Закон Джоуля—Ленца

10

ЗАКОН ДЖОУЛЯ-ЛЕНЦА

В. А. Фабрикант

Нагревание проводника при прохождения электрического тока — один из наиболее привязываемых эффектов. Однако более внимательный анализ механизма возникновения джоулева тела показывает, что здесь далеко не все так просто.

В статье рассматривается явление, связанные с эффектом Джоуля—Ленца. В плазме электрического разряда в газах могут существовать в одном и том же объеме две температуры, отлично специфизируется в сотни раз. Такая плазма представляет собой как бы смесь двух газов с резко различимся температурами. Эти температуры не могут стать равными из-за того, что электрическое поле нагревается только один из газов и между газами имеет надежная «шуба».

Инженер, расчитывающий линейную дальней электриопередачи, и инженер, создавший мощную электрипечь, имеют диаметрально противоложные точки зрения на джоулево телло, выделяющиеся в проводнике при прохождения тока. Для первого этого — вредный эффект, заставляющий повышать напряжение и мечтать о сверхпроводящем кабеле; для второго — полезный эффект, позволяющий решать трудные технические проблемы. Однако она они согласно, что эффект этот весна важный.

Закон, по которым проводник нагревается электрическим током, был впервые экспериментально установлен в 1841—42 гг. английским физиком Джеймсом Джоулем и, независимо от него, несколько позднее (в 1842—43 гг.), но с гориздо большей точностью —петербургским академиком Эмилием Христановичем Ленцем.

Начав исследовать выделение тела при прохождения тока, Джоульувлекся более общей проблему — преобразование энергии. В частности, он занялся преобразованиям работы в телло, использую в качестве промежутного звена электрической ток *).

Для первых опытов Джоуля сделал довольно простой прибор, состоящий из стеклянной банки, наполненной водой, в которой опускалась стеклянная трубка с навитым на нее проводником и с термометром для измерения температуры воды. Источник электривищей силы службы батарея галванических элементов. Измерялось повышение температуры воды за определенный промежуток времени при прохождения тока.

Установив основные закономерности нагревания проводника при прохождения тока, Джоуль приSEL к мысли, что этот эффект возникнет за счет теплопроводности. Согласно его гипотезе, телло, выделяющее в галванической батарее,следствие теплопроводности распространется вдоль проводника и нагревает его.

*) Попутно Джоуль приSEL к выводу, что электрические моторы не смогут конкурировать с паровыми машинами из-за дороговизны получения электрического тока! Вывод для середины XIX века вполне обоснованный.

11

Для проверки этой гипотезы Джоуль построил города более сложный прибор. Вместо галванической батареи в этом приборе для получения тока использовался индукционный генератор со статером в виде мощного электромагнитта, между полюсами которого врашался в состоянии с водой ротор. Измерялся нагрев воды при замкнутой и разомкнутой обмотке ротора. Разность этих нагревов, очень high, вызвалась тепловым действием тока, индуцированного в обмотке ротора. Джоуль убедился в ошибочности своей гипотезы о роли теплопроводности и приSEL к правильному источок явления нагревании проводников *).

Установление точного закона выделения тепла при прохождения электрического тока было далеко не простой экспериментальной задачей для физика первого половины XIX века. Э. Х. Ленц подошел к решению этой задачи с большой тщательностью как первоклассный экспериментатор. Он начал с создания новых измерительных приборов и их калибровки, что потребовал много труда.

В частности, для измерения тока он построил так называемый мультитипикатор — прибор, в котором измеряемый ток проходит сквозь неподвижную обмотку, состоящую из нескольких витков провода. В центре обмотки подвешена магнитная стрелка. Поворот стрелки связан с величиной проходящero сквозь обмотку тока. До мультитипикторов применялись приборы с обмоткой, состоящей из одного витка. Ясно, что чувствуетность мультитипикатов была гораздо выше.

Неприятным свойством мультитипикатов было то, что магнитная стрелка около положения равновесия

*) Нагревание воды при врашении ротора с разомкнутой обмоткой явно натолкнуло Джоуля на идею его знаменного прибора для определения механического эkvивалента теплоты. Обыты Джоуля с этим прибором сыгры большую роль в обосновании закона сохранения энергии. Поэтому единiza энергии волне заслужено носит его имя.

13

Роль законов сохранения

Во внешне гладком выводе формулы Джоуля — Ленца есть не очень понятное место. Почему электрон при стольновении отдает atomу энергию, как раз равную дополнительной энергии, прибретенной в электрическом поле?

Рассмотрим этот вопроснее.

При решении любой физической задачи надо помнить о строих законах сохранения. Согласно законам сохранения импульса и энергии электрон при стольновении должен отдавать atomу волне определенную долю своей кинетической энергии. Нясно,почему эта доля полной кинетической энергии электрона должна быть как раз равна дополнительной энергии электрона, прибретенной в электрическом поле.

Будем считать, что электrons и atoms сталькиются как упругие шарики.

Подсчитаем, какую долю полной кинетической энергии должен отдать электрон atomу при центральномудре (рис. 2, а).

Пусть до стольновения электрон движется со скоростью $v$, а atom поконтся. Обозначим скорость электрона после стольновения $v_1$, скорость atoma $V_1$. Тогда по закону сохранения импульса:

$$mv = mv_1 + MV_1,$$

(6)

До стольновения После стольновия

Рис. 2.

а по закону сохранения энергии:

$$\frac{mv^2}{2} = \frac{mv_1^2}{2} + \frac{MV_1^2}{2}.$$

(7)

Из этих двух уравнений получаем:

$$\frac{MV_1^2}{2} = \frac{4Mm}{(m+M)^2} \cdot \frac{mv^2}{2}.$$

(8)

Так как $M \gg m$, в знаменатель можно пребречь $m$ по сравнению с $M$. Тогда:

$$\frac{MV_1^2}{2} = \frac{4m}{M} \frac{mv^2}{2}.$$

(9)

При нецентральных ударах (рис. 2, б) atom будет получать меньше долю начальной энергии электрона. При пролете электрона по касательной к «поверхности».atoma (рис. 2, с) передаваемая энергия будет равна нулю. Средняя доля энергии определяется как получма максимальной доли и нуля, иными словами, она равна половине максимальной доли. Итак, средняя энергия, получаемая atomами от электронов при каждой стольновении, равна

$$\frac{MV^2}{2} = \frac{2m}{M} \frac{mv^2}{2}.$$

(10)

Так как $m/M$ порядка $10^{-3}$ — $10^{-5}$, электрон может отдать atomу только ничтожную часть своей стольновения. Это и создает своеобразную «шубу», преляетсяушую обмену энергий между электронами и atomами.

Из обратности упругих стольновений во время следует, что atom, налетящий на электрон, может отдать электрону только такую же малую часть своей начальной кинетической энергии. Нетрудно в этом убедиться примым расчетом.

Другой способ вычисления джоуля тела

В проводнике движется не только свободные электrons, но и atoms, совершающиеxaотическая колбания около свих положений равновесия.

14

Позному надо рассматривать столковенная между двумя коллективами движущихся частиц.

При одних столковениях электроны отделяют часть своей энергии atomам, при других, наоборот, atoms отделют часть своей энергии электронам. Благодаря действию электрического поля электроны все время «подогреватся», получая дополнительную энергию. В результате электронный газ имеет несколько более высокую температуру $T_e$, чем температура atomов $T_a$. Позному, в среднем, электроны отделют atomам большешую энергию, чем получают от них.

Как уже было показано, при каждом столковении электрон может отделить $2\frac{m}{M}$ своей кинетической энергии. То же относится и к atomам.

Воспользовемся обычным выражением средней энергии частицы через температуру. Тогда

$$\frac{mv^2}{2} = \frac{3}{2} kT_e,$$

$$\frac{MV^2}{2} = \frac{3}{2} kT_a.$$

Поток энергии, определяющий нагрев atomов, равен разности двух потоков энергии — потока, текущего от электронов к atomам, и потока от atomов к электронам. Ясно, что этот результатруший поток энергии должен быть пропорциональен числу столковенной электронов с atomами $\frac{N}{\tau}$, коэффициент передачи энергии $2\frac{m}{M}$ и разности средних энергий электронов и atomов $\frac{3}{2} k(T_e - T_a)$.

Строгий расчет показывает, что никакого численного коэффициента в окончательное выражение для результрушющего потока энергии воditь не надо, то есть

$$W = \frac{N}{\tau} \frac{2m}{M} \frac{3}{2} k(T_e - T_a).$$

В формуле (11) $W$ — это джоулево теплло, но здесь оно выражается иначе, чем в формуле (3).

В отсутствие внешнего электрического поля настоящего между электронами и atomами. Электронная температура равна температуре atomов.

При тепловом равновесии ($T_e = T_a$) результатруший поток энергии должен быть равен нулю. Действие электрического поля на электроны вызывает нарушение этого теплового равновесия.

Приравнением правые части равенств (3) и (11) (мы можем это сделать, так как они характеризуют одну и ту же величины):

$$\frac{1}{2} \frac{e^2}{m} N\tau E^2 = \frac{N}{\tau} \frac{2m}{M} \frac{3}{2} k(T_e - T_a).$$

Отсюда для разности электронной и atomной температуры получим:

$$T_e - T_a = \frac{1}{6} \frac{M}{m} \frac{e^2\tau^2}{km} E^2.$$

Таким образом, в результате действия электрического поля устанавливается определенная разность температуры. Мы видим, что эта разность пропорциональна относению масс $M/m$.

Это обстоятельство компенсирует обратное отношение масс в формуле (10) и делает законом первоначальный вывод формулы Джоуля — Ленца, в котором $M/m$ не фигурирует вообщее.

Следует отметить, что в первые moments времени после наложения электрического поля на проводник равенство (12) не выполняется. Энергия, полученная электронами от электрического поля, неоторое время превышает энергию, отдаваему электронами atomам. В результате происходитрезвычайно быстро рост $T_e$, что в свою очередь приводит к росту энергии, отдаваемой электронами atomам. Так будет продолжаться, оченьindo, до тех пор, пока энергия, получаемая электронами от поля, и энергия, отдаваемая им atomам, не сравняются. После этого электроны при столковениях с atomами будут отдавать им энергию,

15

правную дополнительной кинетической энергии, приобретенной в электрическом поле за время т между двумя стольновениями. Электронная температура стабилизуется на уровень, определяемом равенством (13).

Примерно то же производит при отоплениям дома зимой. Все тепло, поступающей от отопления в комнаты, уходит сквозь стены дома на улицу. Иначе температура в комнате все время бы повышалась. Отопление необходимо для поддержания перепада температур между комнатами и улицей. Чем меньше теплопроводность стен, тем медленнее тепло уходит из комнаты, тем легче поддерживает перепад температур.

Электронный газ и atoms в проводнике представляют как бы два тела с разными температурами, но перемещенные в одном объеме, причем одно из «телл» подогревается электрическим полем. Телло, как всегда, переходит от более горячого тела (электронов) к более холодному (atomам).

Телопроводность «стенки», разделяющей эти два «телла», определяется коэффициентом, стоящим перед разностью температур в формуле (11).

Оценим разность электронной иatomной температур для металлического проводника.

Время т порядка $10^{-14}$ с, $E$ — порядка $10^{-3}$ b/cm. Для разности температур $T_e - T_a$ получаем величины порядка $10^{-9}$ °C!

Такая ничтожная разность температур достаточно для обеспечения нужного результирующего потока энергии, несмотря на плоской коэффициент передачи энергии при каждом стольновении между электронами и atomами. Объясняется это колосальным числом стольновений между электронами и atomами: $\frac{N}{\tau}$ порядка $10^{36}$ с$^{-1}$.

В полупроводниках и особенно в газовой плазме дело может обстоятельсовсем иначе.

Нервновесная плазма

Строго говоря, классические электроны представления, использанные нами, не применены к металлическим проводникам. Поведение электронов в таких проводниках носит сугубо квантовый характер$^*$). Классические представления справедливы в условиях прохождения электрического тока сквозь газы (газовая плазма), но в газах могут иметь место совсем другие соотношения, и законы Ома и Джоуля — Ленца зачастую теряют силу.

При прохождения электрического тока сквозь разреженный газ благодаря большой длине свободного пробета электронов время пробета т может быть на несколько порядков больше, чем в металлах. Так же на несколько порядков возрастает и $E$.

В результате электронная температура может достигать десяти тысяч градусов при температуре самого газа (атомов) в несколько сот градусов (например, в люминесцентных или рекламных лампах). Получается смесь двух газов с температурами, отличующимся в десяти и даже сотни раз. Ни о каком тепловом равновесии в таких условиях и речи быть не может. Такая плазма называется неравновесной.

Ясно, что малость относения $m/M$ благоприятствует установлению большей разности температур электронов и atoms неравновесной плазмы.

В условиях электрического газового разряда низкого давления нарушается закон Ома, так как т и $N$ зависит от $E$. Из-за большей энергии электронов могут произойти не только упругие, но и неупругие стольновения электронов с atomами. При неупругих стольновениях кинетическая энергия электронов преобразуется во внутреннюю энергию atomов.

$^*$ См. статью Д. А. Франк·Каменец кого «Электрическое сопротивление — квантовое явление» («Квант» № 9, 1970).