Видоизменение поверхности Штейнера

30

Видонзменение поверхности Штейнера

На обложке первого номера «Кванта» за этот год был напечатан чертеж поверхности Штейнера, выполенный ЭВМ. В заметеке по этому поводу читательм было предложено нарисовать и описать поверхности, получающие из поверхности Штейнера заменой нуля в правой части ее уравнения на ±0,001, то есть поверхности

$$x^2y^2 + x^2z^2 + y^2z^2 + xyz = \pm 0,001.$$

Десятиклассик Олег Морозов из Челябинска прислал нам свои чертежи (см. рисунки 1 и 2) и также описание поверхностей: Поверхность $x^2y^2 + x^2z^2 + y^2z^2 + xyz = 0,001$ — двусторонняя, незамкнутая, так как имеет около координатных осей «выростцы», уходящие в бесконечность. Сечения поверхности координатными плоскостями представляют из себя зигровы (всего 12 ветвей). «Вnadины» на поверхности не соприкасаются друг с другом и с координатными осями (…).

Поверхность $x^2y^2 + x^2z^2 + y^2z^2 + xyz = -0,001$ состоит из четырех конгерзительных замкнутых непересекающих частей, которые также не пересекаются ни с одной координатной плоскостью. «Вnadины» на ней как бы пересекают друг друга и в местах пересечения исчезают.

Рис. 3.

Редакция обработлась к автору заметки Ю. Котову с просбой прокомментировать это письмо. Юрий Владимирович в свою очередь обращался к своему коллеге, компьютеру EC-1022, с просбой нарисовать нужные поверхности. В результате компьютер представил два чертежа (рисунки 3 и 4), а автор заметки ответил нащему читателю так:

Дорого Олег, Вы, в основном, правильно представле себе поверхности, о которых идет речь, и достаточно убедительно их изображили, подметив их основные геометрические свойства. По нашему мнению, если расматривать изменяющуюся во времени поверхность $x^2y^2 + x^2z^2 + y^2z^2 + xyz = T$, здесь $T$ — параметр, момент перехода «через нуль», в которых и появляется поверхность Штейнера, любопытен. В этот момент «исчезают» бесконечные «выростцы» и поверхность распадается на четыре положи.

Но надо внести некоторое уточнение: четыре части, на которые расположены поверхность при $T < 0$, — главные, у них нет ребер, изображенных на Ващем рисунке. Нет и ребер, отделяющих «вnadины» от остальной поверхности для $T > 0$. Поперечень сечения «выростов» при достаточно удалении от начала координат приближаются.

Рис. 4.

Ю. Котов