Задачи М1176—М1180; Ф1183—Ф1187

31

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с моментта основания журнала. Публикуемые в нем задания нестандарты, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы.

Найболее трудные задачи отмегаются звездочкой. После формирования задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые.

Решения задачи из этого номера следует отправлять не позднее 1 октября 1989 года по адресу: 103006 Москва К-6, ул. Горького, 32/1, «Квант». Решения задачи из разных номеров журнала или по разным предметам (математике и физике) присLIED в разных конвертах. На конверте в графе «Кому» написите: «Задачник «Кванта» № 8—89» и номера задач, решения которых вы посылаете, например «M1176» или «Ф1183». В графе «…адрес отправителя» фамилию и имя просим писать разборную. В письмо выходите конверт с написанным на нем вашим адресом (в этом конверте вы получите результаты проверки решения).

Условие каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, присLIED в отдельном конверте в двух экземплярах вместе с вашим решением этой задачи (на конверте пометьте: «Задачник «Кванта», новая задача по физике» или «…новая задача по математике»).

В начале каждого письма просим указывать номер школа и класс, в котором вы учите. Задача M1180 предлагалась на заключительном этапе XXIII Всегоозной олимпiadы по математике (Рига, 1989).

Задание
M1176 — M1180, Ф1183 — Ф1187

M1176. Два квадрата AKBM и CNDL расположены на плоскости так, что ABCD — выпуклый четырехугольник, причем точки K и L лежат внутри этого четырехугольника. Докажите, что площад этого четырехугольника равна $(MN^2 - KL^2)/4$.

С. А. Столяров

M1177. Докажите, что для положительных чисел $x_1, x_2, ..., x_n$, не превыходящих 1, выполнен неравенство
$$(1+x_1)^{1/x_2}(1+x_2)^{1/x_3}(1+x_3)^{1/x_4}...(1+x_n)^{1/x_1} \geq 2^n.$$
К. П. Кохась, В. М. Телевка

M1178. a) Докажите, что для нетупоугольного треугольника ABC со сторонами a, b, c, радиусом вписанной окружности r и описанной — R выполнен неравенство
$$2(R+r) \leq \sqrt{a^2+b^2+c^2}.$$
6) При каком условия это неравенство обращается в равенство?

З. А. Скопец

M1179. Найдите $a_{1000}$, если $a_1=0$ и при $n=1, 2, 3, ...$

a) $a_{n+1} = \frac{n}{n+1}(a_n+1)$;

b) $a_{n+1} = \frac{n(n+1)}{(n+2)(n+3)}(a_n+1)$;

b) $a_{n+1} = \frac{n(n+1)(n+2)}{(n+3)(n+4)(n+5)}(a_n+1)$.

В. А. Вергезим

M1180. На одной из двух данных пересекающих сфер взяты точки A и B, на другой — C и D. Отрезок AC проходит через общую точку сфера. Отрезок BD проходит через другую общую точку сфера и параллелен прямой, содержащей центры сфера. Докажите, что проекции отрезков AB и CD на прямую AC равны.

И. Ф. Шарыцин

Ф1183. Автобус движется с постоянной скоростью $u=60$ km/ч, подолгу стоя на остановках. На улице ветер и идет дожь. Дождевые капли образованы на боковом стекле автобуса такую картину, как на рисунке 1. Скорость и направление ветра не меняются. Какова скорость падения капель дожья? Что можно сказать о скорости ветра? Дорога прямая, автобус не разворачивается.

А. В. Андранов

Ф1184. Железный прут цилиндрический формы длиной 10 см нагрели в пламени газовой горелки. Температура горячего конца прута оказалась 700 °C, на расстоянии 1 см от него — 500 °C, 2 см — 300 °C, 3 см — 200 °C, 5 см — 150 °C, температура другого