Ещё раз о золотом сечении

75

Полагая, что средняя частота действительного прискаболевания, вычислите вероятность того, что по крайней мере в одном из субрегионов будет по меньшей мере 4 случай заболевания при $n=225$. Повторите вычисления для $n=23900$ (числа, описывающего всю Англлю и Уэльс). Объясните значение обнаруженных 4-х случайов в избирательном округе $S_1$.

Группа Г

13. Докажите следующие неравенства $(x, y$ и $z$ — произвольные положительные действительные числа):
    a) $x^2+y^2+z^2\geqslant xy+yz+zx$;
    b) $\min(1, x^3, y^4, z^5)\leqslant xyz$, где $\min(a_1,a_2,...,a_n)$ означает наименьшее из чисел $a_1, a_2,...,a_n$;
    b) $x\ln x\geqslant -e^{-1}$.
14. a) Функция $f(x)$ равна 1 для $0\leqslant x\leqslant 1$, равна 1/2 при $1<x\leqslant 2$, вообще равна 1/n при $n-1<x\leqslant n$, $n=3,4,...$. Постройте на одном чертеже графики функций $f(x)$ при $x\geqslant 0$ и $y=\frac{1}{x}$ при $x>0$.
    6)*) Получите из графиков, что
    $$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{m}\leqslant \ln m$$ для целых $m\geqslant 2$.
    b) Аналогично докажите, что
    $$\ln m\leqslant 1+\frac{1}{2}+\dots+\frac{1}{m-1}$$ для целых $m\geqslant 2$.
    г) Замените 1/x другой функцией и примените аналогичный метод для доказательства
    *) Сравните с решением задачи M1110 («Квант» № 11—12, 1988).

Еще раз о золотом сечении

Золотым сечением называется число $\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$. Это число издавна интересует не только математиков, но и художников, скульпторов, архитекторов. Считается, что золотому сечению подчиняется пропорции хорошего сложного человека.

Если группе людей предложить выбор самых самых гармоничными из большого набора прямоугольников, большинство выберет тот, стороны которого относится как $\varphi$.

Известны две красные формулы для золотого сечения:
$$\varphi=\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\dots}}};$$
$$\varphi=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\dots}}}.$$

Наши читатели А. М. и В. М. Соломины из Киева предлагают еще две формулы, которые мы предлагаем доказать вам:
$$\varphi=\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2+\dots}}};$$
$$\varphi=2-\frac{1}{2+\frac{1}{2-\frac{1}{2+\dots}}}.$$

77

с поршнем и с потолком коэффициент восстановления $k=0,8$.

5. «Планета». Каким может быть максимальный размер планеты, имеющий форму куба?

6. «Испарение — конденсация». В П-образной запаянной стеклянной трубке находится вода (рис. 2).

Рис. 2.

Если первоначально в коленах трубки установить неокторую разность уровней $H$, то со временем уровни воды в коленах выровняются. Оцените скорость выравнивания при данных $H$ и температуре $T=\text{const}$.

a) В трубке нет воздуха.

6. В трубке есть воды при нормальном давлении.

7. «Цилиндр в трубе». В длиной трубке, заполненной водой, движется с постоянной скоростью по направлению к закрытом концу цилиндр (рис. 3).

Рис. 3.

Внутренний диаметр трубки $D$, диаметр цилиндра $d$, длина цилиндра $L$, $D-d=h$, $L>D$, $h \ll D$. Как зависит сила сопротивления движению цилиндра от скорости цилиндра? Сравните теоретические оценки с результатами эксперимента.

8. «Сегнерово колесо». Сегнерово колесо, помещенное в воду,вращается за счет реактивной силы струй, вытекающих из солел. Будет ли врашаться также колесо в обратном режиме, т. е. если вода не вытекает, а втекает (всасыается) в соле леса?

Рекомендуем обратиться к книге «Вы, конечно, шутите, мастер Фейнман!» (частичный перевод в журнале «Наука и жизнь», 1986, № 12).

9. «Колесо Франклина». Вращение металлической вертушки с остриями в известном опите «колесо Франклина» объясняется начиним «электрического ветра». Объясните, почему врашается эта вертушка, если ее помещить между пластинами плоского конденсатора и заряжать конденсатор от электрофорной машины. Будет ли врашться диэлектрический диск, помещенный вместе к колеса Франклина между пластинами плоского конденсатора, заряжаемого от электрофорной машины?

10. «Электрет». 150 лет назад М. Фарадей предложал электреты как электростатические аналоги постоянного магнита. Изготовьте электрет и использовать его свойства.

11. «Цвета обlakов». Тукии небесные, вечные страники! Стелью лазурного, целую железную железную цилиндра от скорости цилиндра? Сравните теоретические оценки с результатами эксперимента.

12. «Гранца обlakа». Наблюдаемая граница обlakа часто бывают резко оценена. Особенно хорошо видеть с борта самолета. Оцените «размытость» границы обlakа.

13. «Обlakо космонавтов» (фантация с физиным смыслом). Большое число космонавтов образуют в открытом космосе «обlakо космонавтов». Первоначально каждый из них имеет при себе футбольный мяч. С какого-то момента времени космоса начинают перебрасывать друг с другом этими мячами (при этом они один мяч не теряется). Опишите эволюцию «обlakа космонавтов». Не желая ограничивать вашей фантации, предоставляем вам самим выбор нальных условий, правил переброски мячей и других параметров «обlakа». Важно только следующее: выбор модели должен быть логичски обоснован; выводы должны быть подкреплены количественными оценками; количество описанных вам вариантов не должно быть более двух.

14. «Фрактал?». Бабушка сматывает шестяную нить в сферический клубок. Как зависит масса клубка от его диаметра?

15. «Свет в трубе». Посмотрит на свет через стеклянную трубку (диаметр трубки ≈ 5 мм, длина ≈ 25 см). Объясните проискождения наблюдаемых колес.

16. «Интерференция». Возьмите две хорошего отмытые от эмульсини стеклянные фотопластики (9×12 см). Если их плотно прижать друг к другу (притерть), то в отраженном свете можно увидеть интерференционные полосы. Если положить пластики на стол и надавить пальцем на середину верхней пластинки, то положи прибрать тот вид концентрических колес. Если пальец убрать, то колца начинают «разбегаться». Проделяйте этот опит и obсящие наблюдаемые явления. Оцените теоретически скорость «разбега-