Закон сохранения энергии в электростатике

63

Закон сохранения энергии в электростанке

Кандидат физико-математических наук
С. А. ГОРДЮНИН

Закон сохранения энергии определяет в самом общем виде энергетической баланс при всевозможных изменениях в любой системе. Запишем его следующим образом:

$$A_{\text{внешш}} = \Delta W + Q,$$

(1)

где $A_{\text{внешш}}$ — работа, совершенная над расматриваемой системой внешними силами, $\Delta W$ — изменение энергии системы, $Q$ — количество теплоты, выделяемой в системе. Договоримся, что если $A_{\text{внешш}} > 0$, то над системой совершают положительное работу, а если $A_{\text{внешш}} < 0$, положительное работу совершает система; если $\Delta W > 0$, то энергия системы увеличивается, а если $\Delta W < 0$, энергия уменьшается; наконец, если $Q > 0$, то в системе выделяется теплло, а если $Q < 0$, теплой системе поглощается.

В этой статье мы рассмотрим, как закон сохранения энергии «работает» в электростанке. В обшем случае электростанческая система содержит взаимодействующие между собой заряды, находящиеся в электрическом поле.

Рассмотрим какое слагаемое в уравнении (1) по отдельности.

Начнем с энергии. Энергия взаимодействия зарядов выражается через характеристики электрического поля этой системы зарядов. Так, например, энергия заряженного конденсатора емкостью $C$ задается известным выражением

$$W = \frac{q^2}{2C} = \frac{CU^2}{2} = \frac{1}{2} qU,$$

(2)

где $q$ — заряд обкладок, $U$ — напряжение между ними. Напомним, что

64

конденсатор — это система двух проводников (обкладок, пластин), обладающая следующим свойством: если с одной обкладки на другую перементи заряд $q$ (т. е. одну обкладку зарядить зарядом $+q$, а другую $-q$), то все сливые линии создают таким образом поля будут начаться на одной (положительное зарядной) обкладке и заканчивать на другой. Поле конденсатора существует только внутри него.

Энергию заряженного конденсатора можно представить также как энергию поля, локализованного в пространстве между пластинами с плотностью энергии $\varepsilon_0 E^2/2$, где $E$ — напряженность поля. В существии, именно этот факт дает основание говорить о поле как об объекте, реализно существующем, — у этого объекта есть плотность энергии. Но надо помнить, что это просто эквивалентный способ определения энергии взаимодействия зарядов (которую теперь мы называем энергий электрического поля). Таким образом, мы можем считать энергию конденсатора как по формуле (2), так и по формуле

$$W = \frac{\varepsilon_0 E^2}{2} V,$$

где $V$ — объем конденсатора. Последней формулой легко пользоваться, конечно, только в случае однородного поля, но представление энергии в такой форме очень наглядно, а потому удобно.

Конечно, кроме энергии взаимодействия зарядов (энергия электрического поля) в энергии системы может входить и кинетическая энергия зарядных тел, и их потенциальная энергия в поле тяжестии, и энергия пружин, прикрепленных к телам, и т. п.

Теперь о работе внешних сил. Помимо обычной механической работы $A_{\text{max}}$ (например, по развиганию пластин конденсатора), для электрической системы можно говорить о работе внешнего электрического поля. Например, о работе батарей, зарядшей или перезаряжающей конденсатор. Задча батарей — создать фиксированную, присущую данному источнику разность потенциаль между теми телами, к которым она присоединена. Делает она это единственное возможность способом — забирает заряд от одного тела и передает его другому. Источник никака не создает заряды, а только перемещает их. Общий заряд системы при этом сохраняется — это один из краейolgных законов природы.

В источниках разных конструкций электрическое поле, необходимое для перемещения зарядов, создают различные «механизмы». В батареях и аккумуляторах — это электрохимические реакции, в диамомашинах — электромагнитная индукция. Существенно, что для выбранной системы зарядов (заряженных тел) это поле — внешнее, стороне ее. Когда через источник с ЭДС от отпечатального полюса к положительным протекает заряд $\Delta q$, стороны силы совершают работу

$$A_{\text{бат}} = \Delta q \varepsilon.$$

При этом если $\Delta q > 0$, то $A_{\text{бат}} > 0$ — батарея разряжается; если же $\Delta q < 0$, то $A_{\text{бат}} < 0$ — батарея разряжается и в ней накопливается химическая (или магнитная) энергия.

Наконец, о выделении телла. Заметим только, что это джоулево телло, т. е. телло, связанное с протекциями тока через сопротивление.

Теперь обсуждим несколько конкретичных задач.

Задча 1. Два одинаковых плоских конденсатора емкости $C$ каждый присоединенный к двум одинаковым батареям с ЭДС $E$. В какой-то момент один конденсатор отключают батареи, а другой оставляют присоединенные. Затем медленно разводят пластины обихих конденсоров, уменьшая емкость каждого в паз. Какая механическая работа совершается в каждой случае?

Если процесс изменения заряда на конденсатор осуществляется все время медленно, телло выделяется не будет. Действительно, если через сопротивление $R$ протек заряд $\Delta q$ за время $t$, то на резисторе за

66

Задание 3. В схеме на рисунке 2 конденсатор емкостью С заряжен до напряжения U. Какое количество химической энергии запасется в аккумуляторе с ЭДС Е после замыкания ключа? Какое количество теплоты выделится в резисторе?

Первоначальный заряд на конденсатор $q_1=CU$. После окончания перезарядаки заряд на конденсатор становится равным $q_2=C\mathcal{E}$. Протекший через батарею заряд в случае, когда к минусу батареи подключена отрицательно заряженная обкладка конденсатора, будет равен

$$\Delta q=q_2-q_1=C\mathcal{E}-CU.$$

В противном случае $\Delta q=C\mathcal{E}+CU$, и при этом аккумулятор будет разряжаться ($\Delta q>0$). А в первом случае при $U>E$ аккумулятор заряжается ($\Delta q<0$), и количество химической энергии, запасенной в аккумуляторе после замыкания ключа, равно равоте батареи:

$$\Delta W_{\text{хим}}=A_{\text{бат}}=C\mathcal{E}(U-\mathcal{E}).$$

Теперь запишем закон сохранения энергии (1) —

$$\mathcal{E}(C\mathcal{E}-CU)=\left(\frac{C\mathcal{E}^2}{2}-\frac{CU^2}{2}\right)+Q$$

— и найдем выделившееся количество теплоты:

$$Q=\frac{C}{2}(\mathcal{E}-U)^2>0.$$

Задание 4. Плосий конденсатор находится во внешнем однородном поле с напряженной $\vec{E}_0$, перпендикулярной пластинam. На пластинах площадью S распределены заряды $+q$ и $-q$. Расстояние между пластинами d. Какую минимальную работу надо совершить, чтобы поменять пластины местами? Расположить паралельно полю? Вынуть из поля?

Работа будет минимальной, когда процесс проводится очень медленно — при этом не выделяется тепло. Тогда, согласно закону сохранения энергии, $A_{\text{min}}=\Delta W$.

Чтобы найти $\Delta W$, воспользуемся формулой (3). Поле между пластинами представляется собой суперпозицию поля $\vec{E}_1$ данного плоского конденсатора —

$$E_1=\frac{q}{C}\frac{1}{d}=\frac{q}{\varepsilon_0 S}$$

— и внешнего поля $\vec{E}_0$.

При перемене пластин местами поле $\vec{E}_1$ меняется на $-\vec{E}_1$, а поле снаружи не меняется, т. е. изменение энергии системы связано с изменением ее плотности между пластинами конденсатора:

$$\Delta W=\frac{\varepsilon_0(E_0-\pm E_1)^2}{2}Sd-\frac{\varepsilon_0(E_0\pm E_1)^2}{2}Sd=$$

$$=\mp 2\varepsilon_0E_0E_1Sd.$$

Если направления векторов $\vec{E}_0$ и $\vec{E}_1$ были одинаковы, то плотность энергии между пластинами уменьшилась после перемены пластин местами, а если направления были противоположны, то плотность энергии увеличлась. Таким образом, в первом случае $A_{\text{min}}=\Delta W=-2qE_0d$.

— конденсатор хочет сам развернуть и его надо удалить ($A<0$), а во втором случае $A_{\text{min}}=2qE_0d>0$.

Когда пластины конденсатора расположены полю, $\vec{E}_0$ и $\vec{E}_1$ перепendlukлярны друг другу. Энергия поля внутреннего конденсатора в этом случае равна $\varepsilon_0(E_0^2+E_1^2)Sd/2$. Тогда

$$A_{\text{min}}=\Delta W=\frac{\varepsilon_0(E_0^2+E_1^2)}{2}Sd-$$

$$-\frac{\varepsilon_0(E_0\pm E_1)^2}{2}Sd=\mp qE_0d.$$

67

Когда конденсатор вынули из поля, в том месте, где он был, поле стало $\vec{E}_0$, а в нем самом теперь поле $\vec{E}_1$, т. е. $\Delta W$ и $A_{\min}$ оказываются такими же, как и в предыдущем случае.

Задача 5. Конденсатор емкостью $C$ без диэлектрика заряжен зарядом $q$. Какое количество теплоты выделяется в конденсаторе, если его заполнить веществом с диэлектрической пропиществом $\varepsilon$? То же, но конденсатор присоединин к батарее с ЭДС $\varepsilon$.

При заливании диэлектрика емкостью конденсатора увеличилась в $\varepsilon$ раз.

В первом случае фиксирован заряд на пластинах, внешних сил нет, и закон сохранения энергии (1) имеет вид

$$0 = \Delta W + Q.$$

Отсюда

$$Q = -\Delta W = -\left( \frac{q^2}{2C\varepsilon} - \frac{q^2}{2C} \right) = \frac{q^2}{2C} \left( 1 - \frac{1}{\varepsilon} \right) > 0.$$

Тепло выделяется за счет уменшення энергии взаимодействия зарядов.

Во втором случае есть работа батареи и фиксирован наряжение на конденсаторе:

$$A_{6ат} = \Delta q\varepsilon = (\varepsilon C\varepsilon - C\varepsilon)\varepsilon = C\varepsilon^2(\varepsilon - 1),$$

$$\Delta W = \frac{\varepsilon C\varepsilon^2}{2} - \frac{C\varepsilon^2}{2} = \frac{C\varepsilon^2}{2}(\varepsilon - 1).$$

Тогда из уравнения (1) следует

$$Q = A_{6ат} - \Delta W = \frac{C\varepsilon^2}{2}(\varepsilon - 1).$$

Задача 6. Две соедининые проводником пластины площадь $S$ какая находится на расстоянии $d$ друг от друга (это расстояние мало по сравнению с размерами пластин) во внешнем однородном поле с напряжением $\vec{E}$, перpendикулярной пластинam (рис. 3). Какую работу надо совершить, чтобы сольизить их до расстояния $d/2$?

Пластины эквивалентны, и между ними поля нет. Результатом работы по сольжению является создание поля с напряжению $\vec{E}$ в объеме $S(d-d/2)$. Тогда, в соответствии с уравнениями (1) и (3),

$$A = \Delta W = \frac{\varepsilon_0 E^2}{4} Sd > 0.$$

Уражнения

1. Два одинаковых плоских конденсатора емкостью $C$ каждый соединины параллельно и заряжены до напряжения $U$. Пластины одного из конденсаторов медленно разводят на большое расстояние. Какая при этом совершается работа?

2. Два конденсатора, каждый емкость $C$, заряжены до напряжения $U$ и соединины через резистор (рис. 4). Пластины одного из конденсаторов быстро развигают, так что расстояние между ними увеличивается вдвое, а заряд на пластинах за время их перемещения не изменяется. Какое количество теплоты выделяется в резисторе?

3. Плоккий воздушный конденсатор присоединин к батарее с ЭДС $\varepsilon$. Плокадь пластин $S$, расстояние между ними $d$. В конденсаторе находится металлическая плита толщиной $d_1$, параллельная пластинam (рис. 5). Какую минимальную работу нужно затратить, чтобы удалить плиту из конденсатора?

4. Большая тонкая проводящая пластина площадью $S$ и толщиной $d$ помещена в однородное электрическое поле с напряжением $\vec{E}$, перpendикулярной поверхности пластины. Какое количество теплоты выделяется в пластине, если поле мгновенно выключить? Какую минимальную работу надо совершить, чтобы удалить пластину из поля?

5. Одна из пластин плоского конденсатора подвешена наружнее (рис. 6). Пластид какая пластины $S$, расстояние между ними в начальной момент $d$. Конденсатор на коротке времени подключили к батарее, и он зарядился до напряжения $U$. Какой должа бы минимальная жесткостьружины, чтобы не произшло касание пластин? Смешением пластин за время зарядки пренебречь.