[Приложение к статье «Венгерский шарнирный кубик»]

Квант 1980, №12 с. 21 Тег 66OK

Если неверно повернуть кубиков только два, они не могут оба требовать поворота в одну и ту же сторону. Иначе мы бы совместно повернуть их и еще один кубик — появилось бы положение с одним неверно повернуть кубиком, что невозможно в силу III.

Итак, два неверно повернуть кубика требуют поворота в разные стороны. Повернем в нужную сторону один их этих кубиков и два кубика, ранее стоящих правильно. А затем — в другую сторону — эти два новых кубика и второй из ранее повернуть неправильно. В результате все кубики займут правильно положение!

Приложение*)

Обозначим через $S_0$ правильное состояние куба. Занутерем числа $i=1, 2, ..., 8$ его вершины (угловые кубики) и числа $j=1, 2, ..., 12$ его ребра (средние кубики). На ребрах выберем (и заполним) любую ориентацию (и направим соответствующие стрелки на средних кубиках) так, чтобы параллельные ребра были сопправлены.

Предположим, что в некотором законом состоянии**) $S$ куба $j$ -й средний кубик попал на ребро $j'$ ; сравним ориентацию ребра $j'$ (которую мы заполнили) со стрелкой, направенной на $j$ -м кубике. Обозначим через $n_j(S)$ величины, равную 0, если указывающие ориентации совпадают, и равную 1 в противном случае. Если сумма

$n_1(S) + n_2(S) + ... + n_{12}(S)$

четна, мы полагаем $n(S)=0$ , иначе $n(S)=1$ ; можно сказать, что $n(S)$ — это «четность суммарного поворота средних кубков». Доказйте, что

Величина $n$ является инвариантом, то есть одинаковая при всех законом состоянии куба: $n(S)=n(S_0)=0$ . (Указание. Достаточно показать, что $n(S)$ не меняется при любом повороте одной литки).
В законом состоянии куба не может быть повернуть равно один средний кубик (свойство I, с. 19). (Указание. В таком состоянии $n(S)=1$ ).

Вспомним, что положение центральных куба в пространстве не меняется при поворотах; для определения предположим, что нижний центральный кубик — зеленьй, верхний — синий; эти два цвета будем считать виделенными. Возмем $i$ -й угловой кубик нашего куба, находящаяся в состоянии $S$ . Ровно одна клетка углового кубика выделена (почему?). Если эта клетка горизонтальная, положим (по определению) $N_i(S)=0$ ; если эта клетка становится горизонтальной при повороте кубика на $120^\circ$ (по часовий стрелке) вокруг диагонали большого куба, положим $N_i(S)=1$ ; если же горизонтальное получается поворотом на $240^\circ$ , то $N_i(S)=-1$ . Если сумма

$N_1(S) + N_2(S) + ... + N_8(S)$

при делении на 3 дает в остатке 0, 1, 2, мы полагаем величины $N(S)$ равной 0,1, —1 соответственно. Можно сказать, что величина $N$ — это «направление суммарного поворота угловых кубков». Доказите, что

Величина $N$ является инвариантом, то есть одинаковая при всех законом состоянии куба: $N(S)=N(S_0)=0$ .
В законом состоянии куба не может быть повернуть равно один средний кубик (свойство III, с. 19).

Предположим, что в состоянии $S$ средние кубики с номерами 1, 2, …, 12 занимаются с номерами $j_1, j_2, ..., j_{12}$ соответственно, а угловые кубики 1, 2, …, 8 — места $i_1, i_2, ..., i_8$ . Наборы $I(S)=(i_1, i_2, ..., i_8)$ и $J(S)=(j_1, j_2, ..., j_{12})$ — это просто номера кубков, записанные в другом порядке; математики также наборы называют перестановками. Перестановку называют четной, если в ней имеется чётное число беспорядков, то есть чётное число пар цифр, стоящих не в порядке возрастания, и нечетной в противном случае. Можно сказать, что $\epsilon$ — это «четность расстановки всех кубков». Доказите, что

Величина $\epsilon$ является инвариантом, при этом $\epsilon(S)=\epsilon(S_0)=0$ для любого законом состояния $S$ . (Указание. Показите, что при любом повороте литки меняется четность $I$ и четность $J$ ).
Ровно одна угловых кубика не может помещаться местами (свойство II, с. 19).

7*. Состояние $S$ куба законом тосяда и только тосяда, когда

$n(S)=N(S)=\epsilon(S)=0$ .

8*. Все состояния (в том числе полученные разборки и сборкой куба развищется на 12 классов; при этом два состояния $S, S'$ переводятся друг в друге поворотами лит тосяда и только тосяда, когда $n(S)=n(S')$ , $N(S)=N(S')$ , $\epsilon(S)=\epsilon(S')$ .

*) Автор Принложения — В. Дубровский.
**) То есть в состоянии, полученном из правильного поворотами литок (без перекрашивания клеток или разборки кубика).