Công, năng lượng, công suất

52

Nếu một lực không đổi $F$ tác dụng lên một vật chuyển động một góc $\alpha$ so với hướng chuyển động $s$ (Hình 1), thì lực này có tác dụng
$$A = F \cdot s \cdot \cos \alpha,$$
(1)

trong đó $F$ và $s$ là mô đun của vectơ $F$ và $s$.

Công của lực bằng tích của các mô hình vectơ lực và độ dịch chuyển của vật thể với cosin của góc giữa chúng.

Chúng ta hãy xem xét chi tiết công thức nổi tiếng này. Nếu góc là $\alpha < \frac{\pi}{2}$ thì $\cos \alpha > 0$ và công do lực thực hiện là dương. Tại $\alpha = \frac{\pi}{2}$, tức là khi lực $F$ vuông góc với độ dịch chuyển của vật $s$, thì công do lực $F$ thực hiện bằng không. (Đặc biệt, công của lực truyền gia tốc hướng tâm cho vật bằng 0. Với chuyển động đều của vật theo đường tròn, lực tác dụng lên nó vuông góc với tốc độ của vật.) Nếu $\alpha > \frac{\pi}{2}$, thì $\cos \alpha < 0$ và công của lực là âm. Chúng ta hãy tìm hiểu điều này có nghĩa là gì.

Hãy lấy một trường hợp đơn giản khi lực $F$ song song với vectơ dịch chuyển của vật. Trong trường hợp này, vật chuyển động với gia tốc $a = \frac{F}{m}$, hướng của vectơ lực đó trùng với hướng của vectơ lực. Nếu hướng của vectơ lực trùng với hướng của vectơ vật thì tốc độ của vật tăng lên và lực $F$ thực hiện công dương. Nếu vectơ lực hướng ngược lại với vectơ dịch chuyển của vật thì gia tốc của vật có hướng ngược với vectơ vận tốc và giá trị hoành độ của tốc độ của vật giảm. Nhưng công của lực trong trường hợp này, như sau từ công thức (1), là âm ($\alpha > \frac{\pi}{2}$ và $\cos \alpha < 0$).

Do đó, tác dụng của lực làm chậm chuyển động của cơ thể là âm, tốc độ của nó giảm đi.

Tích $F \cdot \cos \alpha$ là độ lớn của hình chiếu của vectơ lực lên trục mà vectơ dịch chuyển của vật hướng dọc theo (Hình 1). Do đó, chúng ta có thể nói rằng công của lực $F$ bằng tích của mô đun vectơ dịch chuyển của vật và hình chiếu của vectơ lực $F$ lên trục song song với vectơ dịch chuyển.

Sử dụng công thức này, người ta có thể dễ dàng chứng minh định lý sau.

Định lý 1. Nếu có nhiều lực tác dụng lên một vật thì tổng công do lực này thực hiện bằng tổng công do từng lực thực hiện.

Thật vậy, nếu có nhiều lực $F_1, F_2, F_3, \dots$ tác dụng lên một vật, thì những lực này luôn có thể được thay thế bằng một lực bằng nhau $R = F_1 + F_2 + \dots$. Do đó, tổng công do tất cả các lực thực hiện bằng lực tác dụng:

$$A = R \cdot s \cdot \cos \alpha = s \cdot \text{пр.} R.$$

Vì hình chiếu của vectơ $R$ lên bất kỳ trục nào bằng tổng các hình chiếu

53

trên trục vectơ $F_1, F_2, \dots$, sau đó $A = s$ (ví dụ $F_1 + \text{пр.} F_2 + \dots) = A_1 + A_2 + \dots$.

Đặc biệt, nếu hai lực tác dụng lên một vật, có độ lớn abscillotine bằng nhau và hướng ngược nhau thì công của chúng bằng không. Tuy nhiên, một số lực này thực hiện một số công dương, trong khi những lực khác cũng thực hiện công âm tương đương.

Không khó để chứng minh một định lý khác.

Định lý 2. Nếu viên phấn thực hiện nhiều chuyển động liên tiếp: $s_1, s_2, \dots$, sao cho $s_1 + s_2 + \dots = s$ thì công do lực $F$ thực hiện bằng

$$A = F \cdot s \cdot \cos \alpha,$$

trong đó $\alpha$ là góc giữa các vectơ $F$ và $s$. Lưu ý rằng tích $s \cdot \cos \alpha$ bằng hình chiếu của vectơ dịch chuyển cơ thể lên vectơ lực (Hình 2) (chính xác hơn là hình chiếu của vectơ dịch chuyển cơ thể lên trục song song với vectơ lực). Tổng công do lực $F$ thực hiện bằng

$$A = F \cdot \text{пр.} s_1 + F \cdot \text{пр.} s_2 + \dots$$

Nhưng tổng hình chiếu của vectơ $s_1, s_2, \dots$ lên bất kỳ trục nào cũng bằng hình chiếu của vectơ $s$ lên trục này. Kể từ đây,

$$A = F \cdot \text{пр.} s.$$

Bây giờ chúng ta có thể kết luận: nếu vật chuyển động sao cho tổng độ dịch chuyển của nó bằng 0 (vật thể quay trở lại điểm mà nó bắt đầu chuyển động) và trong quá trình chuyển động, một lực không đổi $F$ tác dụng lên vật, thì công do lực thực hiện bằng không.

Cơm. 2.

Bài tập 1. Chứng minh công của một lực không đổi không phụ thuộc vào quỹ đạo của vật.

Cho dù vật di chuyển từ điểm $A$ đến điểm $B$ như thế nào thì độ dịch chuyển của nó vẫn bằng vectơ $AB$ (Hình 3). Do đó, công do lực thực hiện là $F \cdot AB \cdot \cos \alpha$, trong đó $\alpha$ là góc giữa vectơ $AB$ và $F$. Sản phẩm này không phụ thuộc vào quỹ đạo của cơ thể.

Cho đến nay lực tác dụng lên cơ thể là không đổi. Bây giờ chúng ta xét công của một lực thay đổi. Trong trường hợp này, chúng ta không thể sử dụng công thức (1) nữa. Để xác định công của một lực thay đổi, cần chia mọi chuyển động của vật thành các chuyển động nhỏ sao cho lực tác dụng lên các chuyển động này có thể coi là không đổi. Trên mỗi chuyển vị như vậy $\Delta s_i$ công bằng

$$A_i = F_i \cdot \Delta s_i \cdot \cos \alpha_i.$$

Tổng công bằng tổng công, ta sẽ có kết quả gần đúng. Ví dụ, nếu ở độ dịch chuyển $\Delta s_i$ lực thay đổi 1% (hay nói đúng hơn là không phải lực mà là tích $F \cdot \cos \alpha_i$), thì độ chính xác trong tính toán của chúng ta cũng sẽ là 1%. Nếu chúng ta cần độ chính xác cao hơn thì chuyển động của cơ thể nên được chia thành những chuyển động nhỏ hơn nữa.

Trường hợp có tầm quan trọng thực tiễn là khi vật chuyển động theo đường thẳng và lực tác dụng lên vật thay đổi tùy theo

54

độ lớn tuyệt đối, trong khi hướng của nó luôn không đổi. Ví dụ, giả sử một vật chuyển động từ điểm này sang điểm khác theo đường thẳng và lực F tác dụng lên vật luôn hướng dọc theo đường thẳng này, nhưng thay đổi từ điểm này sang điểm khác như thể hiện trong đồ thị của lực theo tọa độ x (Hình 4). Hãy tìm công do lực này thực hiện. Chia chuyển động của cơ thể thành các phần nhỏ Δx_i. Trong mỗi phần này, lực sẽ được coi là không đổi và bằng một giá trị trung bình nhất định F_i. Khi đó công trên phần Δx_i là

$$A_i \approx F_i \cdot \Delta x_i,$$

tức là bằng diện tích hình chữ nhật tính từ các cạnh F_i và Δx_i. Công dọc theo toàn bộ đường đi rõ ràng bằng tổng diện tích của các hình chữ nhật đó. Vì khi tiết diện Δx_i giảm đi, diện tích của tất cả các hình chữ nhật được tô bóng sẽ có xu hướng bằng diện tích của hình bên dưới biểu đồ lực, rõ ràng là công của lực trong trường hợp này bằng diện tích của hình bên dưới biểu đồ của lực được tô bóng so với tọa độ. Nếu đồ thị này đi xuống dưới trục x thì lực F là âm. Điều này có nghĩa là vectơ lực hướng ngược lại với vectơ dịch chuyển của vật. Công của lực này cũng mang tính âm. Điều này có nghĩa là khi tính công, diện tích của hình lúc này “phía trên đồ thị lực” phải lấy dấu trừ. Theo cách tương tự, công nên được coi là âm nếu đồ thị lực nằm phía trên trục X, nhưng sự thay đổi tọa độ của vật là âm.

Vì vậy, chúng ta biết độ dốc nằm giữa vật thể và điểm dừng (Hình 5) đối với chiều dài Δl. Độ cứng của lò xo k. Cơ thể có thể di chuyển dọc theo mặt phẳng chính mà không bị nứt. Tại thời điểm ban đầu, các đầu của lò xo được tạo bởi một sợi dây. Sau đó, sợi chỉ bị chèn ép. Lực lò xo thực hiện bao nhiêu công cho đến khi nó đi qua vị trí “cân bằng” mà tại đó lò xo không bị biến dạng?

Tính công do lực lò xo thực hiện tại thời điểm viên phấn ở bên phải vị trí cân bằng và cách nó một khoảng Δl₁.

Chúng ta hãy vẽ đồ thị biểu thị độ sáng của lực lò xo từ vị trí của vật (tọa độ x của nó) trong hệ tọa độ, gốc của nó trùng với vị trí của vật tại thời điểm lò xo không bị biến dạng và hướng của trục OX trùng với hướng chuyển động của vật sau khi sợi chỉ bị đốt cháy (Hình 6). Sức mạnh

55

Độ đàn hồi của áp suất tỷ lệ thuận với biến dạng của áp suất:

$$F = -kx.$$

Khi tọa độ của vật âm thì lực là dương và ngược lại.

Công $A_1$ được thực hiện bởi lực đàn hồi tác dụng lên thời điểm vật ở vị trí cân bằng bằng diện tích $S_1$ của tam giác hồng

$$A_1 = \frac{k\Delta l \cdot \Delta l}{2} = k \frac{(\Delta l)^2}{2}.$$

Với chuyển động tiếp theo của cơ thể, hướng của lực đàn hồi ngược với hướng chuyển động của cơ thể; công việc là tiêu cực. Để tìm công do lực đàn hồi thực hiện tại thời điểm tọa độ của vật bằng $\Delta l_1$, bạn cần trừ diện tích của tam giác xanh khỏi mặt phẳng của tam giác hồng:

$$A_2 = k \frac{(\Delta l)^2}{2} - k \frac{(\Delta l_1)^2}{2}.$$

Tại $\Delta l = \Delta l_1$ $A_2 = 0$.

Bây giờ chúng ta hãy xem xét một sợi tóc khác - trạng thái chuyển động của cơ thể thay đổi như thế nào nếu nó bị tác dụng bởi một lực $F$ đã thực hiện công $A$. Chúng ta sẽ giả sử rằng nó chuyển động thẳng và lực $F$ hướng dọc theo đường chuyển động của vật. Nếu độ dịch chuyển của vật là $s$ thì

$$A = F \cdot s.$$

Lực $F$ truyền gia tốc $a = \frac{F}{m}$ cho cơ thể, trong đó $m$ là khối lượng của cơ thể. Đó là lý do tại sao

$$A = mas.$$

Nhưng như chúng ta biết từ động học, $as = \frac{v^2 - v_0^2}{2}$, trong đó $v_0$ là vận tốc ban đầu và $v$ là vận tốc cuối cùng của vật. Kể từ đây,

$$A = \frac{m(v^2 - v_0^2)}{2} = \frac{mv^2}{2} - \frac{mv_0^2}{2}.$$

Đại lượng $\frac{mv^2}{2}$ là động năng của vật. Vì thế công việc

lực $F$ bằng độ biến thiên động năng của vật.

Bài tập 3. Trên viên phấn mô tả ở bài toán trước, ngoài lực đàn hồi còn có lực ma sát của vật lên mặt phẳng. Khối lượng của vật là $m$, hệ số ma sát của vật trên mặt phẳng là $f$. Trong trường hợp này, độ lệch tối đa của vật $\Delta l_1$ so với vị trí mà áp suất không cách nhau là bao nhiêu?

Tại thời điểm tọa độ của cơ thể là $x = \Delta l_1$, tốc độ của cơ thể bằng 0, giống như thời điểm cơ thể chuyển động ban đầu. Do đó, cả độ biến thiên động năng của vật và công của các lực tác dụng lên vật đều bằng không.

Lực đàn hồi của bề mặt hoạt động

$$A_1 = \frac{k(\Delta l)^2}{2} - \frac{k(\Delta l_1)^2}{2},$$

và lực ma sát là công

$$A_2 = -mgf(\Delta l + \Delta l_1).$$

(Công của lực này là âm vì nó hướng vào sự chuyển động của cơ thể.) Do đó

$$\frac{k(\Delta l)^2}{2} - \frac{k(\Delta l_1)^2}{2} - mgf(\Delta l + \Delta l_1) = 0,$$

hoặc

$$\frac{k}{2}(\Delta l + \Delta l_1)(\Delta l - \Delta l_1) = mgf(\Delta l + \Delta l_1),$$

từ đây

$$\Delta l_1 = \Delta l - \frac{2mgf}{k}.$$

Từ trước đến nay, khi nói về công việc, chúng ta đều nhấn mạnh đó là công việc của vũ lực. Nhưng, như chúng ta đã biết, lực tác động lên một vật thể này từ một vật thể khác. Vì vậy, thay vì nói về công của một lực, chúng ta có thể nói về công của một vật tác dụng lên một vật chuyển động với một lực cho trước, hay đơn giản là về công của một vật.

Một vật chuyển động có thể thực hiện công, ví dụ như nâng một vật khác. Trong trường hợp này, tốc độ chuyển động của cơ thể và động năng của nó

57

Vì vậy, công mà một vật có thể thực hiện, ban đầu đứng yên, bằng độ biến thiên thế năng của nó. Nếu vật $M_1$ chỉ tương tác với vật $M_2$, tức là nó chỉ chuyển động dưới tác dụng của lực $F$, thì thế năng của nó giảm, tức là khả năng thực hiện công của nó giảm. Nhưng trong trường hợp này, động năng của vật tăng lên, và độ biến thiên của động năng bằng công thực hiện bởi lực $F$, và độ biến thiên của thế năng cũng bằng công thực hiện bởi lực $F$, nhưng nó âm.

Điều này có nghĩa là độ biến thiên của thế năng có độ lớn bằng độ biến thiên của động năng, vì tổng của chúng luôn không đổi.

Chúng ta đã đi đến một kết luận rất quan trọng - định luật bảo toàn cơ năng của một hệ cô lập. Bị cô lập, vì điều quan trọng đối với chúng tôi là cơ thể $M_1$ không bị ảnh hưởng bởi các cơ thể khác ngoại trừ cơ thể $M_2$, nghĩa là các cơ thể $M_1$ và $M_2$ tạo thành một hệ cô lập. Nếu các lực bên ngoài nó tác dụng lên một hệ cho trước thì tổng năng lượng của hệ sẽ thay đổi theo lượng công do các lực này thực hiện.

Bây giờ chúng ta hãy giải một số bài toán.

Bài 4. Ném một sợi dây qua một khối sao cho hai đầu sợi dây có cùng độ cao om

Cơm. 8.

Sau đó khối tiếp theo và sợi dây bắt đầu rút ngắn khỏi khối dưới tác dụng của lực giữa chúng. Lúc này sợi dây sẽ có tốc độ bao nhiêu khi nó hòa hoàn toàn vào vật? Chiều dài dây $l$, khối lượng $m$.

Tại thời điểm ban đầu khối lượng của sợi dây cách vật $\frac{l}{4}$. Tại thời điểm sợi dây cắt đứt khối, khối tâm của nó sẽ cách khối một khoảng $\frac{l}{2}$. Trong trường hợp này, thế năng của hệ dây-Trái đất sẽ thay đổi theo các giá trị sau:

$$mg \left( \frac{l}{2} - \frac{l}{4} \right) = mg \frac{l}{4}.$$

Từ định luật bảo toàn năng lượng suy ra rằng

$$mg \frac{l}{4} = \frac{mv^2}{2}.$$

Từ đây

$$v = \sqrt{\frac{gl}{2}}.$$

Nhiệm vụ 5. Buộc $F$ nâng vật nặng $m$ lên độ cao $H$. Lực này thực hiện công gì? Thế năng của vật thay đổi như thế nào?

Công do lực $F$ thực hiện bằng $F \cdot H$, và độ biến thiên thế năng là mg$H$, m là khối lượng của vật. Sự khác biệt $FH - mgH$ đã làm tăng động năng của cơ thể.

Bài tập 6. Máy bơm cần có công suất bao nhiêu để mô-đun chuyển Q lít nước trong 1 giây từ giếng, độ sâu h, trên bề mặt trái đất? Khu vực thứ hai gồ ghề, qua đó nước được ném vào, s.

Nước phải có tốc độ $v = \frac{Q}{s}$ trong đường ống. Điều này có nghĩa là máy bơm, trong thời gian $t$, phải thực hiện công bằng với độ biến thiên thế năng của khối nước $m = Q\rho t$:

$$\Delta W_\pi = mgh$$

(ρ là mật độ của nước) và sự thay đổi

58

ee động năng

$$\Delta W_K = \frac{mv^2}{2};$$

$$A = \frac{mv^2}{2} + mgh = \frac{Q^3\rho t}{2s^2} + Q\rho tgh.$$

Công suất của bơm bằng công thực hiện được trong 1 giây:

$$N = \frac{A}{t} = \frac{Q^3\rho}{2s^2} + Q\rho gh.$$

Năng lượng, giống như công, phụ thuộc vào việc lựa chọn hệ tọa độ. Điều này là tự nhiên - xét cho cùng, cả tốc độ của vật thể và độ dịch chuyển của nó đều phụ thuộc vào hệ tọa độ.

Cuối cùng chúng ta hãy giải bài toán, trong đó tồn tại sự lựa chọn hệ tọa độ.

Bài toán 7. Hai điện tích q có độ lớn và ý nghĩa bằng nhau nằm cách nhau một khoảng R. Các điện tích này có thể tiếp cận nhau ở khoảng cách tối thiểu bao nhiêu nếu tại thời điểm ban đầu o một trong các điện tích tích tụ và điện tích kia chuyển động về phía nó với vận tốc v?

Thông thường, bài toán này được quyết định sử dụng hệ tọa độ liên quan đến điện tích tích lũy ban đầu. Trong hệ tọa độ này, năng lượng của hệ ban đầu bằng tổng thế năng $W_\pi = \frac{q^2}{R}$ và động năng của chuyển động tích điện $\frac{mv^2}{2}$

$$W = \frac{q^2}{R} + \frac{mv^2}{2}.$$

Tại thời điểm các điện tích ở khoảng cách tối thiểu với nhau, chúng đứng yên trong hệ tọa độ này và năng lượng của hệ bằng thế năng $\frac{q^2}{r}$. Từ định luật bảo toàn năng lượng suy ra rằng

$$\frac{q^2}{r} = \frac{q^2}{R} + \frac{mv^2}{2},$$

từ đây

$$r = \frac{1}{1 + \frac{mv^2R}{2q^2}}.$$

Tuy nhiên, lời giải này không chính xác.

Hệ tọa độ liên quan đến điện tích chuyển động không đều là hệ không quán tính. Nó không thể sử dụng một hệ tọa độ cố định. Ở đây, tại thời điểm ban đầu, các điện tích có tốc độ

$$v_1 = 0 \text{ и } v_2 = v,$$

và năng lượng của hệ thống là

$$\frac{q^2}{R} + \frac{mv^2}{2} = \frac{q^2}{R} + \frac{mv^2}{2}.$$

Từ định luật bảo toàn động lượng, tại thời điểm khi khoảng cách giữa các điện tích là nhỏ nhất thì cả hai điện tích đều chuyển động với cùng tốc độ, bằng $\frac{v}{2}$. Năng lượng của hệ thống là

$$\frac{q^2}{r} + \frac{m\left(\frac{v}{2}\right)^2}{2} + \frac{m\left(\frac{v}{2}\right)^2}{2} = \frac{q^2}{r} + \frac{mv^2}{4}.$$

Từ định luật bảo toàn năng lượng ta tìm được:

$$r = \frac{1}{1 + \frac{mv^2R}{4q^2}}.$$

Ở bên phải

1. Bánh xe lăn không bị thủng với vận tốc v. Tìm động năng của bánh xe này. Khối lượng của bánh xe là m.
2. Một quả cầu có bán kính r = 15 mm, khối lượng m = 5 e được nhúng chìm trong nước ở độ sâu h = 30 cm. Khi thả quả bóng ra, nó nhảy lên khỏi mặt nước đến độ cao h_1 = 10cm. Phần cơ năng nào của quả bóng đã chuyển thành nhiệt do ma sát của quả bóng với nước?
3. Sử dụng định luật bảo toàn năng lượng, hãy tìm vận tốc dòng chất lỏng từ lỗ y ở đáy bình nếu mực chất lỏng ở độ cao h tính từ đáy bình.