[Обобщение одного тождества]

70

и есть механическая мощность:

$$P_M = P_{\text{от}} - P_T = IU - I^2R.$$

КПД motora по определению равен отношению механической мощности к мощности, потребляемой от источника:

$$\eta = \frac{P_M}{P_{\text{от}}} = \frac{IU - I^2R}{IU} = 1 - \frac{IR}{U}.$$

Как видно, тепловая мощность с увеличением тока растет по квадратичному закону, мощность, получаемая motorом от источника, — по линейному, а КПД с увеличением тока падает — увеличивается мощность тепловых потерь в обмотке. Провода для механической мощности рассуждения, аналогичные проведенным в задаче 2 для $P_{\text{вн}}$, заключаем, что существует неокоторое значение тока, при котором $P_M$ максимальная. Дифференцируя выражение для $P_M$ по тку и приравнивая производуную нулю, получаем, что эта сила тока равна $U/(2R)$.

Из приведенных на рисунке 6 графиков видно, что по мере увеличения тока механической мощность вначале оказывается больше тепловой, а затем меньше.

Докажите такжество

$$1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + \dots + n \cdot n! = (n + 1)! - 1.$$

Наш читатель А. М. Колесников из Ростовской области предложет обобщение этой задачи, верное для любого $s \geq 1$:

$$\sum_{k=1}^{n} (k!)^s ((k+1)^s - 1) = ((n+1)!)^s - 1.$$

Предлагаем вам доказать эту красивую формулу.

72

6. Докажите, что $R_{-\theta} = (R_0)^{-1}$.
7. Пусть $n$ — натуральное число. Докажите, что $R_0^n = J$ тогда и только тогда, когда $\theta = 2\pi m/n$, где $m$ — целое число.
8. Пусть $\theta = 2\pi/n$, где $n$ — натуральное число и $R_\psi = A^{-1}R_0A$ для некоторой матрицы $A$. Докажите, что $\varphi = 2\pi k/n$, где $k$ — целое.

9. Пусть $z \neq 1$ — положительное число и $w = \frac{z+1}{z-1}$.
10. Пусть $m(a)$ наименьшее значение функции $f(x) = x^2 - 2a(x-2) - 4a^2$ на отрезке $0 \leq x \leq 1$, где $a$ — произвольное действительное число. Найдите $m(a)$ и построите график этой функции. Найдите наибольшее значение $m(a)$.
11. Пусть $J(a) = \int_0^\infty \frac{e^{-ax}}{1+x} dx$, где $a > 0$. Пользовать интегрирование по частям (или иначе), докажите, что для любого целого $N \geqslant 0$
12. Пусть $J(a) = \sum_{r=0}^{N} \frac{(-1)^r r!}{a^{r+1}} + \frac{(-1)^{N+1}(N+1)!}{a^{N+1}} \int_0^\infty \frac{e^{-ax}}{(1+x)^{N+2}} dx$.
    Отсюда получите оценку
    $$\frac{93}{648} < J(6) < \frac{95}{648}.$$
13. Проверите, что функция $y = e^{2x}$ является решением дифференциального уравнения
    $$(x+2)\frac{d^2y}{dx^2} - (2x+5)\frac{dy}{dx} + 2y = 0.$$ ()
    Покажите, что подстановка $y = ue^{2x}$, где $u$ — функция от $x$, приводит к дифференциальному уравнению относительно функции $w = du/dx$. Решите это уравнение относительно $w$ и получите в качестве следствия общее решение уравнения ().
    Найдите решение (*), удовлетворяющее условием $y(0) = 0$, $y'(0) = 1$.
14. Докажите, пользоваться графиком, что уравнение $x = tg x$ имеет бесконечную последовательность положительных решений $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n$, где $\pi n < \alpha_n < \pi n + \pi/2$.
    Затем докажите, также пользоваться графиком, что уравнение
    $$\sin x = ax, x > 0,$$
    не имеет решений при $a > 1$, имеет одно решение при $\cos \alpha_2 < a < 1$, имеет $2n-1$ решений при $\cos \alpha_{2n} < a < \cos \alpha_{2(n-1)}$ (при $n > 1$).
    Математка II
    Грунna А
15. В треугольнике $ABC$ точка $D$ на $BC$ и $EA$ таковы, что прямая $AD$ перпендикулярна $BC$, а прямая $BE$ перпендикулярна $AC$.
    Докажите, что треугольники $ADC$ и $BEC$ подобны.
    Пусть $BE$ пересекает $AD$ в точке $H$, а $CH$ пересекает $AB$ в точке $F$. Докажите, что $AE/EB = HE/EC$.
    Докажите, что прямая $CF$ перпендикулярна $AB$.
    Пусть точки $X, Y, Z$ и $W$ — середины отрезков $BH, AB, AC$ и $CH$. Докажите, что

73

ХУ, AD и WZ параллельны. Докажите также, что параллельные YZ, XW и BC.

Докажите, что XYZW — прямогольник.

2. Расстояние окружность $C_1$, задаваемую в прямогольной системе координат уравнения $x^2 + y^2 - 2xsec b + 1 = 0$, где $b$ — действительное число такое, что $0 < b < \pi/2$.

Найдите центр $A_1$ и радиус $r_1$ окружности $C_1$.

Расстояние прямую $l$, проходящую через начало координат 0 и касающейся окружности $C_1$ в точке $P$. Найдите длину отрезка $OP$ и величины угла $POA_1$.

Расстояние затем окружность $C_2$, задаваемую уравнение $x^2 + y^2 - 2ytg a - 1 = 0$, где $0 < a < \frac{\pi}{2}$.

Найдите центр $A_2$ и радиус $r_2$ окружности $C_2$.

Выразите расстояние $A_1A_2$ через $r_1$ и $r_2$.

Пусть $C_1$ и $C_2$ пересекаются в точках $R$ и $S$. Докажите, что углы $A_1RA_2$ и $A_1SA_2$ — прямые.

3. При различные точки $B, C, D$, лежащие на плоскости, определяются треями векторами $b$, $\vec{c}$ и $\vec{d}$ с общим началом $O$.

Докажите, что $B, C$ и $D$ лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда $\alpha \bar{b} + \mu \vec{c} + \vec{d} = 0$ для некоторых чисел $\alpha, \mu, v$, не равных одновременному и удовлетворяющих условиям $\alpha + \mu + v = 0$.

Далее докажите, что точки $B, C$ и $D$ лежат на одной прямой и точка $D$ делит $BC$ в отношении $\gamma: \beta$ тогда и только тогда, когда $\vec{d} = (\beta \bar{b} + \gamma \vec{c})(\beta + \gamma)^{-1}$.

Четвертая точка $A$ плоскости определяется вектором $OA = \vec{a}$ с тем же началом $O$ и не лежит на прямой $BC$. Докажите, что всякая точка $P$, принадлежащая треугольнику $ABC$ и лежащая на $AD$, задается вектором $\overline{OP} = \vec{p} = (\alpha \bar{a} + \beta \bar{b} + \gamma \vec{c})(\alpha + \beta + \gamma)^{-1}$,

где $\alpha$ — некоторое положительное число.

Если точке $Q$ соответствует вектор $\vec{q} = OQ$ такой, что $\vec{q} = (-\alpha \bar{a} + \beta \bar{b} + \gamma \vec{c})(-\alpha + \beta + \gamma)^{-1}$,

то точка $Q$ лежит на прямой $AP$.

4. Пусть $a$ и $c$ — действительные числа, а $b$ — комплексное число такое, что $ac < bb$ ($\bar{b}$ — число, комплексное сопряжение $c$ $b$).

Докажите, что множество точки комплексной плоскости $z = x + iy$, удовлетворяющих условиями

$$az\bar{z} + \bar{b}z + b\bar{z} + c = 0,$$

являются окружностью при $a \neq 0$ и прямой при $a = 0$.

В случае $a = 0$ докажите, что если прямая касается единичной окружности $zz = 1$, то $b$ и $c$ удовлетворяют соответствующим условиям $c^2 = ub\bar{b}$.

Докажите, что при преобразовании

$$z \rightarrow w = \frac{1}{\bar{z}}$$

a) точки единичной окружности неподвижны;

b) прямая, заданная уравнением $\bar{b}z + b\bar{z} + c = 0$ и касающаяся единичной окружности,

преобразуется в окружность, проходящую через начало координат. Чему равен радиус этой окружности?

Группа В

5. Легкая лестница длиной $l$ прислона к стене под углом $\theta$ от вертикали.

Человек весом $W$ стоит на лестнице на высоте $Y$ от пола.

Докажите, что в момент, когда лестница начинает скольнить, нормальные реакции $R_1$ и $R_2$ пола и стенки равны соответствующим.

$$R_1 = \frac{W}{1 + \mu_1\mu_2}; R_2 = \frac{\mu_1W}{1 + \mu_1\mu_2},$$

где $\mu_1$ и $\mu_2$ — коэффициенты треня лестницы о поле и стену, соответствующим.

Докажите, что лестница будет скользывать, только если

$$Y > \frac{\mu_1l\cos \theta(\mu_2 + \text{ctg} \theta)}{1 + \mu_1\mu_2}.$$

Отсюда показите, что человек сможет взобраться на самый верх лестницы, если

$$\text{tg} \theta < \mu_1.$$

6. Теннисист, находящийся в точке $x = 0$ на оси $Ox$ посылает мяч в стенку, перпендикулярную оси $Ox$ в точке $x = X$. Пусть при своем $n$-м ударе он посылает мяч с высоты $h_n$ со скоростью $v_n$ под углом $\theta$ к горизонту. На какой высоте над осью $Ox$ мяч ударится о стенку (сопротивлением воздуха пребывания)? При отражении от стенки вертикальной составляющей скоростю мяч не меняется, а горизонтальная умножается на коэффициент восстанавливания $e$. Докажите, что высота $h_{n+1}$, на которой окажется мяч при возвратии кTenнисисту, удовлетворяет соответствующим.

Докажите, чтоTenнисист может поддерживать «стασиарный режим» (т. е. $h_{n+1} = h_n$ при всех $n$), если он посылает мяч со скоростью

$$v = (g(1 + e)X/esin 2\theta)^{1/2}.$$

7. Частца массой $m$ прикреплена с помощью легкой упругой нити жесткости $\alpha$ и длиной $a$ к другой части массой $M$. В начальной момент обе части массой в одной точке $O$. Частцу массой $m$ бросают со скоростью $v$, а частцу массой $M$ отпускают. Пусть $x$ и $y$ — расстояния от перой и второй части до точки $O$ соответствующно в момент времени $t$. Докажите, что расстояние между частцами станет равным $a$ через время $a/v$; найдете положения частцы и их скорости в этот момент. Докажите, что при $x - y > a$, $x$ и $y$ удовлетворяют системе уравнения

$$\frac{d^2x}{dt^2} = g - \frac{\alpha}{ma}(x - y - a),$$