Задачи на столкновения тел

45

Задчи
на столковения
тел

Довольно часто на вступительных экзаменах абитурентам предлагаются задачи, в которых рассматривается столковение тел (иногда столковение называют ударом, или соударением, или рассеиванием). Объчно речь идет о соударении двух тел; если же соударящиеся тел больше, их взаимодействие можно представить как совокупность попарных соударений.

Прежде чем решать любую задачу по физике, и в частиности задачу на соударение, нужно понять, какие явления, рассматриваемые в задаче, играют главную роль, а какими явлениями можно пренебречь. В соответствии с этим нужно выбрать идеализированную картину и установить для нее применимость соответствующих физических законов.

Процесс столковения тел можно разделить на три стадии: первая стадия — тела налетают друг на друга с постояными скоростями и в какой-то момент соррикаются друг с другом; вторая стадия (собственно соударение) — появляются силы взаимодействия между телами, которые действуют в течение некоторого промежутка времени; третьая стадия — тела разлегаются с новых неизменными во времени скоростями. Объчно формулировка задачи на соударение предполагает по заданным начальным скоростям тел определенных их конечные скорости (или наоборот). При этом стадия собственно соударения фактически не рассматривается, а обсуждается лишь ее характер: удар упругий или неупругий, центральный или нецентральный и т. д.

В качестве примера рассмотрим упруeuй удар. Пусть небольшое тел произвольной формы налетает на другой тел. Придая в соприкосновение, тела начинают деформировать. Возникающие упругие деформации передаются от одних частей тела к другим со скоростью распространения звука (то есть достагоно быстро), причем различные части тела получают различные скорости. Наконоц, импульсы деформации достигают противоположных границ тел, отражаются от них, и тела отскакивают друг от друга подобно сжатым ружинам. Что же при этом происходит с первоначальным запасом механической энергии тел?

Из-за неодинаковости скоростей движения различных частей тела возникнет колебания, они отбирают определенную энергию, которая при затухании колебаний превращается в тепло. Кроме того, всякое колеблющее тел становится источником звуковых волн, которые тоже уносят часть энергии. Если удар нецентральный, то есть если относительная скорость соударяющихся тел не проходит по линии центров тел, тела начинают врашаться. Энергия, необходимая для этого, черпается тоже из кинетической энергии поступательного движения тела. Вращение могут вызвать также силы трения. Однако, если отношение потерь к первоначальному запасу механической энергии мало, всеми необратимыми превращениями механической энергии в других видах энергии пребрегают и удар считают абсолотно упругим. Идеализированная картина такого удара состоит в следующем: кинетическая энергия поступательного движения налетаются тел частично переходит в потенциальную энергию упругих деформаций; потенциальная энергия растет до тех пор, пока не сравняются скорости движения обихх тел, а затем она переходит в кинетическую энергию распространения тела. Таким образом, при абсолотно

49

Рис. 5.

и $\overrightarrow{BD}$ ($\overrightarrow{BC} = -\overrightarrow{BD}$) и обозначим $|\overrightarrow{BC}| = |\overrightarrow{BD}| = v_0$. Закон сохранения полной энергии и теорема о том, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон, приводят к соотношению

$$v_1^2 + v_2^2 = 2v^2 + \frac{4}{m}(E_1 - 2E_2)$$

и

$$v_1^2 + v_2^2 = 2v^2 + 2v_0^2,$$

откуда

$$v_0 = \sqrt{\frac{2}{m}(E_1 - 2E_2)}.$$

Очевидно, возможно два случая: а) $v \geq v_0$; б) $v < v_0$. Расмотрим сначала случай a), которое как раз и соответствует рисунок 5, и найдем максимальное возможный угол $\varphi$. Для этого воспользуемся теоремой косинусов для треугольников $ACD$, $ABD$ и $ACB$ и получим

$$\cos \varphi = \frac{v_1^2 + v_2^2 - (2v_0)^2}{2v_1v_2} = \frac{v^2 - v_0^2}{\sqrt{(v^2 + v_0^2)^2 - (2vv_0 \cos \alpha)^2}}.$$

Отсюда

$$\cos \varphi \geq \frac{v^2 - v_0^2}{v^2 + v_0^2}$$

и

$$\varphi_{\max} = \arccos \frac{v^2 - v_0^2}{v^2 + v_0^2},$$

где $v_0^2 = \frac{2}{m}(E_1 - 2E_2)$.

При этом $v_1 = v_2 = \sqrt{v^2 + v_0^2}$.

Случай б) рассмотрен самостояльно и убедитесь в том, что $\varphi_{\max} = \pi$.

Упражнения

1. На пути тела массой $m$, скользывающего по гладkomу столу со скоростью $\vec{v}$, находится неподвижная незакрепленная горка массой $M$ и высотой $H$ (профиль горки изобранен на рисунке 6). Определите скорости тела и горки после того, как тело покинет горку. Тело движется, не отрываясь от горки, треннее между телом и горкой отсутствует.

2. Под каким углом $\beta$ разлетаются два одинаковых гладких шарика после абсолотно упругого удара? До удара один из шариков покопился, а другой двигаля со скоростью $\vec{v}$, направленной под углом $\alpha$ к линии центров шариков.

3. По гладкой поверхности стола могут двигаться колюцо радиусом $R$ и нахождение внутри колюца маленький шарик. В некоторых момент шарик упруго соударяется с колюцом. До удара колюцо покопится, а шарик движется со скоростью $\vec{v}$, которая составляет угол $\alpha$ с радиусом, проведенным в точку удара. Найдите время до следующего удара.

4. Два гладких одинаковых шарика массой $M$ каждый покопится на гладкой горизонтальной поверхности, касаясь друг друга. Третий шар также радиуса, но массой $m$ движется по поверхности со скоростью $\vec{v}$, проходящей через точку касания неподвижных шариков. Определите скорости шариков после абсолотно упругого удара.

Поправка

В формулировке задачи М649 («Квант» № 10) допущена операция: пропущен множитель $\frac{1}{2}$ перед выражением $c^2_n$. Срок присылания решения этой задачи продлевается до 1 февраля 1981 года.