Избранные школьные задачи

45

крестьянном — ведьниких волшебных мест на самом деле нет.»
Как вам понравилась эта история? По-моему, что-то здесь не так…
Еще в Древней Греции знали «парадокс лжea». Представьте себе, что вы открываете книгу и читайте:

То, что написано на этой странице,— неправада.

Так что же тут написано? Если права, то тогда — это неправда; а если неправда — то это права… Это одна из форм «парадокса лжea».
А слышали ли вы о парадоксе Рассела? В одном полку брадобрею приказали брить всех тех, кто не береется сам. Брадобрею не ясно, брить ли ему самого себя. Как бы поступили на его месте?
Какое натуральное число можно назвать, произнесся несколько слов.

Избранные школьные задачи

Восьмой класс

1. Сумма пяты неотрицательных чисел равна единице. Какое наиболее значение может иметь сумма абсцилных величины попарных разностей этих чисел?
2. Известно, что $abc=1$, $a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$. Докажите, что хотя бы одно из чисел $a, b, c$ равно 1.
3. Решите в простых числах равенние $x^y+1=z$.
4. В шестиугольнике $ABCDEF$ стороны $AB$ и $DE$, $BC$ и $EF$, $CD$ и $FA$ параллельны. Известно также, что диагонали $AD, BE, CF$ равны. Докажите, что вокруг этого шестиугольника можно описать окружность.
5. Пусть $BB_1$ и $CC_1$ — высоты остругольного треугольника $ABC$ с углом $A$, равным $30^\circ$, $B_2$ и $C_2$ — середины сторона $AC$ и $AB$ соответственно. Докажите, что отрезки $B_1C_2$ и $B_2C_1$ перпендикулярны.

Девятый класс
6. Решите в целых числах систему уравнений $ab+cd=-1; ac+bd=-1, ad+bc=-1$.
7. Решите в целых числах системы уравнений
$$x^3+y^3+z^3=x+y+z=2.$$
8. Медицины треугольника равны 3, 4, 5. Какой это типогольник — остругольный, прямогольный или тупогольный?
9. Результатом последовательных отражений некоторых точки $M$ относительно всех сторон и вершины $A$ некоторых треугольника $ABC$, произведенных в некоторых порядке, является снова точка $M$. Докажите, что треугольник $ABC$ прямогольный.
10. Ломанная, лежащая на поверхности тетраэдра, содержит все его вершины и середины ребер. Каково минимальное возможное число звеньев этой ломанной?
Десять класс
11. Рассмотрим всевозможные парабoles $y=x^2+ax+b$, пересекающие оси координат в трех различных точках. Для каждой парабoles через эти три точки проведем

(Окончание см. на с. 51)