Задачи М1166—М1170; Ф1173—Ф1177

Квант 1989, №6 с. 30 Тег KMOJ

Задчи

M1166 — M1170, Ф1173 — Ф1177

M1166. Докажите неравенство $a^2pq + b^2qr + c^2rp \leqslant 0$ , где $a, b, c$ — длины сторона треугольника, $p+q+r=0$ .

Я. Ш. Мустафаев, ученик 10 кл., Баку

M1167. Сколько существует перестановок чисел 1, 2, …, $n$ , в которых для любого числа $i$ , стоящего не на первом месте, хотя бы одно из чисел $i-1$ и $i+1$ находится левее $i$ ?

А. В. Анджанс

M1168*. В стране 1989 городов и 4000 дорог (каждая дорога соединяет два города). Докажите, что можно выбрать колъевой маршрут, проходящий не более чем через 20 городов.

А. А. Разборов

M1169. Пусть $M$ — точка, лежащая внутри прямоугольника $ABCD$ , $S$ — его площадь. Докажите неравенство

$S \leqslant AM \cdot CM + BM \cdot DM.$

И. Я. Гольдшейд

M1170. Расстояние разбиения данного выпukлого $n$ -угольника на треугольника непересекающихся диагоналями. Изовем перестройкой следующие преобразование: вместо некоторых диагоналей $BC$ , служащей общей стороны двух треугольников $ABC$ и $BCD$ разбиения, проводится diагональ $AD$ (рис. 1). Обозначим через $P(n)$ наименьшее число перестроек, за которым можно любое разбиение перевести в любое другое. Докажите оценки:

a) $P(n) \geqslant n-3$ ,
b) $P(n) \leqslant 2n-7$ ,
b)* $P(n) \leqslant 2n-10$ при $n \geqslant 13$ .

Д. В. Фомин

Ф1173. Длинный игрушный поезд, составленный из большого числа вагонов, едет с постоянной скоростью по горизонтальным рельсам, а потом выздает в «мертвую петлю» (рис. 2). Длина поезда $L$ , радиус петли $R$ ( $R$ существенно больше размера вагона, но $L > 2\pi R$ ). При какой начальной скорости поезд преодолёт преятствие так, что во время движения ни один вагон не перестанет давить на рельсы?

А. И. Буздин

Ф1174. В кубическом соусе объемом $V=1$ л находится $m=0,01$ г геля при температуре $T=300$ К. Понаблюдаем за одной из молекул. Сколько раз она удается оверхню стенку соуса за время $t=1$ мин?

А. Р. Зильберман

Ф1175. НЛО проletaет над Землей с постоянной оцень большой скоростью $v$ . Какую скорость зафиксируют наземные приборы станции следует в тот момент,