Трудная задача

Квант 1989, №8 с. 17-20 Тег IN8Q

Традиная задача имеетdlительную историю, охватывающую три с половиной столетия. Сформировать ее можно так:

Куда упадет снаряд, выпущенный из ордия вертикального вверх? Начальная скорость снаряда и географическая широта места известны. Вы уже договорались, что на движение снаряда должно влиять вращение Земли. Те, кто получше знает физику, вспомнят еще и о кориолисовых силах. Но вернемся к истории задачи.

За полвека до выхода «Начал» Исаака Ньютона французский ученый М. Мерсенн (1588—1648) задаумал решить эту задачу экспериментальным путем. Надо сказать, что для Мерсенна подобный опыт был не «спортивной» забавой, а попыткой проверсти «мировоззренческий» эксперимент. Мерсенн былревностным поклонником Галилея, распространяется его идеи во Франции. Результаты эксперимента со стрелкой из пушки должны быть, по мнению Мерсенна, подтвердить вращение Земли.

Для осуществления задуманного опыта Мерсенн привлек военного инженера М. Пти. Они установили пушку вертикального и сделали несколько выстрелов. На приведенной здесь граюре, взятой из книги П. Вариньона «Сообжения о причины тяжости» (1690), изображены Мерсенн (в одежде монаха) и Пти, ожидающие, как говорит надпись вверху, «упадет ли обратно?».

Опыты Мерсенна и Пти законились неудачно: они даже не смогли разыскать выпущенные имни снаряды, хотя по расчетам последние должны были упасть в нескольких детях metros от пушки.

В конце XIX века эта задача привлекла внимание известного французского астронома и популяризатора К. Фламмарина (1842—1925). Познакомившись с книгой П. Вариньона и воспроизведя в своей «Астропомии» уже известную нам

Гравюра из книги П. Вариньона (1690), изображая опять М. Мерсенна и М. Пти.

гравюру, он дал такое решение задачи: «Если выстрелить из пушки, образив ее прямо вверх, к зениту, то ядро снова упадет в жерло пушки, хотя за время его подьема и низкодження пушки передвинется с Землей к востоку. Причина очевидна. Ядро, поднимаясь вверх, ничего не теряет из скорости, сообщенной ему движением Земли. Полученные им два толчка не противоположны: оно может пройти клометр вверх и в то же время сделать, например, 6 км к востоку. Движение его в пространстве будет совершаться по диагонали параллелограмма, одна сторона которого 1 км, другая — 6 км. Вниз под влиянием тяжесте оно будет дивгаться по другой диагонали (вернее, по кривой, вследствие того, что движение ускоренное) и как раз упадет снова в жерло пушки, которая по-прежнему остается в вертикальном положении».

Дальше Фламмарин пишет о трудностях постановки такого эксперимента, вспоминает о неудачных попытках Мерсенна и Пти…

Три десятилетия спустя советские читатели узнали об этой задаче из книги нашего замечательного популяризатора науки Я. И. Перельман «Занимательная астрономия». Первое издание книги вышло в 1929 году. Вот что там говорится: «Куда упал бы снаряд, пушенный ответно вверх из пушки, установленной на экваторе? Такая задача обсуждалась недавно в одном немецком журнале применительно к воображаемому снаряду, пушенному вертикально в скорость 8000 м/c в первую секунду; снаряд этот должен через 70 минут достичь высоты 6400 км (земного радиуса) *). Вот что писал журнал: «Если снаряд выпущен ответно вверх на экваторе, то он при вылете из орудия обладает еще и круговой скоростью точек экватора по направлению на восток (465 м/c). С этой скоростью снаряд будет переноситься параллельно экватору. Точка на высоте 6400 км, находившаяся в момент встречения книги». Перельман был совершен прав, но с попытками дать свое собственное, верное решение ему просто не повезло.

В первом издании книги Перельман решет задачу так. Вследствие врашения Земли снаряд при выстреле имеет относительное центр Земли составляющего скорсти, направленную по касательной к земной поверхности и равную 465 м/c (вспомним, что по условием задачи дело проискодит на экваторе). За 70 минут снаряд по этой причине сместится на восток вдоль касательной на (70×60×465) м = 1950 000 м = 1950 км. Из центра Земли этот отрезок будет виден под углом, тангенс которого равен относению длины 1950 км к радиусу Земли. Легко подчитать, что этот угол равен 16°57′. Пушка за то же время сместится на восток на угол в (360·70/27·60)° = 17°30′,

t. e. операит снаряд (в угловом измерении) на 33′. Этому соответствует расстояние на поверхности Земли в $\frac{2 \cdot 3,14 \cdot 6400 \cdot 33}{360 \cdot 60}$ км ≈ 60 км (из-за неточности в расчете Я. И. Перельман получил угол 46′ и расстояние 80 км).

Это решение, увы, тоже было неверным. На ошибку Я. И. Перельман обращили внимание специализиты, и уже во втором издании (1935 г.) он приводит новое (четвертое по счету) решение задачи:

«Задача, к сожалению, не может быть решена средством элементарной математики. Для этой цели необходимо специализировать расчет, который по моей просбебке был выполнен известным ленинградским физиком профессором М. П. Бронштейном.*) В подробности этого расчета я здесь входить не могу. Поэтому ограничись тем, что приведу здесь окончательный результат.

Если обозначим начальную скорость ядра через $v$ , угловую скоростьвращения земного шара через $\omega$ , аускорение тяжестеки через $g$ , то для расстояния $x$ точки падения ядра к западу от пушки получаются выражения:

на экваторе

$x = \frac{4}{3} \omega \frac{v^3}{g^2},$

(1)

а на шипотефе $\varphi$

$x = \frac{4}{3} \omega \frac{v^3}{g^2} \cos \varphi.$

(2)»

Подставляя $\varphi = (2\pi/86164) c^{-1}$ , $g=9,8$ м/c $^2$ , для условий задачи немецкого журнала Перельман получает 50 км, а для опыта Мерсенна и Пти ( $v=300$ м/c, $\varphi=48^\circ$ ) 1,7 м.

И тут Я. И. Перельман не повезло; оба эти значения были записены им в 10 с лишним раз. Возможно, в первом случае Я. И., помня полученное расстояние в 80 км, ожидал

*) Бронштейн Матвей Петрович (1906—1938), выдавшийся физик и астрофизик, приадлежал к кругу Л. Д. Ланду. Вылезаконно репрессирован в 1938 году. В последующих изданиях книги Я. И. Перельма упоминание о М. П. Бронштейне было изъято.

получить близкое число и… допустил вычислительную ошибку, о которой так и не узнал.

Уже после смерти Я. И. Перельмана кто-то из «дотошных» читателей взумал проверить его расчеты и написал редактор книги П. Г. Куликовскому. Начиная с восмого издания книги (1956), оба числа исправлены: первое на 520 км, второе — на 18 м. Текст остался без изменений.

Формулы типа (1) и (2) есть в классических трудах Гаусса, в работах академика А. Н. Крылова и в ряде курсов по теоретической механике. Они выводятся путем решения дифференциальных уравнений движения материалов точки в поле прияжения Земли.

И что же, на этом можно поставить точку? Оба решения найдены? Для примера с опытами Мерсенна и Пти — да: отклонение снаряда у них действительное должно быть составить пример 18 метров к западу. А вот в отношении первоого примера (с ordinem, выстrelивающим снаряд со скоростью 8000 м/c) этого сказать нельзя. И вот почему.

Формулы (1) и (2) выведены при условии, что отношение высоты подъемма снаряда к радиусу Земли $h/R$ — малая величины. В опытах Мерсенна и Пти так оно и было. В самом деле, у них

$h = \frac{v^2}{2g} \approx \frac{9 \cdot 10^4}{20} m=4,5 km,$

что в 1400 раз меньше земного радиуса. Но в задаче из немецкого журнала $h=R$ , т. е. $h/R=1$ , и формула (1) здесь не пригодна. Приходится искать решение задачи заново.

Траектория полета любого тела в поле тяготения Земли (если пребрежь сопротивлением atmosферы) представляет собой одно из конечских сечений — эллипс, парабoly или гипербoly. Форма орбиты зависит только от начальной скорости тела. Если, как в нашем примере, начальная скорость равна первоей космической (8000 м/c), то орбита — эллипс, больше получается которого равна радиусу Земли. Малая получось определяется направле-

пнем начальной скорости.*) Посмотрим, чему равна малая получь в нашем случае вертикальной скорости, сообщаемой снаряду при запуске, угол между касательной к траектории (в момент начала полета) и вертикальной линии можно найти из формулы

$\sin \theta = \frac{465}{8000} = 0,058,$

откуда $\theta = 3^\circ 20'$ . Нетрудно сообщать, что и точка запуска, и точка падания снаряда лежат вблизи концов малой оси описываемого им эллипса (см. рисунок на с. 30). Тогда из геометрических свойств эллипса можно найти его эксцентриситет

$e = \cos \theta = 0,9983$

и малую получь

$b = a \sqrt{1-e^2} = 6378 \cdot 0,058 = 370 \text{ км.}$

Таким образом, наш снаряд за время полета сметится к востоку на $2b = 740$ км. Но пушка за то же время сметится к востоку на 1950 км. Значит, относительно места запуска снаряд отклонится к западу на 1210 км.

Мы получили новое, уже шестое по счету решения задачи. Оно-то и является окончательным.

В заключение проанализируем причины ошибок предыдущих решений. Начнем с неудачного экспериментального решения Мерсенна и Пти. Самым простым объясением их неудаччи было бы предположить, что ствол пушки был не строго вертикальным. Возможно, так оно и было. Но Мерсенн был довольно опытным экспериментатором, и вряд ли отклонение стволы было большим. А расчетные оценки дают при отклонении в $1^\circ$ разброс дальнейшего снаряда не больше 300 м. Артиллеристы знают, что при стрелбе по дальним целям эллипс рассеяния (т. е. область, куда в основном попадают снаряды) опре-

деляется не только точностью установки ordия. Вращение снаряда, некоторая асимметрия его формы и распределения массы и, конечно, азодинамические силы, действующие на летяший снаряд, могут заметно сказаться на траектории полета. Так что неудачка Мерсенна и Пти была вполне закономерной.

Решение Фламатарона было бы верным, если бы Земля была плоской, поле тяготения — однородным и пушка перемещалась бы по Земле поступательно. Тогда ядро действительного уголло бы прямо в жерло ordия. В этом решении не учтена ни шарообразность Земли, ни изменение ускорения ее прямотenia с расстоянием.

В решении немецкого журнала правильно расчитано только время полета снаряда. Время его полного оборота вокруг центра Земли (при начальной скорости, равной первой космической) $T = 84$ мин 20 с, а время от пуска до падения, согласно второму закону Кеплера, равно

$T_1 = T \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \right) = 69 \text{ мин}$

(площадь сектора эллипса, описываемая радиусом-вектором снаряда за время $T_1$ , складывается из плоскии треугольника $OAB$ , равной $2ab/2$ , и площади полуэллипса $ACB$ , равной $lab/2$ (см. рисунок на с. 30); из отношения этой площади к площади эллипса $lab$ мы и получим написанную выше формулу). В остальных расчетах немецкого журнала содержится грубая вычислительная ошибка. За 70 минут пушка переместится к востоку на 1950 км, и чтобы снаряд упал на 4000 км к западу от нее, он с самого начала должен двигаться к западу, чего не может быть.

Первый расчет Я. И. Перельмана был чисто kinematически, в нем не учитывалось изменение ускорения свободного падения с расстоянием от центра Земли.

(*) В частном случае горизонтального запуска это будет окружность с радиусом, равным радиусу Земли.