38
Линейные неравенства и задача M1085
В задаче M1085 «Задачи-ка» речь шла о сплетении прямых на плоскости. Некоторые из сплетений являются проекцией системы непересекающей прямых в пространстве (рис. 1, а), а неокторые отвечают «невозможным» объektам (рис. 1, б). Мы получили письмо от канадского математика Уолтера Уайтли, который в ходе научной работы приходимLOB изучать подобные сплетения. Его подход основан на применении линейных неравенств.
Будем считать, что сплетение расположено в горизонтальной (x, y)-плоскости, причем ни одна из прямых не проходит через начало координат. Ось OZ направим вертикально вверх. Как задать положение i-й прямой в пространстве? Ее проекция на (x, y)-плоскость уже задана, поэтому прямая лежит в вертикальной плоскости, проходящей через эту проекцию. Чтобы определить положение прямой в пространстве, достаточно задать еще одну плоскость, в которой она лежит — например, плоскость, проходящую через начало координат. Эта плоскость задается уравнением z=px+qy. Итак, прямые в пространстве заданы, если для каждой прямой сплетения выбраны свои коэффициенты p_i и q_i.
Пусть (x_i,j_y) — координаты точки пересечения i-й и j-й прямой сплетения. Тогда высота точки i-й прямой в пространстве, лежащей над точкой (x_i,j_y), равна z=p_i x_i+q_i y_i, а для соответствующего точки j-й прямой — z=p_j x_j+q_j y_j. Если пересечение такое, как на рисунке 2, а, то p_i x_i+q_i x_j>p_j x_j+q_j x_i.
а если такое, как на рисунке 2, б, то неравенство противоположное: p_i x_i+q_i x_j<p_j x_j+q_j x_i.
Совокупность неравенств (1) и (2) для всех пар индексов (i, j) образуется систему линейных неравенств с неизвестными p_1,…,p_n, q_1,…,q_n. Если эта система имеет решение, то сплетение является проекцией пространственных прямых, а если система несовместна, то сплетение описывает «невозможный» объekt.
У. Уайтли предлагает и другой — физической — подход к этой задаче. Представим себе, что прямые сплетения сделаны из жесткой проволоки, которая можно слегка изгибать. Тогда по любой картине можно изготовить проволочное сплетение, «почти» лежащее в горизонтальной плоскости.
Обозначим через f_i_j вличину сили упругости, действующей на j-ю проволочную прямую со стороны i-ей. Эти сили приложены в точках касания прямых и направлены вдоль вертикальной оси Oz. Для такого пересечения, как на рисунке 2, а, f_i_j<0 (3)
(sила направлена вниз), а для такого, как на рисунке 2, б, f_i_j>0. (4)
Кроме того, сили действия равна силе противодействия:
f_i_j=-f_ji. (5)
Какждая прямая прополочного сплетения будет находиться в равновесии. Это означает, что суммарная сила, действующая на i-ю прямую, равна нулю:
f_1i+f_2i+…+f_ni=0 (i=1, 2,…, n). (6)
Равен нулю и суммарный момент сили, действующих на i-ю прямую, относительно осей OX и OY:
f_1i x_1i+f_2i x_2i+
+…+f_ni x_ni=0 (i=1, 2,…, n). (7)
f_1i y_1i+f_2i y_2i+
+…+f_ni y_ni=0 (i=1, 2,…, n). (8)
(Окончание см. на с. 60)