Задачи наших читателей

14

дой вершине примыкают различными углами три конгруэнтных остроугольных треугольника, и многогранник оказывается тетраэдром (убедитесь в этом), изобразенным на рисунке 10. Разверткой этого тетраэдра) служит произвольный остроугольный треугольник с проведенными средними линяями. Таким образом, получен еще один тип положительного транситивных многогранников:

14. $m=3, k=1$.

Г) Многогранник $M$ не содержит неразвитных граней.

Согласно лемме 3, либо все грани конгруэнтны — это дает путь правильных многогранников (случан 15—19), либо же имеются два вида граней: правильные $l_1$-угольники и правильные $l_2$-угольники, причем смежными с $l_1$-угольниками является только $l_2$-угольники и наоборот ($здесь l_1<l_2$). В этом последнем случае в каждой вершине сходятся $l_1$-угольник, затем $l_2$-угольник, затем снова $l_1$-угольник и т. д. Отсюда легко заключит, что в вершине схо

*) Иногода также тетраэдры называют полуправильными.

Задание
наших читателей

1. Известно, что
   $$F\left(\frac{x+1}{x-2}\right)+2F\left(\frac{x-2}{x+1}\right)=x.$$
   Найдите $F(x)$.

Н. Адцезалов

2. Пусть дано равенство $x^2+y^2=z^2$, где $x, y, z, m>1$ — натуральные числа. Докажите, что $x, y, z$ не могут образовать прогрессию — ни арифметическую, ни геометрическую.

M. Ибраимов

3. Обозначим через $S(A)$ сумму цифр числа $A$. Докажите, что последовательность $\left(\frac{S(n^2)}{S(n)}\right), n\in\mathbb{N}$ не ограничена.

Верно ли аналогичное утверждение для последовательности $\left(\frac{S(n)}{S(n^2)}\right)$?

Э. Туркевич

Когда под рукой нет ЭВМ

Очевидное тожество
$$a^2=(a-d)(a+d)+d^2$$
может оказаться полезным при возникении чисел в квадрат:
$$43^2=(43-3)(43+3)+3^2=40\cdot 46+9=1849,$$
$$43^2=(43+7)(43-7)+7^2=50\cdot 36+49=1849,$$
$$257^2=(257+43)(257-43)+43^2=300\cdot 214+43^2=64200-1849=66049.$$
А. Криц