Работа, энергия, мощность

52

Если на движущемся тело действует постоянная сила $F$ под углом $\alpha$ к направлению перемещения $s$ (рис. 1), то эта сила совершает работу
$$A = F \cdot s \cdot \cos \alpha,$$
(1)

где $F$ и $s$ — модили векторов $F$ и $s$.

Работа силы равна произведению modелей векторов силы и перемещения тела на косинус угла между ними.

Рассмотрим подробно эту хорошо известную формулу. Если угол $\alpha < \frac{\pi}{2}$, то $\cos \alpha > 0$ и работа силы положительная. При $\alpha = \frac{\pi}{2}$, то есть когда сила $F$ перpendicularна перемещению тела $s$, работа, совершенная силой $F$, равна нулю. (В частности, равна нулю работа силы, сообщаюшей телу центростремительноеускорение. При равномерном движении тела по окружности сила, действующая на него, perpendicularна скорости тела.) Если $\alpha > \frac{\pi}{2}$, то $\cos \alpha < 0$ и работа силы отрицательна. Разберемся, что это означает.

Возьемем простой случай, когда сила $F$ параллельна вектору перемещения тела. В этом случае тело движется сускорением $a = \frac{F}{m}$, направление которого совпадает с направлением вектора силы. Если направление вектора силы совпадает с направлением вектора тела, то скорость тела увеличивается, а сила $F$ совершает положительное работу. Если же вектор силы направлен противоположно вектору перемещения тела, тоускорение тела направлено противоположно вектору скорости и абсциссное значение скорости тела уменьшается. Но работа силы в этом случае, как следует из формулы (1), отрицательна ($\alpha > \frac{\pi}{2}$ и $\cos \alpha < 0$).

Следовательно, отрицательна работа той силы, которая тормозит движение тела, уменьшается его скорость.

Произведение $F \cdot \cos \alpha$ — это величины проекции вектора силы на ось, вдоль которой направлен вектор перемещения тела (рис. 1). Поэтому можно сказать, что работа силы $F$ равна произведению modуля вектора перемещения тела и проекции вектора силы $F$ на ось, параллельную вектору перемещения.

Воспользовавшись этой формулировкой, можно легко доказать следующую теорему.

Теорема 1. Если на тело действует несколько сил, то полная работа, совершенная этим силы, равна сумме работы, совершенных отдельными силами.

Действительно, если на тело действует несколько сил $F_1, F_2, F_3, \dots$, то эти силы можно всегда заменить их равной действующей $R = F_1 + F_2 + \dots$. Поэтому общая работа всех сил равна равной действующей:

$$A = R \cdot s \cdot \cos \alpha = s \cdot \text{пр.} R.$$

Так как проекция вектора $R$ на любую ось равна сумме проекций

53

на эту ось векторов $F_1, F_2, \dots$, то $A = s$ (пр. $F_1 + \text{пр.} F_2 + \dots) = A_1 + A_2 + \dots$.

В частности, если на тело действуют две силы, равные по абсцилотной величины и направленные в противоположные стороны, то их работа равна нулю. Однако из этих сил совершает неокоторую положительное работу, другая — такую же отрицательную.

Нетрудно доказать еще одну теорему.

Теорема 2. Если мело совершает последовательное несколько перемещений: $s_1, s_2, \dots$, так что $s_1 + s_2 + \dots = s$, то работа силы $F$ равна

$$A = F \cdot s \cdot \cos \alpha,$$

где $\alpha$ — угол между векторами $F$ и $s$. Заметим, что произведение $s \cdot \cos \alpha$ равно проекции вектора перемещения тела на вектор силы (рис. 2) (правильнее сказаать — проекции вектора перемещения тела на ось, параллельную вектору силы). Полная работа, совершенная силой $F$, равна

$$A = F \cdot \text{пр.} s_1 + F \cdot \text{пр.} s_2 + \dots$$

Но сумма проекций векторов $s_1, s_2, \dots$ на любую ось равна проекции на эту ось вектора $s$. Следовательно,

$$A = F \cdot \text{пр.} s.$$

Теперь мы можем сделать вывод: если тело движалось так, что его полное перемещение равно нулю (тело вернулось в ту же точку, из которой начало движется) и во время движения на тело действовала постоянная сила $F$, то работа силы равна нулю.

Рис. 2.

Задча 1. Доказать, что работа постоянной силы не зависит от траектории тела.

Как бы ни движалось тело от точки $A$ к точке $B$, его перемещение равно вектору $AB$ (рис. 3). Следовательно, работа силы $F \cdot AB \cdot \cos \alpha$, где $\alpha$ — угол между векторами $AB$ и $F$. Это произведение не зависит от траектории тела.

До сих пор сила, действующая на тело, была постоянна. Рассмотрим теперь работу переменной силы. В этом случае мы уже не можем воспользоваться формулой (1). Для того чтобы определить работу переменной силы, нужно разбить все движения тела на малые перемещения, такие, чтобы силу на этих перемещениях можно было считать постоянной. На каждом из таких перемещений $\Delta s_i$ работа равна

$$A_i = F_i \cdot \Delta s_i \cdot \cos \alpha_i.$$

Полная работа равна сумме работы мы получим приближенный результат. Если, скажем, на перемещении $\Delta s_i$ сила меняется на 1% (вернее, не сила, а произведение $F \cdot \cos \alpha_i$), то точность наших вычислений тоже будет составлять 1%. Если нам нужна большая точность, то движение тела следует разбить на еще меньше перемещения.

Практические важен случай, когда тело движется прямолинейно, а сила, действующая на тело, меняется по

54

абсолотной величины, в то время как ее направление остается все время одним и тем же. Пусть, например, тело перемещается из одной точки в другую по прямой, а сила F, действующая на тело, направлена всегда вдоль этой прямой, но меняется от точки к точке так, как показано на графике зависимости силы от координаты x (рис. 4). Найдем работу этой силы. Разобъем движение тела на маленькие участки Δx_i. На каждом из таких участков силу будем считать постоянной и равной неокоторому среднему значению F_i. Тогда работа на участке Δx_i —

$$A_i \approx F_i \cdot \Delta x_i,$$

то есть равна площади прямоугольника со стороны F_i и Δx_i. Работа на всем пути, очевидно, равна сумме площадей таких прямоугольников. Так как при уменьшении участков Δx_i площадь всех заштрихованных прямоугольников будет стремиться к площади фигуры под графиком силы, то ясно, что работа силы равна в данном случае площади фигуры под графиком заштрихости силы от координаты. Если этот график проходит ниже оси X, сила F отрицательна. Это означает, что вектор силы направлен противоположно вектору перемещения тела. Отрицательна и работа этой силы. Значит, при вычислении работы площадь фигуры теперь уже «над графиком силы» нужно взять со знаком минус. Точно так же работа нужно считать отрицательной, если график силы лежит выше оси X, но изменение координаты тела отрицательно.

Итак, мы знаем, как находится между телом и упором (рис. 5), ската на длину Δl. Жесткость пружины k. Тело может без трещия dwizaется по главной плоскости. В начальной момент концы пружины создают нитью. Затем нить пережимает. Какую работу совершаем сила пружости пружины к тому моменту, когда мело проходит положение «равновесия», при котором пружина не деформирована?

Какую работу совершаем сила пружости к моменту, когда мело оказается справа от положения равновесия на расстоянии Δl₁ от него.

Нарисуем график заштрихости силы пружости пружины от положения тела (его координаты x) в системе координат, начало которого совпадает с положением тела в тот момент, когда пружина не деформирована, а направление оси OX совпадает с направлением движения тела после пережигания нити (рис. 6). Сила

55

упругости прижны пропорциональна деформация прижны:

$$F = -kx.$$

Когда координата тела отрицательна, сила положительная, и наоборот.

Работа $A_1$, совершенная силой упругости прижны к тому моменту, когда тело оказывается в положении равновесия, равна площади $S_1$ розового треугольника

$$A_1 = \frac{k\Delta l \cdot \Delta l}{2} = k \frac{(\Delta l)^2}{2}.$$

При дальнейшем движении тела направление силы упругости прижны противоположно направлению движения тела; работа отрицательна. Чтобы найти работу силы упругости к моменту, когда координата тела становится равной $\Delta l_1$, нужно из плоскости розового треугольника вычесть площадь синего:

$$A_2 = k \frac{(\Delta l)^2}{2} - k \frac{(\Delta l_1)^2}{2}.$$

При $\Delta l = \Delta l_1$ $A_2 = 0$.

Рассмотрим теперь другой волос — как меняется состояние движения тела, если на него действует сила $F$, совершшая работа $A$. Будем считать, что движется прямолинейно и сила $F$ направлена вдоль линии движения тела. Если перемещение тела равно $s$, то

$$A = F \cdot s.$$

Сила $F$ сообщает телуускорение $a = \frac{F}{m}$, где $m$ — масса тела. Поэтому

$$A = mas.$$

Но как мы знаем из кинематики, $as = \frac{v^2 - v_0^2}{2}$, где $v_0$ — начальная, а $v$ — конечная скорости тела. Следовательно,

$$A = \frac{m(v^2 - v_0^2)}{2} = \frac{mv^2}{2} - \frac{mv_0^2}{2}.$$

Величина $\frac{mv^2}{2}$ — это кинетическая энергия тела. Следовательно, работа

силья $F$ равна изменению кинетической энергии тела.

Задание 3. На мело, описанное в предыдущей задаче, кроме силы упругости действует еще сила трения тела о плоскость. Масса тела равна $m$, коэффициент трения тела о плоскость равен $f$. Каким в этом случае будет максимальное отклонение тела $\Delta l_1$ от положения, при котором прижна не расстояния?

В тот момент, когда координата тела $x = \Delta l_1$, скорость тела равна нулю, так же как и в начальной момент движения тела. Следовательно, равно нулю и изменение кинетической энергии тела, и работа сил, действующих на тело.

Сила упругости прижны совершает работу

$$A_1 = \frac{k(\Delta l)^2}{2} - \frac{k(\Delta l_1)^2}{2},$$

а сила трения — работа

$$A_2 = -mgf(\Delta l + \Delta l_1).$$

(Работа этой силы отрицательна, так как она направлена против движения тела.) Поэтому

$$\frac{k(\Delta l)^2}{2} - \frac{k(\Delta l_1)^2}{2} - mgf(\Delta l + \Delta l_1) = 0,$$

или

$$\frac{k}{2}(\Delta l + \Delta l_1)(\Delta l - \Delta l_1) = mgf(\Delta l + \Delta l_1),$$

отсюда

$$\Delta l_1 = \Delta l - \frac{2mgf}{k}.$$

Do схх пор, говоря о работе, мы подчеркивали, что это работа силы. Но, как мы знаем, сила действует на данное тело со стороны другого тела. Поэтому вместе того, чтобы говорить о работе силы, можно говорить о работе тела, действующего на движущей тело с данной силой, или просто о работе тела.

Движущее тело может совершать работу, например, поднимать другое тело. При этом скорость движения тела и его кинетическая энергия

57

Итак, работа, которую может совершить тело, вначале неодвижное, равна изменению его потенциальной энергии. Если тело $M_1$ взаимодействует только с телом $M_2$, то есть движется только под действием силы $F$, то его потенциальная энергия уменьшается, то есть уменьшается его возможность совершить работу. Зато в этом случае увеличивается кинетическая энергия тела, причем изменение кинетической энергии равно работе силы $F$, а изменение потенциальной энергии тоже равно работе силы $F$, но оно отрицательно.

Это означает, что изменение потенциальной энергии равно по величины изменению кинетической энергии, как что их сумма остается все время построенной.

Мы пришли к очень важному выводу — к закону сохранения механической энергии изолированной системы. Изолированной, так как нам было важно, чтобы на тело $M_1$ не действовали другие тела, кроме тела $M_2$, то есть чтобы тела $M_1$ и $M_2$ составляли изолированную систему. Если на данной системе действуют внешние по отношению к ней силы, то полная энергия системы меняется на величины работы этих сил.

Решим теперь несколько задач.

Задание 4. Веревка перекинума через блок, как что концы веревки находятся на одинаковой высоте om

Рис. 8.

Затем блок следующим и веревка начинаем сокращивать с блока под действием силы между them. Какую скорость будет иметь веревка в том момент, когда она полностью слиет с блока? Длина веревки $l$, масса $m$.

В начальной момент масс веревки находится $\frac{l}{4}$ от блока. В тот момент, когда веревка сокращает с блока, ее центр масс будет находиться на расстоянии $\frac{l}{2}$ от блока. При этом потенциальная энергия системы веревка — Земля изменится на величины

$$mg \left( \frac{l}{2} - \frac{l}{4} \right) = mg \frac{l}{4}.$$

Из закона сохранения энергии следует, что

$$mg \frac{l}{4} = \frac{mv^2}{2}.$$

Отсюда

$$v = \sqrt{\frac{gl}{2}}.$$

Задание 5. Сила $F$ поднимаем груз массы $m$ на высоту $H$. Какую работу совершаем эта сила? Как меняется потенциальная энергия тела?

Работы силы $F$ равна $F \cdot H$, а изменение потенциальной энергии — величины mg$H$, m — масса тела. Разница $FH - mgH$ пошла на увеличение кинетической энергии тела.

Задание 6. Какую мощность должна насос для модуля перекинума Q литров воды за 1 секунду из колодца, глубина которой h, на поверхности земли? Площадь секунды грубы, через коморую перекинума вода, s.

Вода должна иметь в трубе скорость $v = \frac{Q}{s}$. Это означает, что насос должен за время $t$ совершить работу, равную изменению потенциальной энергии массы воды $m = Q\rho t$:

$$\Delta W_\pi = mgh$$

(ρ — плотность воды) и изменению

58

ee кинетическая энергия

$$\Delta W_K = \frac{mv^2}{2};$$

$$A = \frac{mv^2}{2} + mgh = \frac{Q^3\rho t}{2s^2} + Q\rho tgh.$$

Мощность насoca равна работе, которую он совершает за 1 секунд:

$$N = \frac{A}{t} = \frac{Q^3\rho}{2s^2} + Q\rho gh.$$

Энергия, так же как и работа, зависит от выбор системы координат. Это естественно — ведь от системы координат зависит как скорость тела, так и его перемещение.

Решим в заключение задачу, в котором выбор системы координат существует.

Задача 7. Два одинаковых по величины и значу заряда q находятся на расстоянии R друг от друга. На какое минимальное расстояние r может сблизиться эти заряды, если в начальной момент odин из зарядов покопится, а другой движется ему навстречу со скоростью v?

Часто эту задачу решают, пользоваться системой координат, связанной с зарядом, который вначале покопился. В этой системе координат энергия системы вначале равна сумме ее потенциальной энергии $W_\pi = \frac{q^2}{R}$ и кинетической энергии движения заряда $\frac{mv^2}{2}$

$$W = \frac{q^2}{R} + \frac{mv^2}{2}.$$

В тот момент, когда заряды находимся на минимальном расстоянии друг от друга, они в этой системе координат неподвижны и энергия системы равна ее потенциальной энергии $\frac{q^2}{r}$. Из закона сохранения энергии следует, что

$$\frac{q^2}{r} = \frac{q^2}{R} + \frac{mv^2}{2},$$

отсюда

$$r = \frac{1}{1 + \frac{mv^2R}{2q^2}}.$$

Однако, это решение неверное.

Система координат, связанная с движущимся неравномерно зарядом, неинерциональна. В ней нельзя пользоваться неоподвижной системой координат. Здесь в начальной момент заряды имеют скорости

$$v_1 = 0 \text{ и } v_2 = v,$$

а энергия системы равна

$$\frac{q^2}{R} + \frac{mv^2}{2} = \frac{q^2}{R} + \frac{mv^2}{2}.$$

Из закона сохранения импульса следует, что в тот момент когда расстояние между зарядами минимально, оба заряда движутся с одинаковыми скоростями, равны $\frac{v}{2}$. Энергия системы равна

$$\frac{q^2}{r} + \frac{m\left(\frac{v}{2}\right)^2}{2} + \frac{m\left(\frac{v}{2}\right)^2}{2} = \frac{q^2}{r} + \frac{mv^2}{4}.$$

Из закона сохранения энергии найдем:

$$r = \frac{1}{1 + \frac{mv^2R}{4q^2}}.$$

У праванения

1. Колесо катится без прокалывания со скоростью v. Найти кинетическое энергию этого колеса. Масса колеса равна m.
2. Шарик радиуса r = 15 мм и массой m = 5 e погружен в воду на глубину h = 30 cm. Когда шарик отпустил, он выпрыгнул из воды на высоту h_1 = 10 cm. Какая часть механической энергии шарика перешла в тепло из-за треня шарика о воду?
3. Найти, вопользовавшись законом сохранения энергии, скорость истечения жидкости из отверстия y дна сосуда, если уровень жидкости на высоте h от дна.