Пузыри в луже

22

ПУЗЫРИ
В ЛУЖЕ

Кандидат физико-математических наук
А. В. МИТРОФАНОВ

Вы, конечно, наблюдали эти «живучие» пузыри. Они возникают на поверхности водоемов или луж во времяливания, когда вода как будто «вскипает» от часто падающих крупных капель. Иnorда такие пузыри бывают и после дождя, если с веток деревьев продолжает капать. Пузыри удивительно устойчивы, их не только можно успеть сформировать, но и наблюдать, как они плывут по воде. Время жизни пузырей несколько секунд, а то и несколько десятиков секунд. В конце концов они лопаются.

На вид все пузыри примерно одинаковые. Оболочка пузыря похожа на polysферу с хорошо заметным ободком около основания. Каждый пузырь — словно круглая произнашивающая шляпка с маленькими темными полями. Наша задача состоит в том, чтобы разобраться, что это за «шляпка» и откуда у нее появились «поляя».

Мы знаем, что молекулы на поверхности жидкости имеют определенную потенциальную энергию, называемую поверхностной энергейой. Величина этой энергии пропорциональна площади поверхности, а коэффициент пропорциональности — свой для каждой жидкости — называют коэффициентом поверхностиного натяжения. Известно, что всякая система при равновесии находится в том (из возможных для нее) состоянии, в котором

23

ее энергия имеет минимальное значение. Применительно к нашим пузырям это означает, что площадь поверхности пузыря должна быть по возможности минимальной. Свообидный мыльный пузырь имеет форму сферы: ведь при заданном объеме тела (воздуха в пузыре) сфера имеет минимальную площадь поверхности (ролы силиты тяжесты для пузыря незначительная, т.к. он очень легкий). Если слегка деформировать пузырь, например подуть на него, то предоставленный самому себе пузырь опять примет форму сферы.

На поверхности воды пузыри по форме уже другие: если пузырь крупный, то он похож на полусферу, а не на сферу. Оболочка пузыря имеет выпуклую форму благодаря избыточному давлению $\Delta p$ воздуха внутри пузыря. Поскольку величина $\Delta p$ постоянная (воздух находится в равновесии), «шапка» пузыря выгнута везде одинаково; иначе говоря, стенки «шапки» имеют вседу и ту же кривизну, т. е. являются частью сферы. Но какая часть сферы расположена над водой?

Будем считать, что основание пузыря (его «донышко», роль которого играет поверхность водоема) плоское. Такое предположение справедливо, конечно, не всегда, и оно тем близке к истине, чем больше размер пузыря (к этому вопросу мы еще вернемся). Нетрудно понять, что такой пузырь при заданном объеме воздуха имеет форму полусферы (полусфера имеет в этом случае минимальную площадь).

Теперь поговорим об «ободке», опоясьивающим «шапку» водного пузыря. Что это такое? Догадаться, пожалей, нетрудно.

Известно, что вода поднимается в узком капилляре, если она смачивает его стенки. Энергетическая это «выгодно». Чем меньше радиус капилляра, тем выше в нем уровень жидкости. Благодаря тем же капиллярным сламом вода поднимается частью формы, например плоской вертикальной пластинки, — лишь бы поверхность смачиваясь водой. Опустите

С изображением фотографии и скорости фотосъемки стали известными многое подробности событий, проссодящих при удале домевой капли о водную поверхность.

Крупная капля должна nadает на водную главь… образуется глубокая borона… borона «схлопывается»… и вот уже на поверхности воды спокойный пузырь с «заточенным» в нем воздухом.

Оdnим из первых, еще в начале нашей века, такое удесное превращение зафиксировал на фотопластике профессионального физики Королевского военно-морского инженерного коллекция в Девонорте А. Уортинстон. Ставшую классическую серию фотосимков Уортинстона можно увидеть в сборнике научной фотографии Дж. Даруша «Недоступное глаза» (M.: Мир, 1986, c. 59).

Иная судьба у более мелких домевых капель. Они тоже образуют увеличения на поверхности воды, но не такие глубокие, и они не «схлопываются». Инодана наблюдательные воды «звезди» — вертикальные тоненные фоначки, возникшие в центре увеличения. Особенно впечать ошибки выглядят воды «звезди» в сильный домель почью при яркой вспышке молнии.

24

вертикальное в воду мокрую дошечку или чистую стеклянную пластинку, так чтобы та выступала из воды. При подходящем освещении вы заметите узкий ободок капиллярного поднятия уровня воды около границ тела, по виду мало чем отличающийся от ободка пузыря, видимого на фотографии. Именно капиллярное поднятие уровня воды у стенок пузыря и создает «ободок» искусленный поверхности (рис. 1).

Тот, кто интересуется расчетами или физических оценками, может вместе с нами подробнее рассмотреть вопрос о капиллярном поднятии воды вблизи гладкой вертикальной стены при полном смачивании ее жидкостью.

Оценим максимальное повышение уровня воды $H$ вблизи границ тела и определим зависимость $H$ от коэффициента поверхностного натяжения $\sigma$. Воспользуемся для этого методом размерностей.

Равновесие жидкости при капиллярном поднятии определяется силими поверхностного натяжения и силой тяжесте. Позному $H$ может зависеть только от $\sigma$, от плотности жидкости $\rho$ и отускорения силиы тяжесте $g$. Будем искать функцию $H=f(\sigma, g, \rho)$ в виде

$$H = \text{const} \cdot \sigma^l \cdot g^m \cdot \rho^n. \quad (*)$$

(Kонецно, не всегда физические величины, определяющие какое-либо явление, связанные степенной зависимости, но очень часто это именно так.) Чтобы получить в явном виде зависимость $H$ от $\sigma, g$ и $\rho$, нам надо найти значения $l, m$ и $n$.

Понятно, что левая и правая части соответственно () имеют одну и ту же размерность. Выпишем размерности входящих в() величины —

$$[H] = L, \quad [\sigma] = MT^{-2}, \quad [g] = LT^{-2}, \quad [\rho] = ML^{-3}$$

(L, M, T — единицы длины, массы и времени) — и запишем соответствующее равенство

$$L = (MT^{-2})^l (LT^{-2})^m (ML^{-3})^n.$$

Отсюда получаем систему линейных уравнений для неизвестных $l, m$ и $n$:

$$l + n = 0, \quad l + m = 0, \quad m - 3n = 1.$$

Система имеет единственное решение

$$l = 1/2, \quad m = -1/2 \text{ и } n = -1/2.$$

Таким образом,

$$H = \text{const} \cdot \sqrt{\frac{\sigma}{\rho g}}, \quad \text{или } H \sim \sqrt{\frac{\sigma}{\rho g}}.$$

Определить метод размерностей неизвестную константу нельзя. Однако в физических формулах, полученных методом теоретического расчета, численные коэффициенты былиют, как правило, близки к единице; во всяком случае, они не влияют на порядок величины. Точное значение $H$ отличается от полученной нами оценки в $\sqrt{2}$ раз: $H = \sqrt{2\sigma/\rho g}$.

Теперь мы можем оценить, как высоко поднимается вода около вертикальной стены. Подставля значения $\sigma$ и $\rho$ для воды ($\sigma \approx 73 \cdot 10^{-3} \text{ H/m}, \rho \approx 10^3 \text{ kr/m}^3$), получим $H \approx 4$ мм. Примерно на столько же поднимается вода у основания стенок сферической части пузыря. Кривая поверхность воды у основания пузыря при надлежащем освещении и выглядит как темный ободок. Ширина ободка у всех больших пузырей такого же порядка, как $H$, т. е. несколько миллиметров.

Внимательный читатель заметит, что пузыри на фотографии — не точные полусферы, а как бы чуть приоплленные в воде, и что ободок внутри пузыря отличается от наружного. (Под джемм, наблюдая пузыри, уловить такую разницу очень трудно.) Почему это так? Дело в том, что, как мы уже говорили, под оболочкой пузыря давление воздуха больше, чем снаружки. Поэтому внутри пузыря

25

в середине уровень воды ниже, чем в водоеме или луже. Найдем, насколько «проседает» пузырь относительно уровня жидкости в водоеме.

Избуточное давление воздуха внутри пузыря равно $\Delta p = 4\sigma/R$. В окружающей пузырь воде такое дополнительное (к атмосферному) давление создается на некоторой глубине $\Delta h$ под поверхностью воды. Понятно, что именно на это $\Delta h$ и будет «проседать» допущено пузыря (рис. 2, a). Из равенства $4\sigma/R = \rho g \cdot \Delta h$ находится $\Delta h$:

$$\Delta h = \frac{4\sigma}{\rho g R}.$$

Для пузырей, которые были нами сформированы, величины $\Delta h$ находились в пределах 1—3 мм.

Таким образом, крупный пузырь имеет вид полусферы, слегка затопленной в жидкости и оказывает у основания внутренний изогнутыми кромками. крупными пузырами мы будем называть те, у которых $R \gg H \approx \sqrt{\sigma/\rho g}$.

А как выглядят пузыри меньше размера? Попробуйте самостояльно разобраться в этом непростом вопросе. Отметим только, что если мы «изготовим» в воде маленький пузыре (радиусом порядка 1 мм или меньше), то он вообще не всплывет над уровнем жидкости, а будет находиться под водой, как будто приклеенный к водной поверхности. Форма маленького пузырька сферическая. На рисунке 2 показано, как выглядят крупный пузырь, т. е. такой, у которого $R \gg \sqrt{\sigma/\rho g}$ (a), пузырь средних размеров, у которого $R \approx \sqrt{\sigma/\rho g}$ (б), и маленький пузыре в форме сферы радиусом $R \ll \sqrt{\sigma/\rho g}$ (б).

Подумайте, почему форма пузыря разная в зависимости от его размера — чем больше пузырь, тем больше он похож на полусферу. И почему во время джедра появляется в основном пузырьке или средних размеров? Объяснение этого факта читатели найдет в замечательной книге Я. Е. Гегузина «Пузыри», выпущенной издательством «Наука» в 1985 году в серии «Библиотечка «Квант»» (выпуск 46).

Перейдем к последнему вопросу. Поговорим об устойчивости водяного пузыря. Нам надо разобраться, почему пузыри «живут» долго только в том случае, если пасмурно или если еще идет джедр.

Кое-что скажет, что во время джедра пузырей может быть очень много, поэтому и какется, что они «долгожители». Доля истинны в этом утверждении есть. Но если попаходить за отдельным пузырем, то легко убедиться, что вопрос наш не является надуманным. Пузыри в джедливую или пасмурную погоду живут действительно значительное долще, чем, скажем, в сухую солнечную погоду (в сухую погоду они «живут» так мало, что их никто и не наблюдают только).

Есть много разных причины, по которым пузыри разрушают. Оболочка пузыря может порвать поверх，《проткнуть》 крупная джедринка и т.д. Она может испариться или стать очень тонкой и неоднородной из-за стекания воды вниз по стенкам пузыря. Присутствие в воде так называемых поверхностно-активных веществ (например, мыла) может, наоборот, продолжить время жизни пузырей вдесятки и сотни раз. (Вспомните пену на реке, которое не так-то легко разрушить.)