Các lựa chọn thi tuyển sinh môn Toán năm 1972

61

CÁC LỰA CHỌN THI ĐẦU VÀO TOÁN NĂM 1972

Đại học quốc gia Moscow mang tên M.V. Lomonosov

Khoa Địa chất tổng hợp, Khoa Địa chất

1. Giải phương trình:
   $$2\cos^2x - 5\sin x - 4 = 0.$$

2. Giải hệ phương trình:
   $$\begin{cases} 2\log_4x + \log_{1/8}y^3 = -1, \\ \log_4x^4 - \log_{1/8}y = 5. \end{cases}$$

3. Từ các điểm $A$ và $B$, nằm cách nhau 50 km, 2 mã dành cho người đi bộ được thêu đồng thời hướng vào nhau. Chúng tôi gặp nhau 5 giờ sau. Sau cuộc họp, tốc độ của người đi bộ đầu tiên đi bộ từ $A$ đến $B$ giảm 1 km/h và tốc độ của người đi bộ thứ hai đi bộ từ $B$ đến $A$ tăng thêm 1 km/h.

Được biết, người đi bộ đầu tiên đến điểm $B$ sớm hơn 2 giờ so với người đi bộ thứ hai đến điểm $A$. Xác định vận tốc ban đầu của người đi bộ đầu tiên.

4. Tìm tất cả các giá trị của $x$ mà bất đẳng thức đúng
   $$\frac{13}{2-x} > x + 4.$$

5. Cho một hình tam giác $ABC$, trong đó $AB=6$ cm, $BC=7$ cm, $AC=5$ cm. Sự phân chia của góc $C$ cắt cạnh $AB$ tại điểm $d$. Xác định diện tích tam giác $AdC$.

6. Một đoàn tàu điện ngầm bao gồm nhiều toa, mỗi toa chở một số lượng hành khách như nhau. Số lượng hành khách trong một toa vượt quá số toa là 9. Khi tại ga có 10 người vào toa thứ 2 và 10 người xuống từ toa còn lại thì số hành khách ở toa thứ 2 hóa ra bằng số hành khách còn lại ở tất cả các toa khác. Hỏi ban đầu mỗi toa xe có bao nhiêu hành khách?

7. Giải phương trình:
   $$3\lg^2x + 7 = \frac{2}{\sin^2x}.$$

8. Tìm tất cả các giá trị của $x$ mà bất đẳng thức sau đúng:
   $$\frac{1}{\sqrt{2-x}} > \frac{1}{x+1}.$$

9. Hình thang $KLMN$ có đáy $KN$ và $LM$ nội tiếp trong một đường tròn có tâm nằm ở đáy $KN$. Đường chéo $KM$ của hình thang là 4 cm và cạnh $KL$ là 3 cm. Xác định độ dài của đáy $LM$.

10. Ba quả bóng chạm vào nhau theo cặp và chạm vào một mặt phẳng nhất định. Các điểm tiếp xúc của các quả bóng với mặt phẳng tạo thành một tam giác vuông có cạnh bằng 3 cm và góc đối diện là 30°. Xác định bán kính của những quả bóng này.