Bài toán M166—M170; F178—F182

NHIỆM VỤ

M166. a) Học sinh cùng lớp đã có hai chuyến đi bộ đường dài vào tháng 9. Trong chiến dịch đầu tiên, số lượng nam sinh ít hơn $2/5$ trong tổng số người tham gia chiến dịch này và trong chiến dịch thứ hai - cũng ít hơn 2/5. Chứng minh rằng trong lớp này nam chiếm ít hơn 4/7 tổng số học sinh nếu biết mỗi học sinh đều đã đi ít nhất một chuyến đi.

6. Hãy để trong chiến dịch thứ $i$ ($i=1,2,\dots,n$) các chàng trai chiếm $\alpha_i$ một phần trong tổng số người tham gia chiến dịch này. Tỷ lệ nam giới lớn nhất tại cuộc họp chung của tất cả khách du lịch (tất cả những người đã tham gia ít nhất một trong các chuyến đi $n$) là bao nhiêu?

M167. Chứng minh rằng trong bất kỳ chương trình số học nào $a, a+d, a+2d,\dots,a+nd,\dots,$ gồm các số tự nhiên, có vô số số hạng được phân tích thành thừa số nguyên tố bao gồm các số nguyên tố giống hệt nhau.

J. Polya

M168. Ở dạng rút gọn thông thường (Hình 1), điểm $K$ là giữa một số cạnh $AB$ của đáy trên, $L$ là giữa một số cạnh $CD$ của đáy dưới.

Chứng minh rằng hình chiếu của các đoạn $AB$ và $CD$ lên đường thẳng $KL$ có ​​độ dài bằng nhau.

G. Nomen

M169. Cho $k<n$ là số tự nhiên. Sắp xếp các số 1, 2, 3, $\dots,n^2$ trong bảng $n \times n$ sao cho trên mỗi hàng các số theo thứ tự tăng dần và tổng các số ở cột $k$ là a) nhỏ nhất; b) nhỏ nhất.

N, B. Vasiliev

39

M170. a) Gọi $M$ và $N$ là điểm tiếp tuyến của đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ trên các cạnh $AB$ và $AC$, $P$ là giao điểm của đường thẳng $MN$ với góc Bissertian $B$. Chứng minh rằng góc $BPC$ là góc vuông.

6. Chứng minh một thực tế tổng quát hơn: nếu điểm $O$ nằm bên trong tam giác $ABC$ sao cho $\angle BOC = \angle BAO = 90^\circ$, $M$ và $N$ là đáy của các đường vuông góc hạ từ điểm $O$ sang các cạnh $AB$ và $AC$, $P$ là giao điểm của các đường thẳng $BO$ và $MN$, sau đó là $\angle BPC = 90^\circ$ (Hình 2).

Cơm. 2.

F180. Một bình lập phương kín có cạnh 1 cm chứa $n$ phân tử khí. Các chồng khối lập phương sao cho các phân tử khí khi va vào tường sẽ ở trên đó trong $10^{-2}$ s. Ước tính có bao nhiêu phân tử khí trên tường.

Bình ở nhiệt độ phòng.

A. A. Borovoy

F181. Một chiếc tàu ngầm đang lặn theo phương thẳng đứng sẽ phát ra các xung âm thanh ngắn của tín hiệu siêu âm có thời lượng $\tau_0$ theo hướng trong ngày. Thời gian phản ánh

Số tín hiệu do thủy âm trên thuyền thay đổi là $\tau$. Tốc độ chìm của thuyền là bao nhiêu?

Tốc độ truyền âm trong nước là $V$. Đáy nằm ngang.

F182. Một quả cầu kim loại được đưa vào một điện trường đều có hướng bằng $E$. Người ta biết rằng mật độ bề mặt điện tích tại “cực” của quả bóng tại điểm $A$ (Hình 3) bằng $\sigma_0$. Xác định mật độ bề mặt của điện tích tại điểm $B$, hướng tính từ tâm

Cơm. 3.

quả bóng tạo một góc $\alpha$ với hướng của điện trường ngoài.

Yu. A. Dreizin

F183. Vệ tinh di chuyển quanh trái đất theo quỹ đạo gần như tròn với tốc độ $v$. Sự thay đổi quỹ đạo của nó là do lực ma sát $F = A \cdot v^\alpha$ tác dụng lên vệ tinh từ phía của vi hạt, trong đó $A$ và $\alpha$ là các hằng số. Tìm $\alpha$ nếu biết bán kính quỹ đạo của vệ tinh thay đổi rất chậm.

F184. Ước tính xem bạn sẽ thấy mình nhảy cao bao nhiêu trên Mặt trăng.

Tôi. Sh. Tiếng Slovodechkiy