Решения задач М126—М128; Ф142—Ф147

40

РЕШЕНИЯ

В этом номере мы публикуем решения задач M126—M128

M126

Многоугольник, описанный вокруг окружности радиуса $r$, каким-то образом разрезан на треугольники. Докажите, что сумма радиусов вписанных окружностей этих треугольников больше $r$.

Пусть $S$ — площадь данного многоугольника, $p$ — площадина его perimetра; $S_i$, $p_i$, $r_i$ — соответственло площади, получаемеры и радиусы вписанных окружностей треугольников, на которые он разрезан ($i = 1, 2, ..., n$). Тогда $S = pr$, $S_i = p_i r_i$ и $p > p_i$ для всех $i$ (нетрудно доказать, что перimeter многоугольника больше perimeter любого выпуклого многоугольника, в нем содержащого). Поэтому

$$r_1 + r_2 + \cdots + r_n = \frac{S_1}{p_1} + \frac{S_2}{p_2} + \cdots + \frac{S_n}{p_n} > \frac{S_1}{p} + \frac{S_2}{p} + \cdots + \frac{S_n}{p} = \frac{S}{p} = r.$$

Посленее равенство иллюстрируется рисунком 1.

M127

Для каждой натурального числа $n$ обозначим через $s(n)$ сумму его цифр (в десятичной записи). Назовем натуральное число $m$ особым, если его нельзя представить в виде $m = n + s(n)$, где $n$ — какое-то натуральное число. (Например, число 117 не особое, поскольку $117 = 108 + s(108) = 108 + 9$, а число 121, как нетрудно убедиться, — особое.) Верно ли, что особых чисел существует лишь конечное число?

Ответ: это утверждение неверно; особых чисел бесконечно много.

Идея наиболее естественного решения состоит в следующем. Расмотрим все числа $n$ от 1 до какого-то $N$. Среди них найдется некоторое количество $R_N$ таких $n$, для которых $n + s(n) > N$. Поэтому чисел от 1 до $N$ заверенно не больше $N - R_N$ чисел, представимых в виде $n + s(n)$, то есть по крайней мере $R_N$ чисел — особые (мы здесь даже не учитываем то, что некоторые числа представимы в виде $n + s(n)$ более, чем одним способом). Остается убедиться в том, что, выбирая соответствующим образом $N$, можно получить сколь уголного больше $R_N$.

Такая идея встречается в решениях В. Бикмашева и А. Вайнтроба из Москвы, А. Григорияна из Баку, И. Маджулиса из Риги и некоторых других читателей. Чтобы довести ее до полного решения, докажем, что среди чисел $n$ от 1 до $N = 10^{10^k} + k$ существенно более $10^k$ таких, для которых $n + s(n) > N$. Действительно, если $n < N$ и $n \geq N_1 = (10^{10^k} - 1) 10^k = 9 \dots 90 \dots 0 (10^k$ девяток и $k$ нуля), то $n + s(n) \geq (10^{10^k} + k - 10^k) + 9 \cdot 10^k > N$,

а количество чисел $n$ таких, что $N_1 \leq n \leq N$, равно $N - N_1 + 1 = 10^k + 1$.

41

Другое решение (наиболее акуратоно оно проведено в работах А. Печковского из Москвы и Л. Пуеца из Днепропетровска) — указано способа, позволяющего построить конкретирую последовательность особых чисел. Вот одна такая последовательность:

$$m_1 = 9 + 11 = 20,$$
$$m_2 = 20 + 101 = 121,$$
$$m_3 = 121 + 1001 = 1122,$$

где $m_k = m_{k-1} + 10^k + 1$.

Докажем по индукции, что все эти числа — особые. Предположим, для $m_{k-1}$ это верно ($k \ge 3$), а для $m_k$ — нет: $m_k = n + s(n)$.

Преждем чем пользоваться этим предположением, докажем, что десятичное разложение числа $m_k$ выглядит так:

$$m_k = 10^k + a_{k-1} 10^{k-1} + \dots + a_0,$$

где цифра $a_{k-1} \neq 0$, то есть что $11 \cdot 10^{k-1} < m_k < 2 \cdot 10^k$. Левое неравенство оченьindo, а правое проверяется по индукции: $m_k = m_{k-1} + 10^k + 1 < 2 \cdot 10^k - 1 + 1 = 12 \cdot 10^{k-1} + 1 < 2 \cdot 10^k$.

Тепер можно доказать, что десятичная запись числа $n$ гоже начинается с единицей: $n = 10^k + b_{k-1} \cdot 10^{k-1} + \dots + b_1 \cdot 10 + b_0$, то есть что $10^k < n < 2 \cdot 10^k$. Здесь правое неравенство оченьindo, а левое доказывается от противного: если $n < 10^k$, то $s(n) < 9k$ и $n + s(n) < 10^k + 9k < 10^k + 10^{k-1} = 11 \cdot 10^{k-1} < m_k (9k < 10^{k-1}$ при $k \ge 3$).

Обозначим число $n - 10^k$ (число $n$ с отброшенной первой цифрой, равной единице) через $n^*$. Тогда, оченьindo, $s (n^*) = s(n) - 1$ и поэтому

$$n^* + s (n^*) = n - 10^k + s(n) - 1 = m_k - 10^k - 1 = m_{k-1}.$$

Таким образом, получается, что число $m_{k-1}$ — не особое. Противоречие с предположением доказывает справедливость индукционного перехода от $k - 1$ к $k$. То, что числа $m_1$ и $m_2$ — особые, установить нетрудно.

M128

Найдите отношение стороны треугольника, одна из медиан которого делится вписяной окружность на три равные части.

Пусть $BK$ — медиана треугольника $ABC$ — делится вписяной окружность на равные отрезки $BM = MN = NK = x$, $AB = c$, $BC = a$, $CA = b$ и $T$ — точка касания вписяной окружности со стороны $BC$ (рис. 2).

Рис. 2.

Наимонадобятся следующие два соответствия ABC:

$$a + c - b = 2BT,$$
$$2a^2 + 2c^2 - b^2 = 4BK^2$$

(первое выводится из равенств $BT + CT = a$, $BT - CT = c - b$; второе легко доказать, достроив треугольник до параллелограмма $ABCD$). Из второго равенства находится

$$2a^2 + 2c^2 - b^2 = 36x^2. \quad (1)$$

Поскольку, поскольку точки $B$ и $K$, оченьindo, одинаково удалены от центра вписанной окружности, то $BC = KC$, откуда

$$b = 2a. \quad (3)$$

Подставляя (3) в (1) и (2), находим

$$c^2 - a^2 = 18x^2, \quad (c - a)^2 = 8x^2.$$

Из этих равенств получим (ясно, что $c - a \neq 0$, $x \neq 0$):

$$\frac{c + a}{c - a} = \frac{9}{4},$$

откуда $\frac{c}{a} = \frac{13}{5}$.

Ответ: $a:b:c = 5:10:13$.

Нетрудно проверить, что в треугольнике с таким отношением стороны медиана стороны $b$ действительно разделится вписанной окружностью на три равные части (при проверке удобно пользоваться теми же формулами, которые применялись выше).

Правильные решения некоторых из задач М121 — М128 прислада: В. Ашасккий (Москва) М126; В. Астманкови (Борисов БССР) М124; В. Береза (Горький) М122 — М123; А. Блюхин (Киселевск Кемеровской обл.) М123; А. Бикмацев (Москва) М126 — М128; А. Боеданов (Глазов Удмуртской АССР) М128; А. Боцаров (Николаев) М126 — М128; Л. Браецкин (Фрунзе) М126; А. Брутмер (Кишинев) М128; О. Бурлаков (Ташкент) М128; А. Вайнтроб (Москва) М126 — М128; Т. Галкина (Куйбышев) М126; Л. Генриинович (Ташкент) М126, М128; А. Гордиенко (с. Полтаченко Красноарского края) М122, М126; А. Григорян (Баку) М126; В. Гринман (Москва) М124; А. Демидов (Москва) М124; В. Дробимько (Херсон) М126; В. Евдокимов (Ярославль) М123; А. Едренкин (Москва) М126; М. Жуков (Баку) М128; А. Жумадильдаев (Алма-Ата) М122 — М124; В. Зарубин (п. Летний отдельных Московской обл.) М126; В. Заблочикий (Донецк) М128; Э. Зейман (Орреев Молдавской СССР) М126; Т. Зламкус (Советск Калининградской обл.), М128; И. Ненатьев (с. Сарманово Татарской АССР) М128; М. Иларционов (Воронеж) М121 — М124, М126, М128; С. Иоанниди (Тбилис) М128; М. Кауль (Фрунзе) М121, М122, М124; А. Квасов (Москва) М122 — М124, М126; А. Кисленев (Москва) М122; Ю. Кисин (Старая Русса) М123, М124, М126; В. Клейменов (Улан-Уде) М126; В. Колосов (Киев)

42

В этом номере мы публикуем решения задач Ф142—Ф147

Ф142

Стальной шарик, подвешенный на нитке длины l, отклонил так, что нить приняла горизонтальное положение, и отпустил. В тот момент, когда нить составляла угол α=30° с вертикально, шарик ударился о неподвижную стальную плиту (рис. 3). На какую высоту поднимается шарик после удара о плиту, если удар можно считать абсолотно упругим?

Пусть скорость шарика в момент его удара о плиту равна v. Эта скорость направлена perpendicularно нити. Так как удар шарика — абсолотно упругий и, следовательно, мгновенный, то при ударке шарика ведет себя как свободный, не связанный с нитью. Поэтому скорость шарика при ударе меняется только по направлению, так что угол отражения шарика от плиты равен углу padения. Это означает, что после удара о плиту он движется со скоростью v₁=v cos 2α, perpendicularной нити. Энергия шарика сразу после удара равна $\frac{mv_1^2}{2}$, при подъеме шарика на высоту h она становится равной mgh. (Частый полной кинетическая энергия шарика W = $\frac{mv^2}{2} = \frac{mv_1^2}{2} + \frac{mv_2^2}{2}$ после удара перейдет в энергию колебаний шарика вдоль нити или, в конечном случае, в телло. Величина этой потери равна $\frac{mv_2^2}{2}$.

43

По закону сохранения энергии

$$\frac{mv_1^2}{2} = mgh \quad \text{или} \quad \frac{v^2 \cos^2 2\alpha}{2} = gh.$$

Найдем теперь скорость $v$ шарика в момент его стольновения с плитой. Вначале шарик находится на высоте $H = l \cos \alpha$ над плитой. Изменение потенциальной энергии шарика при движении из первого начального положения до стольновения с плитой равно кинетической энергии, прибретенной шариком:

$$\frac{mv^2}{2} = mgl \cos \alpha.$$

Отсюда

$$v^2 = 2gl \cos \alpha.$$

Следовательно,

$$h = \frac{v^2 \cos^2 2\alpha}{2g} = l \cos \alpha \cos^2 2\alpha = \frac{\sqrt{3}}{8} l.$$

Ф143

Самолет садится на палубу авнаносца, имея скорость 100 км/ч. Зацелившись за канат торможения, самолет пробегает до полной остановки 50 м. Определять перегрузки, если коэффициент упругости каната не меняется по мере его растяжения.

При торможении самолета на него со стороны каната действует сила $F = kx$, где $x$ — удлинитель каната, $k$ — коэффициент его упругости. Эта сила уvelичивается по мере растяжения каната. Уvelичивается и ускорение

$$a = \frac{F}{M} = \frac{k}{M} x,$$

сообщаем силой $F$ самолета (M — масса самолета).

Но сускорением $a$ движется не только самолет, но и летчик, удерживаемый ремнями на сидении. Это ускорение сообщает летчику сила $T$, действующего на него со стороны ремней. Если масса летчика равна $m$, то

$$T = ma = \frac{mk}{M} x.$$

Эта сила максимальная при $x = L = 50$ м,

$$T_{\text{max}} = \frac{mkL}{M}.$$

(1)

В выражении для $T$ входит коэффициент упругости каната. Найдем его.

Кинетическая энергия самолета в момент посадки, очевидно, равна работе силы $F$. Эта сила меняется с расстоянием $x$, пройденным самолетом по пальбе авнаносца. Нарисуем график зависимости $F$ от $x$ (рис. 4). Очевидно, работа силы $F$ на пути $L$ равна площади треугольника под графиком зависимости $F$ от $x$, то есть $A = \frac{1}{2}kL \cdot L = \frac{kL^2}{2}$. Следовательно, $\frac{kL^2}{2} = \frac{Mv^2}{2}$. Отсюда $k = \frac{Mv^2}{L^2}$.

Подставляя выражение для $k$ в формулу (1), получим

$$T_{\text{max}} = m \frac{v^2}{L} = mg \frac{v^2}{Lg} \approx 1,5mg.$$

So стороны сидения и ремней на летчика действуют взаимно-перpendикулярные силы: сила нормальной реакции сидения $N$ и сила натяжения ремней $T$. Равно действующая эти силы равна по абсолотной величины весу летчика $P$ (вес — это сила, с которой летчик действует на сидение и ремни):

$$R = \sqrt{T_{\text{max}}^2 + (mg)^2} \approx 1,8 \text{ mg}.$$

Это означает, что вес плота в 1,8 раза больше его веса в обычных условиях.

Ф144

Каким должно быть коэффициент треугольника о пол для того, чтобы он мог стоять так, как показано на рисунке 5? Длина нити, удерживающей стержень, равна длине стержня.

44

Так как стержень находится в равновесии, то суммы проекций всех действующих на него сил на вертикальное и горизонтальное направления должны быть равны нулю. Силы, действующие на стержень, показаны на рисунке 5. Значит,
$$F_{ТР} - T \sin \alpha = 0,$$
$$N + T \cos \alpha - mg = 0.$$

Запишем еще условия того, что стержень невращается вокруг точки C. Для этого должны быть равна нулю сумма моментов всех сил относительно точки C:

$$Tl \sin \alpha - mg \frac{l}{2} \sin \alpha = 0.$$

Из уравнения (2) следует, что $T = \frac{1}{2} mg$. Перепишем, учитывая это, уравнения (1). Учитем еще и то, что при наименьшем коэффициенте треня, когда еще возможно равновесие стержня, $F_{ТР} = kN$:

$$kN - \frac{1}{2} mg \sin \alpha = 0,$$
$$N + \frac{1}{2} mg \cos \alpha - mg = 0.$$

Отсюда
$$kN = \frac{1}{2} mg \sin \alpha,$$
$$N = mg \left(1 - \frac{1}{2} \cos \alpha\right).$$

Следовательно,
$$k = \frac{\sin \alpha}{2 - \cos \alpha} = \frac{\sqrt{3}}{3}.$$

Ф145

Идеальный газ сначала переходит из состояния 1 ($P_1, V_1, T_1$) в состояние 2 ($P_2, V_2, T_2$). Затем из состояния 2 газ медленно адапаивается (без подвода телята) переходит в состояние 3 ($P_3, V_3, T_3$). Известно, что при переходе 2→3 газ совершает работу, равную количество телята, сообщенном газу при переходе 1→2. Показать, что $T_3 = T_1$. Изображить процессы 1→2 и 2→3 на плоскости VT.

Так как при процессе $1 \rightarrow 2$ $V = V_1 =$ const, то газ не совершает работу и изменение внутренней энергии газа $\Delta W_1$ равно количеству теплы $Q$, сообщенном газу:

$$Q = \Delta W_1.$$

Процесс 2→3 адапаится ($Q = 0$), значит, работу газ совершает за счет внутренней энергии. Поэтому работа $A$, совершенная газом, равна изменению его внутренней энергии:

$$A = \Delta W_2.$$

Сравниваем (1) и (2), находим, что
$$\Delta W_1 = \Delta W_2.$$

Но внутренняя энергия газа пропорциональна его абсолотной температуре. Это означает, что при процессе 2→3 и процессе 1→2 температура газа изменяется одинаково. Следовательно, $T_1 = T_3$.

Графики процессов приведены на рисунке 6. Так как при процессе 1→2 внутренняя энергия газа увеличивается, то $T_2 > T_1$. Посокльку при процессе 2→3 газ совершает работу, то $V_3 > V_1$.

Очевидно, наш ответ справедлив только в том случае, если $V_1 \rightarrow 2 =$ const.

Ф146

Имеется батарея с э. д. с. $E = 100$ $\theta$ и внутренним сопротивлением $r = 2$ $\Omega$. На нагрузке нужно получить напряжение $U = 20$ $\theta$, причем при изменении сопротивления нагрузки $R$ от 50 $\Omega$ до 100 $\Omega$ напряжение на ней должно меняться не более чем на 2%. Придумайте простую схему для питания нагрузки и рассчитайте параметры этой схемы.

Одна из простейших схем — это последовательное включение сопротивления $R$ нагрузки, сопротивления $R_1$ и источника (рис. 7). В этом случае, если сопротивление нагрузки равно 50 $\Omega$, то для того, чтобы напряжение на нагрузке было равно 20 $\Omega$ (то есть составляло 1/5 часть от э. д. с. источника $E$), сумма сопротивления источника и сопротивления $R_1$ должна быть 200 $\Omega$. Но в этом случае при сопротивлении нагрузки 100 $\Omega$ напряжение на ней будет составлять

$$U = E \frac{R}{R_1 + R + r} = \frac{100}{3} \theta \approx 33,3\theta.$$

45

Рис. 8.

Следовательно, при такой схеме подключения нагрузки к источнику изменение напряжения на нагрузке составляет много большие 2%.

Другая схема — это схема «делителя» (рис. 8). Ясно, что при малом по сравнению с сопротивлением нагрузки сопротивления $R_2$ общее сопротивление участка цепи, обведенного на рисунке рамкой, изменяется мало при изменении сопротивления нагрузки. Мало меняется и напряжение на нагрузке.

Рассчитаем параметры «делителя». Напряжение на нагрузке равно
$$U = IR_2'$$
где $I = \frac{E}{R_1 + r + R_2'}$ — ток в цепи и $R_2' = \frac{R_2R}{R_2 + R}$ — сопротивление участка, обведенного рамкой.

$$U = \frac{E}{R_1 + r + \frac{R_2R}{R_2 + R}} \cdot (1)$$

В данной схеме э. д. с. источника делится между сопротивлением $R_2'$ и сопротивлением $R_1 + r$. Чем больше сопротивление $R_2'$, тем больше напряжение на нагрузке. С другой стороны, сопротивление $R_2'$ увеличивается при увеличении сопротивления нагрузки $R$. (График зависимости $R_2'$ от $R$ показан на рисунке 9.) Если при сопротивлении нагрузки $R = 50$ ом напряжение на нагрузке равно 20 $\beta$, то при сопротивлении нагрузки $R = 100$ ом напряжение на ней должно быть на 2% больше, то есть 20,4 $\beta$. Подставляя численные значения всех известных величины в формулу (1), мы получаем два уравнения:

$$\begin{align*} \frac{100}{2 + R_1 + \frac{50R_2}{R_2 + 50}} &= 20, \\ \frac{100}{2 + R_1 + \frac{100R_2}{R_2 + 100}} &= 20,4, \end{align*}$$

и сила $F$ сообщает ему центрстремительноеускорение $\frac{v^2}{r}$, то

$$F = m \frac{v^2}{r},$$

или $\frac{e^2}{r^2} = m \frac{v^2}{r}$.

Из этого равенства следует, что

$$mv^2 = \frac{e^2}{r}.$$

46

Следовательно, кинетическая энергия электрона равна

$$W_K = \frac{m v^2}{2} = \frac{e^2}{2 r}.$$

Теперь можно найти полную энергию электрона на орбите радиуса $r$:

$$W = W_K + W_\pi = \frac{e^2}{2 r} - \frac{e^2}{r} = -\frac{e^2}{2 r}.$$

Энергия фотона, испущенного атомом, равна:

$$E = W_1 - W_2 = -\frac{e^2}{2 r_1} - \left(-\frac{e^2}{2 r_2}\right) =$$

$$= \frac{e^2}{2} \left(\frac{1}{r_2} - \frac{1}{r_1}\right) = 16, 3 \cdot 10^{-12} \text{ erp}.$$

Так как энергия фотона связана с его частотой $v$ формулой $E = hv$, где $h$ — постоянная Планка, то

$$v = \frac{E}{h} = 2, 6 \cdot 10^{15} \text{ c}^{-1}.$$

Редакция получила более 600 писем. Почти во всех письмах приведены правила решения задач $\Phi 139$, $\Phi 143$, $\Phi 144$. Правильные решения остальных задач приклады следующие читатели: А. Айрапемян (Ереван) $\Phi 142$, $\Phi 145$, $\Phi 147$; А. Андреев (Ленинград) $\Phi 145$, $\Phi 146$; Ш. Атакулов (Фергана) $\Phi 145$, $\Phi 146$; А. Аляев (Арзамас) $\Phi 147$; А. Асасян (Ереван) $\Phi 147$; В. Белков (Москва) $\Phi 142$; И. Брамовская (Усолье-Сибирское) $\Phi 145$; А. Баевский (Гомель) $\Phi 138$, $\Phi 142$; В. Буркин (Стерлитамак) $\Phi 147$; М. Болышаков (Саратов) $\Phi 146$, $\Phi 147$; А. Блинов (Москва) $\Phi 142$; М. Бренерман (Казань) $\Phi 145$; Бардина (Новокузнецк) $\Phi 145$, $\Phi 147$; А. Борминков (Краснодар) $\Phi 142$; О. Белкин (Оренбург) $\Phi 147$; А. БакULEВ (Москва) $\Phi 142$; Т. Вайнтрауб (Кишинев) $\Phi 145$—$\Phi 147$; В. Воробьев (Кутанси) $\Phi 147$; В. Векштейн (Киев) $\Phi 145$; И. Васицак (Киев) $\Phi 140$; А. Баринов (Жуковский Московской области) $\Phi 145$; И. Вакер (Минск) $\Phi 142$; Ю. Горный (Хадьженск Краснодарского края) $\Phi 147$; С. Гранин (Дзержинск) $\Phi 145$; О. Глуцененко (Глухов Сумской области) $\Phi 142$; А. Гофман (Москва) $\Phi 140$; В. Герасимов (Сарапул) $\Phi 147$; С. Григорян (Ереван) $\Phi 147$; А. Григорьев (Грозный) $\Phi 147$; С. Городников (Грозный) $\Phi 145$; С. Дик (Жодино Минской области) $\Phi 145$; В. Деревезин (Донецк) $\Phi 145$, $\Phi 147$; Е. Доллов (Москва) $\Phi 142$, $\Phi 145$; В. Дашкевич (Кировск Могильевской области) $\Phi 145$; А. Дависиков (Ленинград) $\Phi 142$; А. Данизль (Ленинград) $\Phi 145$; А. Дорофеев (с. Фокино Горьковской области) $\Phi 142$; С. Егоров (Климовск Московской области) $\Phi 147$; А. Едренкин (Москва) $\Phi 145$, $\Phi 147$; В. Железный (Ленинград) $\Phi 146$; В. Зиндельс (Киев) $\Phi 145$; А. Збоев (пос. Медведок Кировской области) $\Phi 140$; В. Заболочкин (Донецк) $\Phi 142$, $\Phi 147$; И. Змукко (пос. Ружаны Брестской области) $\Phi 145$; А. Израильевич (Свердловск) $\Phi 147$; П. Крышеник (Ужгород) $\Phi 147$; В. Колесников (Челябинск) $\Phi 142$; С. Корнеев (Новокузнецк) $\Phi 145$; А. Кречемников (Сумы) $\Phi 140$; В. Кадаер (Москва) $\Phi 140$—

46