Sàn gỗ hoàn thiện

25

SỰ KẾT THÚC

V. I. Kaplun, V. G. Leibovich, E. L. Papernov

Đo bảy lần - cắt một lần

Hãy tưởng tượng rằng bạn muốn lát sàn phòng tắm bằng gạch hoặc lát sàn gỗ chung trong phòng. Trong trường hợp này, điều kiện duy nhất được đặt ra: gạch (sàn gỗ) phải giống nhau. Điều đầu tiên bạn nghĩ đến là cố gắng làm sàn gỗ từ các hình đa giác thông thường. Bạn có thể đọc về những tấm sàn như vậy trong bài viết của A. N. Kolmogorov “Sàn gỗ từ các đa giác thông thường” *, trong đó các tấm sàn vô tận được xem xét, tức là các viên gạch bao phủ toàn bộ mặt phẳng. Việc di chuyển đến những khu vực hạn chế (chẳng hạn như một căn phòng) sẽ dẫn đến những biến chứng đáng kể.

Bài toán 1. Chứng minh rằng không thể lát một căn phòng hình chữ nhật bằng những hình tam giác hoặc hình lục giác đều.

Bài 2. Lấy ví dụ về một căn phòng hình chữ nhật, tủ có ngăn kéo không thể thay thế bằng bất kỳ viên gạch hình vuông nào.

Như bạn có thể thấy, chúng ta không thể làm gì nếu không có số liệu “sai”. Họ thường làm bài toán khá đơn giản. Ví dụ: không khó để chọn một viên gạch hình chữ nhật có thể được sử dụng để lát một căn phòng hình chữ nhật nhất định (Hình 1). Sau này chúng tôi đã học được cách đóng băng

*) Xem «Kvant», số 3, 1970.

lắp đặt sàn gỗ ở nhiều khu vực khác nhau. Đồng thời, chúng tôi sẽ chỉ sử dụng sàn gỗ đa giác và luôn yêu cầu rằng trong từng trường hợp cụ thể, chúng đều giống nhau. Lưu ý rằng nếu chúng tôi phủ một hình nhất định bằng sàn gỗ, chúng tôi đồng thời chia nó thành các đa giác—các ô—với các đoạn thẳng. Vì vậy, sau này chúng ta sẽ thường xuyên sử dụng từ “phá” và “cắt”. Để thuận tiện cho việc trình bày, chúng tôi sẽ đưa ra một ý nghĩa đặc biệt cho từ “cắt”: đây là một cách phân chia trong đó ranh giới của các viên gạch tạo thành các đoạn cắt khu vực của chúng ta “xuyên suốt”. Hình 2 hiển thị ví dụ về phân vùng không phải là phần cắt và Hình 3 hiển thị ví dụ về phần cắt.

Bây giờ chúng ta hãy xem cách bạn có thể cắt một hình chữ nhật thành các hình tam giác bằng nhau. Đây sẽ là một trong những bài toán chính của chúng tôi. Ví dụ, bằng cách vẽ một đường chéo, chúng ta cắt hình chữ nhật thành hai hình tam giác bằng nhau.

Bài 3. Chứng minh rằng một hình chữ nhật tùy ý có thể cắt thành số nguyên hình tam giác bất kỳ.

Một câu hỏi tự nhiên được đặt ra: có thể cắt một hình chữ nhật thành một số lẻ các hình tam giác bằng nhau không? Đáp số câu hỏi này sẽ dựa trên các kết quả tổng quát hơn mà chúng tôi

26

Chúng ta hãy chứng minh một định lý về việc cắt các vùng vô hạn thành các tam giác bằng nhau.

Để xây dựng nó, chúng ta cần một khái niệm quan trọng.

Giả sử có một số họ đường trên mặt phẳng. Chúng ta sẽ nói rằng họ này có một hệ hướng và nếu có thể phân biệt được một số hữu hạn đường thẳng trên mặt phẳng thì mỗi đường thẳng trong tập hợp này sẽ song song với một trong số chúng. Ví dụ: các hướng được đánh dấu màu đỏ trong Hình 4 là hướng dẫn cho tập hợp các đường thẳng được hiển thị trong hình này.

Cơm. 1.

Cơm. 2.

Cơm. 3.

Định lý chính. Cắt mặt phẳng thành các hình tam giác bằng nhau; mô hình có thể xảy ra các trường hợp sau:

1. nếu các tam giác cắt là hình chữ nhật có góc 30° thì hệ dẫn hướng thuộc họ đường thẳng cắt gồm 3, 4 hoặc 6 phần tử;

2. nếu các hình tam giác cắt là hình chữ nhật nhưng không phải là hình tam giác trong trường hợp 1 thì hệ thống dẫn hướng chỉ có thể bao gồm 3 hoặc 4 phần tử;

3. cuối cùng, nếu các hình tam giác cắt không thẳng thì chỉ có 3 thanh dẫn hướng.

Chúng ta hãy lưu ý một tính chất của các vết cắt sẽ đóng một vai trò quan trọng trong các cuộc thảo luận tiếp theo.

Giả sử có một hình tam giác tùy ý nằm trong phần cắt (ΔABC trong Hình 5). thì mỗi cạnh của tam giác này xác định một trong các đường cắt. Mỗi đường thẳng này có thêm các hình tam giác gắn liền với nó ở phía bên kia. Ví dụ, hãy xem xét cạnh AC của tam giác ABC trong Hình 5 và đường thẳng l tương ứng (nơi nó nằm trên đó). Ta xét một trong các tam giác kề AC có điểm chung với AC, khác điểm A và C (tam giác như vậy rất rộng). thì tam giác này - hãy ký hiệu là A’B’C’ - chỉ có thể chiếm hai vị trí so với ΔABC (Hình 5, a và b). Chứng minh điều này (dựa trên sự bằng nhau của các tam giác ABC và A’B’C’ và việc phân hoạch của chúng ta là

Cơm. 4.

Cơm. 5, A.

Cơm. 5, b.

Cơm. 6.

27

cắt) chúng tôi gửi đến người đọc như một bài tập dễ dàng, một sự khởi động cho những nhiệm vụ khó khăn hơn sẽ sớm diễn ra.

Bây giờ chúng ta có thể tiến hành trực tiếp đến việc chứng minh định lý. Trước tiên chúng ta hãy xem xét trường hợp 3. Đặt $ABC$ là một tam giác tùy ý của sàn gỗ của chúng ta (Hình 6). Với mục đích định nghĩa, hãy đặt góc $A$ của nó là lớn nhất (trong trường hợp tam giác đều hoặc tam giác đều, người ta có thể, như sẽ rõ ràng sau đây, lấy một góc tùy ý từ các góc tương ứng). Ta hãy chứng minh rằng tam giác thứ hai áp dụng cho cạnh chứa đỉnh $A$ chỉ có thể tạo thành cấu hình như ở Hình 5, $6$ (sau đây chúng ta sẽ viết đơn giản là “đính kèm như “6”). Thật vậy, vì góc $A$ lớn nhất nên $\angle A \geq 60^\circ$. Do đó, nếu tam giác $A'B'C'$ được gắn theo kiểu “a” thì không thể gắn a tam giác với cạnh bên chứa đỉnh $A$. Chúng ta để lại chứng minh của sự kiện đơn giản này cho độc giả. Chúng ta hãy xem xét trường hợp $\Rightarrow A = 60^\circ$ riêng biệt.

Từ đó (đây cũng là bài toán) sàn gỗ chỉ có thể trông giống như trong Hình 7 (một số hình tam giác trên đó được sơn phủ lên để tạo độ mịn).

Hãy chuyển sang trường hợp 2. Rõ ràng, ở đây bạn có thể xây dựng sàn gỗ giống như trong trường hợp 3. Nhưng trong trường hợp này, bạn có thể xây dựng chính xác một sàn gỗ nữa (nhiệm vụ!) (xem Hình 8).

Tất nhiên, trong trường hợp 1, cả hai sàn gỗ, trường hợp 2 và một sàn gỗ khác (lại là một vấn đề!), như được hiển thị trong Hình 9, đều có thể được triển khai.

Bây giờ, khi đã có trong tay định lý về ván sàn vô hạn, chúng ta có thể xét việc cắt các hình hữu hạn.

Định lý 1. Nếu một hình vuông được cắt thành các hình tam giác bằng nhau thì các tam giác này nhất thiết phải thẳng hàng và số cent của chúng bằng nhau.

Thật vậy, một sàn gỗ hữu hạn hoặc là một phần của một trong những sàn gỗ vô hạn được mô tả trong Hình 7-9, hoặc có dạng $n$-giác thông thường (đây là một vấn đề) (Hình 10).

Trong một căn phòng rất vuông, sàn gỗ hình tam giác chỉ có thể trông giống như trong Hình 7-9. Nhưng bản thân các cạnh của hình vuông phải là những đường thẳng cắt nên trường hợp 3 biến mất. Do đó, phân vùng bao gồm các hình tam giác vuông. (Lưu ý rằng khi các hình tam giác trong Hình 8 đều bằng nhau, chúng ta sẽ có được sàn gỗ như Hình 10.). Nếu sàn gỗ trông giống như trong Hình 7 thì trong số các đường sinh có hướng chỉ có hai đường sinh vuông góc với nhau. Chúng phải trùng với hướng của cạnh hình vuông. Trong trường hợp này, mỗi loại của tam giác cắt phải được đặt một số nguyên lần trên cạnh hình vuông. Đặt cạnh của hình vuông bằng $a$ và các loại nằm trong đó hai cặp hướng dẫn vuông góc lẫn nhau tương ứng.

Cuối cùng, chúng tôi lưu ý rằng loại sàn gỗ Hình 9 không thể được thực hiện trên một hình vuông. Điều này có thể được xác minh như sau. Cho độ dài cạnh huyền của tam giác cắt bằng $a$ thì các loại tương ứng bằng $\frac{a}{2}$ và $\frac{\sqrt{3}}{2} a$. Nhưng nếu một số sàn gỗ thẳng như Hình 9, thì (chứng minh!) một trong các cạnh của nó bằng $k \frac{\sqrt{3}}{2} a$, và cạnh kia là $n \frac{3}{2} a$, trong đó $n$ và $k$ là số nguyên. Nhưng sau đó

28

Các cạnh của hình chữ nhật không thể đo được nên không thể thu được hình vuông.

Định lý 2. Nếu một hình chữ nhật được cắt thành các hình tam giác bằng nhau thì tất cả các hình tam giác này đều là hình chữ nhật và có số phần trăm của chúng.

Chứng minh định lý này không khác gì chứng minh Định lý 1. Bạn hãy tự chứng minh nhé.

Sau khi chắc chắn rằng sàn lát gỗ cho các cột hình chữ nhật không đa dạng lắm, họ tự nhiên đặt câu hỏi: tình huống với các hình khác, chẳng hạn như hình tam giác, là gì? Rõ ràng là một tam giác đều có thể cắt thành hai tam giác bằng nhau. Còn những người khác thì sao?

Bài 4. Chứng minh nếu cắt một tam giác thành hai tam giác bằng nhau thì tam giác đó là tam giác đều.

Bài 5. Cho một tam giác tùy ý; Có thể cắt nó thành bao nhiêu hình tam giác bằng nhau?

Tuy nhiên, hình tam giác, như bạn thấy, có thể bị cắt. Bạn có thể nghĩ rằng đây là trường hợp của tất cả các đa giác.

Tuy nhiên, điều này không đúng. Bây giờ chúng ta sẽ giải quyết ví dụ đơn giản nhất về một fugue chưa cắt.

Hãy xem xét vấn đề cắt hình thang. Hình 11 cho thấy một ví dụ về hình thang có thể cắt thành các hình tam giác bằng nhau. Tuy nhiên, chúng ta hãy chứng minh rằng có những hình thang không những không thể cắt mà còn có thể chia thành các hình tam giác bằng nhau. Sự tồn tại của những hình thang như vậy dựa trên sự tồn tại của vô số đoạn thẳng. Hãy nhớ rằng các đoạn $a$ và $b$ là vô lượng nếu tỷ lệ độ dài của chúng là một số vô tỷ *). Chúng ta gọi các phân số $a_1, \dots, a_n$ là vô lượng lẫn nhau nếu không có $a_r$ nào có thể biểu diễn dưới dạng $a_r = k_1 a_1 + \dots + k_n a_n$, trong đó $k_1, \dots, k_n$ là các số hữu tỉ ($k_r = 0$).

Chúng ta hãy lấy một hình thang có các cạnh $l, m, n, p$ (Hình 12), trong đó các đoạn $l, m, n, p$ không thể đo được lẫn nhau. Giả sử rằng nó có thể được chia thành các hình tam giác bằng nhau. Chúng ta hãy nhìn vào bên $l$. Phân vùng của chúng tôi sẽ chia nó thành nhiều phần, mỗi phần là một trong các cạnh của tam giác phân vùng (Hình 13). Do đó, $l = k_1 a + k_2 b + k_3 c$, trong đó $k_1, k_2, k_3$ là số nguyên không âm. Lập luận tương tự cho các cạnh còn lại của hình thang cho hệ đẳng thức

$$\begin{align*} l &= k_1 a + k_2 b + k_3 c, \\ m &= k_1 a + k_5 b + k_6 c, \\ n &= k_7 a + k_8 b + k_9 c, \\ p &= k_{10} a + k_{11} b + k_{12} c \end{align*}$$

trong đó $k_1, k_2, \dots, k_{12}$ là số nguyên không âm. Chúng tôi giả định rằng việc phân vùng là khả thi. Điều này có nghĩa là, với $k_1, k_2, \dots, k_{12}$, những đẳng thức này có thể được coi là một hệ phương trình cho $a, b$ và $c$.

Bài 6. Chứng minh rằng trong trường hợp tổng quát, tính không đo được theo cặp của các số $a_1, \dots, a_n$ không hàm ý tính không đo được lẫn nhau của chúng.

Bài 7. Chứng minh giao điểm của ba phương trình có dạng

$$\begin{align*} a &= r_1 l + r_2 m + r_3 n, \\ b &= r_4 l + r_5 m + r_6 n, \\ c &= r_7 l + r_8 m + r_9 n \end{align*}$$

trong đó $r_1, \dots, r_9$ là số hữu tỉ.

Thay các giá trị $a, b$ và $c$ vào bốn phương trình, ta được $p =$

*) Trong phần tiếp theo, một đoạn và độ dài của nó được ký hiệu theo cùng một cách.

29

$$= r_{10}l + r_{11}m + r_{12}n, \quad r_{10}, r_{11}, r_{12} \text{ — разциональные числа. Но отрезки } l, m, n \text{ взимно несоизмеримы. Мы пришли к противоречию; следовательно, трапецю со взимно несоизмеримыми сторонами разбит на равные треугольники невозможно.}$$

Bài toán 8. Chứng minh rằng đường biên có cạnh $n = \sqrt{2}, m = \sqrt{3}, l = \sqrt{7}, p = \sqrt{5}$ không thể chia thành các tam giác bằng nhau.

Bây giờ lấy một mảnh hình chữ nhật và dán hình trụ ra khỏi nó (Hình 14). Nếu chúng ta cắt hình trụ thu được ở một góc bất kỳ so với đáy, chúng ta sẽ có được một hình bình hành (Hình 15). Như vậy, bài toán cắt một hình trụ theo đường thẳng tương đương với việc cắt một hình bình hành. Nhưng ở đây, tình huống ở đây giống với hình chữ nhật về nhiều mặt: có thể dễ dàng cắt hình bình hành thành số chẵn, không thể cắt hình bình hành thành số lẻ các tam giác bằng nhau, và liệu nó có thể chia thành số lẻ hay không thì chưa biết. Chúng ta đã thấy rằng đối với một hình thang, khả năng phân chia có thể có liên quan đến khả năng giải được một hệ phương trình nhất định. Đối với hình bình hành, chúng ta chỉ có ba phương trình độc lập tương ứng với các đại lượng được xác định bởi hình bình hành, đó là hai cạnh và góc ở đáy. Vì vậy bài toán là có điều kiện. Điều quan trọng cần lưu ý là góc $\alpha$ ở chân đế hoàn toàn phụ thuộc vào chúng ta và chúng ta có thể chọn nó sao cho thuận tiện cho mình.

Một hình khác có thể được dán lại với nhau từ một hình chữ nhật, dải Mobius, có những đặc tính thú vị liên quan đến việc cắt. Dải Möbius thu được nếu chúng ta dán hình chữ nhật $ABCD$ (Hình 16) như sau: dán $AB$ vào $CD$ sao cho $A$ được dán vào $C$ và $B$ đến $D$, tức là $AB$ “lật lại”. Dải Mobius có một số tính chất đáng chú ý.

(Ví dụ, xem “Bách khoa toàn thư về toán tiểu học”, M., 1966, tập 5, trang 500).

Nếu chúng ta cắt một góc nhọn so với mép của bề mặt, chúng ta sẽ có được một hình thang đều (Hình 17). Trong đó góc $\alpha$ là tùy ý và $a + b = AD + BC$. Không khó để chọn $\alpha$ sao cho $3b = 4a$, khi đó thực hiện sáu lần cắt chúng ta sẽ được 7 hình tam giác bằng nhau.

Bài toán 9. Chứng minh rằng dải Mobius có thể cắt thành nhiều hình tam giác bằng nhau bất kỳ.

Bây giờ người đọc đã quen với một số ý tưởng và phương pháp cắt, chúng tôi để anh ta tự mình khám phá các lý thuyết về cắt và phân vùng. Hãy để chúng tôi trình bày một số bài toán có thể có từ khu vực này.

Bài toán 10. Chứng minh rằng mọi tam giác vuông đều có thể cắt thành số lượng tam giác bất kỳ, bắt đầu từ hai, tương tự như tam giác ban đầu.