Эти «коварные» векторы

Квант 1980, №12 с. 40, 42, 43, 44 Тег KANU

Эта заметка посвящена некоторым особенностям применения векторов к решению геометрических задач.

Применение векторов основано на том, что различные утверждения о взаимном расположении точки, прямых и плоскостей могут быть формированы на «векторном языке», в частности с помощью понятий колlinearности и компланарности. Это позволяет свести геометрическую задачу к векторному равенству. В свою очередь векторное равенство можно свести (в частности, на основе теоремы единственности разложения) к алгебраической равенству или к системе алгебраических равенств.

Задача 1. Основание параллелограмм ABCD. Плоскость пересекает боковые ребра SA, SB, SC и SD параллелус соответствующего в точках M, N, P и Q так, что |SM|:|SA|=a, |SN|:|SB|=b, |SP|:|SC|=c,

Рис. 1.

|SQ|:|SD|=d. Доказать, что $\frac{1}{a} + \frac{1}{c} = \frac{1}{b} + \frac{1}{d}$ .

Решение e. Отрезки NM, NP и NQ (рис. 1) лежат в одной плоскости. Согласно определению компланарных векторов, векторы NM, NP и NQ компланарны. Векторы NM и NP, очевидно, не колlinearны, поэтому по теореме о разложении компланарных векторов существует числа x и y такие, что $NQ = xNM + yNP$ . (1)

Разложим эти векторы по трем некомпланным векторам SA, SB и SC. Имеем SM=aSA, SN=bSB, SP=cSC, SQ=dSD, откуда

$NM = SM - SN = aSA - bSB$ , (2)
$NP = SP - SN = cSC - bSB$ , (3)
$NQ = SQ - SN = dSD - bSB$ . (4)

Поскольку $SD = SA + AD$ , а $AD = BC = SC - SB$ , из (4) следует, что $NQ = dSA - (d + b)SB + dSC$ . (5)

Подставляя (2), (3), (5) в (1), получаем

$NQ = dSA - (d + b)SB + dSC = axSA - b(x + y)SB + cySC$ . (6)

В силу единственности разложения векторное равенство (6) равносильно системе

$\begin{cases} d = ax; \\ d + b = b(x + y), \\ d = cy. \end{cases}$

Отсюда $x + y = \frac{d}{a} + \frac{d}{c} = \frac{d + b}{b}$ , или $\frac{1}{a} + \frac{1}{c} = \frac{1}{b} + \frac{1}{d}$ .

В рассмотренном примере векторное равенство (6) было сведено к системе (7). Следует помнить, что равенство для векторов в пространстве равносильно именно системе трех алгебраических равенств. Поэтому если хотя бы одно из равенств этой системы неверно при любых значениях переменных, то в векторное равенство неверно, а исходная геометрическая задача решей не имеет. Следующий простой пример подтвердает это.

Жашим в плоскости OAB. Значит, векторы $\vec{a}, \vec{b}$ и $\vec{c}$ компланарны. В исключениях выше служах доказательство еще проще, и мы оставляем его читателю.

Задача 3 («Геометрия 9—10», № 247). Точка A — общая вершина параллелограммов ABCD и $AB_1C_1D_1$ . Доказите компланарность векторов $\vec{BB}_1, \vec{CC}_1, \vec{DD}_1$ .

Решение. Имеем $\vec{CC}_1 = \vec{CB} + \vec{BB}_1 + \vec{B}_1\vec{C}_1$ (рис. 4) и, так как $\vec{CB} = \vec{DA}$ и $B_1\vec{C}_1 = \vec{AD}_1$ , получаем $\vec{CC}_1 = \vec{BB}_1 + (\vec{DA} + \vec{AD}_1)$ . Но $\vec{DA} + \vec{AD}_1 = \vec{DD}_1$ , поэтому $\vec{CC}_1 = \vec{BB}_1 + \vec{DD}_1$ . Отсюда следует по (*), что векторы $\vec{CC}_1, \vec{BB}_1$ и $\vec{DD}_1$ компланарны.

Задача 4. Данные три единных вектора $\vec{a}, \vec{b}$ и $\vec{c}$ также, что $(\vec{a}, \vec{c}) = (\vec{b}, \vec{c}) = \frac{\pi}{3}, (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\pi}{2}$ . Компланары ли эти векторы?

Предлагаем сначала найти ошибку в следующем рассуждении:

«Доказем, что $\vec{a}, \vec{b}$ и $\vec{c}$ компланары. Будем искать числа $x$ и $y$ , для которых $\vec{c} = \vec{x}a + \vec{yb}$ .

Для этого умножим обе части (11) скалярно на вектор $\vec{a}$ . Получим $\vec{c} \cdot \vec{a} = \vec{x}a \cdot \vec{a} + \vec{yb} \cdot \vec{a}$ , откуда $x = \frac{1}{2}$ . Умножив обе части (11) на $\vec{b}$ , получим $\vec{c} \cdot \vec{b} = \vec{x}a \cdot \vec{b} + \vec{yb} \cdot \vec{b}$ , откуда $y = \frac{1}{2}$ . Значит,

$\vec{c} = \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b},$

то есть по (*) векторы $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ компланарны».

To, что это рассужждение ошибочно, устанавливает легко. Достаточно попытаться от некоторой точки векторы $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ с заданным углам между ними. Сразу ставя ясно, что это невозможно. Значит, векторы $\vec{a}, \vec{b}$ и $\vec{c}$ не компланарны.

Для того чтобы понять, где была допущена ошибка, вернемся к началу рассужждения. Там было высказано номерение найти такие числа $x$ и $y$ , при которых равенство (11) верно. Но это номерение не было осуществлено. Действительно, последующее выкладки доказывают только то, что из (11) следует (12), и не более. Ни существование чисел $x$ и $y$ , для которых верно (11), ни справедливо равенства (12) не доказаны. И значит, вывод «по (*) векторы $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ компланарны» не обоснован.

Ошибка здесь состоит в том, что из проведенных рассужений делается вывод, не соответствующий доказанному утверждению.

Приведем теперь векторное решение задачи 4.

Доказем от противного, что векторы $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ не компланарны. Предположим, что существуют такие числа $x$ и $y$ , что равенство (11) верно. Тогда, как и ранее, получим, что верно и (12). Умножив (12) скалярно на $\vec{c}$ , получим, что верно равенство $1 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4}$ , то есть $1 = \frac{1}{2}$ . Это противоречие показывает, что (11) неверно ни при каких $x$ и $y$ , то есть векторы $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ не компланарны.

Рассмотрим еще пример того, как неполный перевод условий геометрического задачи на «векторный язык» может привести к ошибке.

Задача 5. При какой длина ребра AD в тетраэдре ABCD выполены соответствующими условиями:

$\overrightarrow{ABC} = \frac{\pi}{2}, \overrightarrow{BCD} = (AB, CD) = \frac{5}{7},$

$|AB| = |BC| = |CD| = a?$

«Решение». Поскольку $\vec{AD} = \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD}$ , мы получаем $\vec{AD}^2 = \vec{AB}^2 + \vec{BC}^2 + \vec{CD}^2 + 2\vec{AB} \cdot \vec{BC} + 2\vec{AB} \times \vec{CD} + 2\vec{BC} \cdot \vec{CD}$ . Здесь $\vec{AB}^2 = \vec{BC}^2 = \vec{CD}^2 = a^2$ , $\vec{AB} \cdot \vec{BC} = 0$ , $\vec{BC} \times \vec{CD} = a^2$ cos $(\pi - \vec{BCD}) = -\frac{5}{7} a^2$ , $\vec{AB} \cdot \vec{CD} = a^2$ cos $(\vec{AB}, \vec{CD})$ , а так как возможно два случая: $(\vec{AB}, \vec{CD}) = \arccos \frac{5}{7}$ или $(\vec{AB}, \vec{CD}) = \pi - \arccos \frac{5}{7}$ , получаем либо $\vec{AB} \times \vec{CD} = \frac{5}{7} a^2$ , либо $\vec{AB}, \cdot \vec{CD} = -\frac{5}{7} a^2$ . Отсюда следует, что либо $\vec{AD}^2 = 3a^2$ , либо $\vec{AD}^2 = \frac{a^2}{7}$ . Значит, $|\vec{AD}| = \sqrt{3} a$ , или $|\vec{AD}| = \frac{a}{\sqrt{7}}$ .

На первый взгляд в этом решении не было возможности ошибиться. Тем не менее ошибка в нем есть. Дело в том, что поставленная геометрическая задача равновесила задаче о решении векторной системы:
$\begin{cases} |\vec{AB}| = |\vec{BC}| = |\vec{CD}| = a, \\ \vec{AB} \cdot \vec{BC} = 0, \\ \vec{AB} \cdot \vec{CD} = \pm \frac{5}{7} a^2, \\ \vec{BC} \cdot \vec{CD} = -\frac{5}{7} a^2, \\ \vec{AD} = \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD}. \end{cases}$

Это система с четырьмя неизвестными векторами $\vec{AB}, \vec{BC}, \vec{CD}$ и $\vec{AD}$ , и геометрическая формулировка задачи 5 может быть теперь заменена на алгебраическую (векторную) формулировку: чему равна длину

Рис. 5.

Умножив обе части (15) скалярно на $\vec{AB}$ , получим, что $x = \pm \frac{5}{7}$ , а умножив (15) на $\vec{BC}$ , найдем $y = -\frac{5}{7}$ . Тогда

$|\vec{CD}|^2 = (x^2 + y^2 + z^2)a^2 = \left(\frac{50}{49} + z^2\right)a^2 > a^2,$

а это противоречит условию $|\vec{CD}| = a$ .

Значит, система (14) решений не имеет, и мы получаем тот же ответ, что и ранее.

Приложенные к этой заметке задачи можно решать и с помощью векторов и число геометрических.

Упражнения

Даны точки $A, B, C$ , не лежащие на одной прямой, и точки $D$ и $O$ , $O \neq D$ . Доказать, что для того, чтобы точка $D$ принадлежала плоскости $ABC$ , необходимо и достаточно, чтобы $OD = xOA + yOB + zOC$ , где $x + y + z = 1$ .
Основание прямых $SABCD$ — параллелограмм $ABCD$ . На ребрах $AB, AS$ и $SC$ расположены соответственно точки $M, N$ и $P$ , так, что $|BM| : |AB| = |AN| : |AS| = |SP| : |SC| = 2:3$ . Через середину $Q$ ребра $BC$ проведена прямая, параллельная плоскости $MNP$ и пересекающая прямую $SD$ в точке $R$ . Найти отношение $|DR| : |DS|$ .
Все ребра правильной прямы $ABCA_1B_1C_1$ имеют длину $a$ . Прямая, перпендикулярная плоскости $BA_1C_1$ , пересекает прямые $BC_1$ и $AB_1$ соответственно в точках $M$ и $N$ . Найти $|MN|$ .
Даны три прямые, не лежащие в одной плоскости. Сколько существует прямых, проходящих через данной точку и составляющих с данными прямыми равные углы $^2$ .
В тетраэдре $ABCD$ $|AB| = |BC| = |CD|$ , $ABC = a$ , $BCD = (AB, CD) = \beta$ . Найти угол между прямыми $AD$ и $BC$ . При каких а и β задача a) не имеет решений; б) имеет одно решение; в) имеет два решений?

Список читателей, приславших правильные решения задачи из Заданияка «Кванта»
(Начало см. на с. 34)

С. Доронин (Днепропетровск) 17; А. Дремин (п. Черноголовка Московской обл.) 12; А. Дурбак (Рогатин) 16; С. Дымшаков (Шадринск) 16, 17; Ю. Елисеев (Великие Луки) 4; И. Елисеевич (Чернигов) 4, 6, 7; И. Ельканович (Баку) 17; Т. Енчев (Ямбол, НРБ) 9, 12; В. Жордочки (Орск) 4, 6-8; В. Заварзин (Чимкент) 16; А. Заневский (Ленинград) 4, 6-9, 11, 16, 17; М. Зейфман (Вологда) 4, 6, 7, 9, 11, 12, 16; И. Зильберберг (Алма-Ата) 6; В. Золотагевский (п/o Березовское Харьковской обл.) 7; И. Зыбцев (Ужур) 9, 11, 12, 17; Т. Иванов (Плевен, НРБ) 16, 17; А. Иванов (Воронеж) 8, 12; В. Ивахенко (Киев) 11; В. Изеренин (Новосибирск) 7, 9, 11, 12, 16, 17; В. Израилит (Днепропетровск) 9, 16, 17; В. Каазловский (Харьков) 11, 12; С. Калмыков (Копейск) 6, 12; А. Каплан (Сумгант) 8, 17; Д. Каплан (Зеленоград) 7; А. Карсев (Белгород) 7, 17; М. Качкацивили (Рустави) 12; Э. Кашанов (Уфа) 4; А. Кечеджян (Ереван) 6, 7, 9, 11, 12, 16; М. Кибирев (Тула) 8, 9, 12; Ю. Кирпач (Киев) 4, 6, 7, 11, 17; Ю. Коверник (Запорожье) 6; Е. Коран (Днепропетровск) 8, 9, 11, 12; А. Кожевников (Днепропетровск) 8, 9, 12; В. Козловский (Новолукомль) 8-12; Т. Кожоридзе (Тельви) 12; Д. Коломоцев (Сумгант) 4, 6-9, 11; В. Комов (Алексадров) 4, 6-12, 16, 17; Т. Кондрацкая (Киев) 4, 6-8; С. Конкин (Арзамас) 4, 9, 11, 12; В. Коробов (Кировоград) 16; К. Корчаzin (Ереван) 16; М. Костин (Саратов) 12; И. Костюевич (Ленинград) 4, 6, 9, 12, 17; Д. Котельников (Магнитогорск) 4, 6, 7, 16, 17; М. Кравцов (Коммунарск) 16; К. Крапивной (Запорожье) 6, 7; И. Красиков (Киев) 8, 9, 11, 12; А. Крейнес (Кольчугино) 17; Л. Креминская (Ровно) 8; Е. Кренцель (Москва) 17; Р. Крис (Киев) 4, 7, 8, 11, 12; И. Кроливец (Краматорск) 11, 12; Е. Кузнецов (КИшинев) 6, 8, 11, 12; П. Кузнецов (Киев) 4, 6, 8-12; А. Кузьмин (Алма-Ата) 6, 7, 11; Д. Куксенков (Ленинград) 16, 17; С. Курчатов (Саратов) 4, 7; Б. Лапидус (Москва) 11, 12, 17; М. Левенков (Верещино) 17; В. Лейтес (Москва) 4, 6, 7; И. Леонов (Воронеж) 6, 11, 12; Д. Лещинский (Магнитогорск) 16; Ф. Ломая (Симферополь) 9, 12; И. Лукуянчук (Киев) 4, 6, 17; Е. Любовицкий (Кострома) 16; А. Ляпин (Гомель) 4, 6, 16, 17; А. Мазуркович (Лыткарино) 6, 9, 11, 12; З. Макимов (Ташкент) 16, 17; А. Мальцин (Горький) 16; В. Мальцев (Уфа) 17; О. Мануиленко (Киев) 17; С. Масленников (п. Мешон Гоменской обл.) 4; С. Махортых (Лисичанск) 9; А. Микula (Жидачков) 4, 6, 12, 17; С. Милованов (Запорожье) 17; С. Михайловский (Виноградовский р-н Архангельской обл.) 7, 11, 12, 16; Г. Молчанов (Саратов) 7-9, 11, 12; Д. Мякшев (Ангарск) 11; Р. Набоков (Москва) 4, 7; С. Надточий (Москва) 4, 6-9, 11, 12; А. Назаренко (Киев) 6-9, 11; М. Найловзен (Баку) 16; Д. Нишинаидзе (Кутанси) 8; Д. Ноздрин (Саратов) 4, 6; С. Обочевец (Ленинград) 6, 7; Д. Овсянников (Ленинград) 4, 6-9, 12; С. Одинцова (Киев) 4, 6, 7, 11; А. Орлов (Окончание см. на с. 55)