

$$q_2 = CU = C \varepsilon \frac{R}{R + r}.$$

Следовательно, через галванометр после замыкния ключа K2 проходит заряд

$$q = q_1 - q_2 = C \varepsilon \frac{r}{R + r}$$