Призёры XVII Всесоюзной олимпиады школьников

56

за, измерительная линейка, кусочек пластилна.

Самым точным способом определения показателя преломления исследуемой пластинки оказался «школьный» способ. Пластина ставилась на миллиметровую бумагу и совмещением параллельных линей сетки, отстоящих друг от друга на 5 мм, находилсяход лучей. Заменяя угловые измерения линейными, можно было достингнуть погрешности измерений, не превышающей 5%.

Другой способ, приводящий к погрешностям до 10%, заключался в следующем: две параллельные линей, расстояние между которых было l=2 см, расматривались через пластинку так, чтобы одна линя совместилась с другой (рис. 7). Измеряя расстояния H, L, l и d, несложно расчитать искомый показатель преломления n = sin α/sin β.

Третий способ, приводящий к погрешностям до 10%, заключался в следующем отражения света от двух поверхностей пластинки (рис. 8). Измеряя расстояние l, можно расчитать показатель преломления вещества пластинки. Этот способ годится и для случая, когда нижняя поверхность пластинки зачерена и поэтому первые два способа не применены.

Предлагались и другие способы, но по точности измерений они уступали описанным выше.

Нанобольшие трудности вывала вторая часть задания. Опишем два способа ее выполнения.

Первый, наиболее рациональный способ, приложенный A. Алексеевым (Ленинград), A. Бурщенко (Новосибирск) и M. Савровым (Азов), заключается в следующем. Лампочка располагается около глаза на высоте H от пластинки. Если смотреть на пластинку в вертикальном направлении, видно два изображения нити лампочки. Положив под пластинку полоску миллиметровой бумаги и отметив на ней две точки на расстоянии x друг от друга, можно подобрать такую высоту H, с которой два изображения лампочки будут находиться на заданном расстоянии. Знача показатель преломления вещества пластинки n, можно оценить угол δ между плоскостями пластинки и указать направление ребра клина (рис. 9):

$$\alpha \approx \frac{x}{H}, \alpha=n\delta \Rightarrow \delta \approx \frac{x}{nH}.$$

Второй способ, приложенный B. Банкковым (Алексин) и M. Дьячковым (п. Черноголовка Московской области), основан на наблюдении изображений светящейся нити лампочки после отражения от верхней и нижней граней. При повороте пластинки расстояние между изображениями лампочки изменяется от нуля до максимального значения. Положение пластинки при максимальном или минимальном отложении между изображениями спрауз уже позволяет сделать вывод о положении ребра клина и о том, в каком месте толщина пластинки максимальная, а в каком минимальная. Расчет же угла δ удобнее проводить при совмещении обихих изображений (рис. 10). Измеряя расстояния h, l и L, можно расчитать искомый угол δ.

57

Виннер Г. (Свердловск, с.ш. № 9),
Ворожейкин В. (Москва, ФМШ № 18 при МГУ),
Кохась К. (Ленинград, с.ш. № 239),
Орлов Д. (Владимир, с.ш. № 8),
Родионов А. (Москва, с.ш. № 444),
Садзтов С. (Ростов-на-Дону, с.ш. № 14),
Седола С. (Рига, с.ш. № 1),
Харитонов Р. (Николаев, с.ш. № 38).

Дипломы III степени
по 8 классам получили
Атаманчик Ю. (п. Усть-Юган Тюменской обл.),
Бадрин Е. (Рязань, с.ш. № 8),
Дворцовой Д. (Минск, с.ш. № 19),
Еспилова Т. (Ростов-на-Дону, с.ш. № 5),
Маринец Ю. (Львов, с.ш. № 11),
Свягодух И. (Красноармейск Донецкой обл., с.ш. № 3),
Троицкий В. (Южно-Сахалинск, с.ш. № 2);

по 9 классам —
Ведерников А. (Ленинград, ФМШ № 45 при ЛГУ),
Виксна Ю. (Алуксне, с.ш. № 1),
Гараев М. (Физули, с.ш. № 2),
Глуховский Л. (Москва, с.ш. № 842),
Кангро Р. (Таллин, с.ш. № 1),
Ковалевский А. (Коммунарск, с.ш. № 7),
Маргевелашивил Г. (Тбилиси, ФМШ им. Комарова),
Мисник С. (Воронеж, с.ш. № 62),
Набцев С. (Алма-Ата, РФШ),
Пlakунова Е. (Горький, с.ш. № 40),
Рейсонс Э. (Рига, с.ш. № 1),
Серченко А. (Североморск, с.ш. № 12),
Харлан С. (Гомель, с.ш. № 12),
Царин Ю. (Харьков, с.ш. № 116),
Чернышев С. (Александров, с.ш. № 5);

по 10 классам —
Айисаар Т. (Тарту, с.ш. № 10),
Арабидзе В. (Тбилиси, ФМШ им. Комарова),
Байбородин О. (Сыктывкар, с.ш. № 1),
Булавас В. (Панаевжис, с.ш. им. Балчикониса),
Васильченко Е. (Алексин, с.ш. № 3),
Гаврилов С. (Новосибирск, ФМШ № 165 при НГУ),
Зорько О. (Витебск, с.ш. № 31),
Итенберг И. (Ленинград, ФМШ № 45 при ЛГУ),
Кной К. (Одеcca, с.ш. № 100),
Кузнецов Д. (Горький, с.ш. № 36),
Марголин Г. (Калинкович, с.ш. № 1),
Мисник В. (Кишинев, с.ш. № 37),
Сапецин И. (Пенза, с.ш. № 29),
Стаховский В. (п. Капустин Яр Астраханской обл., с.ш. № 231),
Судаков А. (Ленинград, с.ш. № 8),
Тупайло С. (Киев, ФМШ при КГУ).

Физика
Дипломы I степени
по 8 классам получили
Григорьев Г. (Киев, ФМШ № 2 при КГУ);

по 9 классам —
Абанов А. (Красноярск, с.ш. № 170),
Баранауская Г. (Шяуляй, с.ш. № 5),

Дипломы II степени
по 8 классам получили
Иваененко Т. (Киев, с.ш. № 145),
Каледин Д. (Москва, с.ш. № 728),
Меньков В. (Мончерорск, с.ш. № 3),
Теллеев А. (Ленинград, с.ш. № 524);

по 9 классам —
Брезгунов А. (Новосибирск, с.ш. № 25),
Закревский Л. (Минск, с.ш. № 50),
Король А. (Новокузнецк, с.ш. № 7),
Курников Н. (Гатчина, с.ш. № 1),
Паршин Н. (Пенза, с.ш. № 6),
Потеряйко И. (Киев, ФМШ № 2 при КГУ),
Приходько В. (Ростов-на-Дону, с.ш. № 14),
Ярунин Н. (Павлово, с.ш. № 1);

по 10 классам —
Амишинский С. (Ленинград, с.ш. № 239),
Бирзвалкс В. (Рига, с.ш. № 1),
Бурченко А. (Новосибирск, ФМШ № 165 при НГУ),
Гниловской А. (Ленинград, с.ш. № 239),
Кулябин К. (Челябинск, с.ш. № 127),
Савров М. (Азов, с.ш. № 6),
Фатьянов О. (Курск, с.ш. № 6).

Дипломы III степени
по 8 классам получили
Зеленок А. (Здольновов, с.ш. № 6),
Линдунен И. (Ленинград, ФМШ № 45 при ЛГУ);
Лобода А. (Прокопьевск, с.ш. № 2);

по 9 классам —
Воротнеев П. (Ленинград, с.ш. № 239),
Галочки Д. (Днепропетровск, с.ш. № 15),
Кузницин К. (Киров, с.ш. № 16),
Макаров Д. (п. Черноголовка Московской обл., с.ш. № 82),
Мусаелян К. (Ереван, с.ш. № 55),
Писарев А. (Москва, ФМШ № 18 при МГУ);

по 10 классам —
Аристов Д. (Ленинград, ФМШ № 45 при ЛГУ),
Бруенков Е. (Коммунарск, с.ш. № 22),
Винчиенко В. (Ворошиловград, с.ш. № 24),
Долгополов С. (Пермь, с.ш. № 8),
Коба И. (Запорожье, с.ш. № 28),
Кондратьев C. (Кострома, с.ш. № 32),
Пивинский А. (Минск, с.ш. № 50),
Подоба В. (Харьков, с.ш. № 9),
Стефанов М. (Москва, с.ш. № 1).

61

a $r$ — расстояние до оси (рис. 8). Центробежная сила инерции, действующая на одну из половин стержня, равна

$$F_u6 = \int_0^l \frac{m}{2l} \omega^2 rdr = \frac{m\omega^2 l}{4}.$$

Эта сила должна быть равна силе натяжения в середине стержня, то есть силе, с которой на эту половину действует другая половина стержня. Таким образом,

$$T_0 = m\omega^2 l/4.$$

Аналогично для натяжения стержня в сечеении, отстояем от оси вращения на расстоянии $r$, получаем

$$T = T_0 - \frac{m\omega^2}{2l} \frac{r^2}{2} = \frac{m\omega^2}{4l} (l^2 - r^2),$$

то есть натяжение в середине максимального, а по мере удаления от оси вращения оно убывает по квадратному закону.

5. Во вращающейся системе отсчета (рис. 9) на каждый элемент цепочки длины $\Delta r = r\Delta \alpha$ ($r = l/2\pi$ — радиус цепочки, $\Delta \alpha$ угловой размер элемента длины) действует центровежная сила инерции $\Delta F_u6 = \Delta m\omega^2 r$, направленная по радиусу от центра ($\Delta m = m\Delta r/l$). Найдем суммарную силу инерции, действующего на половину цепочки. Для этого надо сложить проекции сил на направление, перпендикулярное диаметру, соединяющего концы половины цепочки. В результате получаем

$$F_u6 = \int_0^\pi \frac{m\omega^2 r}{l} r \sin \alpha \cdot d\alpha = 2mln^2.$$

Эта сила уравновешивается суммой двух сил натяжения, действующих на половину цепочки. Следовательно, натяжение цепочки

$$T = mln^2.$$

6. Под действием центровежной силы инерцииlezные начет двигатться вдоль канавки от оси вращения, а под действием корилисовой силы оно будет падает в сторону, противоположную направлению вращения.

7. На частцу воды массой $\Delta m$ действует направленная по горизонтали на запад корилисова сила

$$F_k = 2\Delta m\omega v \sin \varphi,$$

где $\omega$ — угловая скорость вращения Земли. Для частцы, находящейся у поверхности воды (рис. 10), равновесующая силы тяжести и корилисовой силы должны направлена перепределкой поверхности воды. Поэтому поверхности воды наклоняется к горизонту под углом $\alpha$ таким, что

$$tg \alpha = F_k / (\Delta m g) = \frac{2\omega v}{g} \sin \varphi.$$

Соответственно, разность уровней

$$h = d tg \alpha = 2\omega v d \sin \varphi \approx 10 \text{ см.}$$

Когда река течение вдоль параллели, сила Корилиса направлена под углом к горизонту. Однако параллель не совпадает с экватором, то у корилисовой силы всегда есть горизонтальная составляющая, и эффициент сохранения. У реки, текущей вдоль экрана, сила Корилиса направлена вертикально, и берега подмыты одинаково. А вот если река пересекает экратор, то решение русла меняется — после пересечения экратора круглим становится противоположный берез. Георгфы действительно наблюдали это явление.

«Квант» для младших школьников (см. «Квант» № 10)

1. Нет. Замечание. Перевернуть одну из звездочек, получим центрально-симметричный фигуру (рис. 11).

2. Во-первых, заметим, что каждый шарик на левой частияжеле, чем шарик того же цвета на правой частияжке (если бы было не так, то нашла бы пара шариков таких, что шарик на левой частияжке не тяжеше шарик того же цвета на правой частияжке; поменяв их местами, мы не нарушили бы положения весов). Если количество шариков на каждой частике не меньше трех, то, поменяв местами ту пару шариков, у которой разность масс наименьшая, мы не изменим положения весов. Следовательно, шарик на чашках не более, чем по два. Может, оченьindo, лежать и по одному шарику. Если же лежит по два шарика, нужно, чтобы разность масс у каждой пары однозвечных шариков была одинакова.

62

3. См. рисунок 12.
4. Заметим, что в вершинах квадрата находится вершины только одного из прямогольников, а в других точках квадрата могут находиться вершины только двух прямогольников. Пусть $n$ — количество прямогольников, на которые разрезали квадрат, $m$ — количество точек квадрата, являющихся вершинамировно двух прямогольников. Подсчитаем количество вершин у прямогольников. С одной стороны оно равно $4n$, с другой — $4+2m$. Отсюда $m=2(n-1)$. Значит, число точек, являющихся вершинами $(m+4)$, четно.
5. При нагревании руть расширяется сльнее, чем сталь, поэтому выталкивающая сила уменьшится и шарик опустится.

Перед школьной олимпидой
(см. «Квант» № 10)

1. За 365 дней. Решение. Обозначим через $A$ количество воды в озере без учета ключи, через $B$ — количество воды, поступащее в день от ключи, через $C$ — дневной рацион слона и через $x$ — исключение число. Тогда $A+B=183C$, $A+5B=5 \cdot 37C$, $A+xB=$

$=xC$, откуда $B=\frac{1}{2}C$, $A=182\frac{1}{2}C$ и $x=365$.
2. $a^2+b^2+c^2=(a+b)^2+(a+c)^2+(a+d)^2$.
3. Указание. Докажите, что $(a-b)^2<\times q(1-q)=0$.
4. $a=b=c=d=0$, $a=b=c=d=\sqrt{3}$, $a=b=c=d=-\sqrt{3}$.
5. $x=y=z=1$. Указание. Вычитите из суммы первого и третьего уравнения вдвоенное второе.
6. 3. Решение. Поскольку $x^2+3x+10>0$ при всех $x$, данное неравенство можно переписать в виде $|x^2+kx+10|\leq x^2+3x+10$. Таким образом, для всех $x(k-3)x\leq 0$. Отсюда $k=3$.
7. $a$ — irrationalное. Решение. Данное уравнение равносильно системе
$$\begin{cases} \cos x=1, \\ \sin^2\alpha x=0, \end{cases}$$
имеющей единственное решение, если $a$ — irrationalное.
8. $\{\sqrt[3]{5}\}$. Указание. Заметив, что $0<x<2$, разберите случай $[x]=0$ и $[x]=1$.
9. 2. Указание. Данное произведение равно $\frac{2(n+1)}{n+2}$.
10. Указание. Докажите, что диагонал делятся точкой пересечения пополам.
11. Указание. Поверните меньшею окружность вокруг точки касания на угол в $60^\circ$. Положенная точка пересечения окружностей будет второй вершиной искомого треугольника. Поворот в противоположную сторону даст второе решение.
12. Две другие окружности, стягиваемые хордой $AB$. Указание. Угол $y$ (рис. 13) равен $180^\circ-\frac{\alpha}{2}-\frac{\beta}{2}=90^\circ+\frac{1}{2}x$, то есть при постоянном $x$ постоянен.
13. Указание. Пусть $\vec{m}_A, \vec{m}_B, \vec{m}_C, \vec{m}_D$ — векторы с началом $A, B, C, D$ и концами в точках пересечения медиан противоположных граней. Выразите эти векторы через векторы
$$\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD} \text{ и докажите, что } \frac{3}{4}\vec{m}_A = \vec{AB}+\frac{3}{4}\vec{m}_B=\vec{BC}+\frac{3}{4}\vec{m}_C=\vec{AD}+\frac{3}{4}\vec{m}_D.$$
14. Указание. Покажите, что хотя бы одно из них четно.
15. Решение. $2^9+2^{99}=2^9(1+2^{90})=2^9(1+1024^9)=2^9(1+1024^3)(1-1024^3+1024^6)= 2^9 \cdot 1025 \cdot (1-1024+1024^2)(1-1024^3+1024^6).$
16. Доказательство. Число $10^n-1$ делится на 9, а $10^m+1$ — не делится.
17. Решение. Как известно, сумма цифр любого числа имеет при делении на 9 такой же остаток, как и самое число (докажите это). Следовательно, если $x$ — исключое число, то $2x$ и $x$ имеют при делении на 9 одинаковые остатки, то есть $2x-x=x$ делится на 9. В то же время непосредственно проверяется, что все двух значения числа, делияces на 9, удовлетворяют условиям задачи.
19. 1089. Указание. Искомое число $x$ не больше 1111 (поскольку $9x$ — четыезначное число), окачивается на 9 (поскольку $9x$ окачивается на 1) и делится на 9 (поскольку сумма цифр $y$ и $9x$ одна и та же).

63

20. $x=y=1, z=2$ и $x=y=2, z=1$. Указание. $z = \frac{1}{y} + \frac{1}{x} \leq 2$.

21. 6, 7. Указание. Обозначим число цифр числа $x^2$ через $n$. Тогда $x^2 - k \cdot \underbrace{11 \dots 1}_{n} = (x-k)^2$, откуда $x = \frac{55 \dots 5}{n} + \frac{k+1}{2}$. Поскольку $1 \leq k \leq 8$, $\frac{k+1}{2} \leq 4$, и, значит, число цифр в числе $x$ равно $n-1$, то есть на одну меньше, чем в $x$. Отсюда $x \leq 31$. Непосредственной проверкой находится.

22. Доказательство. Если использованы не менее десяти красок, то можно выбрать десять разноцветных кубиков; если же использованы не более девятки красок, то, поскольку кубиков 82, всегда найдется 10 кубиков одного цвета.

23. Указание. Рассмотрите вершины произвольного равностороннего треугольника со стороны 1 м.

24. 6. Доказательство. Разность двух чисел делится на $k$, если она числа при делении на $k$ имеет одинаковый остаток. Поскольку чисел $k+1$, такие два числа всегда найдутся.

25. Решение. Пусть $n$ — число дипломатов. Повернем стол на $0^\circ$, на $\frac{360^\circ}{n}$, …, на $\frac{360^\circ}{n}(n-1)$ — всего $n$ положений стола. Каждый дипломат оказывается сдищим против своей табличиров при одном положении стола. Так как число положений равно числу дипломатов и так как при исходном положении («повороте на $0^\circ$») они один дипломат не сидит против своей табличи, найдется некоторое положение стола, при котором два дипломата оказываются сдищими против своих табличек.

26. Доказательство. Спроектируем окружности на одну из сторон квадрата. Проекцией каждой окружности является отрезок, длина которого равна ее диаметру, а сумма длины всех отрезков равна $10/\pi > 3$. Значит,

Рис. 13. Рис. 14.

Рис. 15.

Рис. 16. Рис. 17.

некоторая точка стороны квадрата будет покрыта по крайней мере четырьмя проекциями; перпендикуляр, восставленный к стороне в этой точке, пересечет по крайней мере 4 окружности.

27. Доказательство. Для каждой хорды диаметр, проведенный через любую точку меньше из стягиваемых его друг или через любую точку друг, ей центрально-симметричной, пересеckaет эту хорду. Длина друг, стягиваемой хордой, больше длины этой хорды. Таким образом,лина всех таких droit больше $2 \cdot 7\pi = 14\pi$ и, значит, некоторая точка окружности оказывается покрытой по крайней мере восемьюдугами.

28. Доказательство. Построим для каждой из наших 650 точек колюс с центром в этой точке, ограничиваемой окружностями радиусов 2 и 3. Все эти колюса содержатся в круге радиуса $16+3=19$, и сумма их площадей равна $650(9\pi-4\pi)=3250\pi$, что более чем 9 раз больше площади 361π круга радиуса 19. Следовательно, хотя бы одна точка $A$ этого круга покрывается хотя бы десять колюцами, то есть по крайней мере из наших 650 точек лежат на расстоянии между 2 и 3. Значит, такое же колюс с центром в точке $A$ содержит эти десять точек.

29. Указание. Рассмотрите вершину, в которой записано наиболее число.

30. Доказательство. Пусть $AB$ — самая длинная диагональ. Тогда из диагоналей $AB, AC$ и $BD$ (рис. 14) можно составить треугольник, так как $|AB| < |AE| + |EB| < |AC| + |BD|$.

31. $x_1 = x_2 = \dots = x_5 = 0$ и $x_1 = x_2 = \dots = x_5 = 2$. Указание. Предположите, что $x_1$ — наиболее числом чисел. Тогда из двух последних уравнений $0 \geq x_4 - x_1 = x_1^2 - x_2^2 = (x_1 - x_2)x_3^2 \geq 0$, откуда $x_1 = x_4$.

32. $x = y = \sqrt{2}/2$. Указание. Если $x > y$, то, поскольку $0 \leq y < x \leq 1$, получим $x^2 > x^2 > y^2$.

33. Нельзя. Указание. $0 + 1 + 2 + \dots + 9 > 44$.

34. Доказательство. Разделим одную сторону квадрата на 22 одинаковые части, а другую — на 2 одинаковые части. Квадрат разделится на 44 прямоугольника. Так как $500:44 > 11$, хотя бы в одном из них найдется 12 точек. Обозначим их через $A_1, A_2, \dots, A_{12}$ слева направо. Ломанная $A_1A_2\dots A_{12}$ короче ломанной $A_1B_1A_2B_2\dots B_{11}A_{12}$ (рис. 15), последняя же состоит из 11 вертикальных отрезков, каждой из которых не длине 1/22, и 12 горизонтальных отрезков суммарной длины не больше 1/2.

35. Банан. Указание. После любого действия сдовника число бананов остается нечетным.

36. а) и б). Нельзя. Указание. В случае а) неизменной остается сумма чисел, а в случае б) — сумма квадратов чисел.

37. Не могут. Доказательство. Введем на плоскости системы координат так, чтобы вершины квадрата, в которых сидят кузнечков увечиваются или уменьшается на четное число. Таким образом, четность координат оказывается инвариантом. Поэтому попасть в вершину (1; 1) (обе координаты чисел не могут.