Математический бой

Рис. 3.

Атомы возбуждаются и начинают испускать свет, этим и объясняется свечение газоразрядных ламп. Можно проинсходить даже выбивание внутренних электронов (нонизация атомов), что приводит к росту $N$. При каждом неупругом столкновении электрон теряет гораздо большую энергию, чем при упругом. Джоульево тепло террь составляет только часть от полной мощности тока. Иногда джоульево тепло становится даже пренебрежимо малим по сравнению с $jE$.

Ясно, что в таких случаях формула Джоуля — Ленца неприменима и равенство (12) не выполняется.

Наконец, в некоторых сильнооточных разрядных устройств, создавемых с целью получения управляемых термоядерных реакций, имеет место обратное соотношение температуры (рис. 3). Температура атомов (точнее ионов) оказывается выше электронной температуры. Результующий поток энергии течение в обратном направлении — от атомов к электронам. В этих условиях электроны не нагревают, а охлаждают атомы.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ БОЙ

Ниже приведется задачи, предложенные на математическом бое, проводившемся во время слета учашихся физико-математических школа в Ленинграде 7 января 1972 г. (О его правилах расказано в статье на стр. 71.)

1. Найти целые $x$ и $y$ такие, что $(((x^x - y)^y)x - y)^x + x + y = 1972 + 1000x$.

2. Доказать, что из любых 1972 целых чисел можно выбратьровно 972, сумма которых делится на 972.

3. Можно ли точки трехмерного пространства раскрасить в три цвета так, чтобы не было ни одного отрезка, целиком закрашенного в один цвет?

4. Доказать, что произведение всех чисел от $n+1$ до $2n$ делится на $2n$ и не делится на $2^{n+1}$.

5. Построить окружность, которая делит каждой из трех данных равных окружностей на две равные части.

6. Среди трехгольников данной площади найти треугольник с наиболее суммой относительной medida к соответствующим биссектрисам.

7. Билет имеет шестиначный номер. Билет называется частливым поленинградски, если сумма первых трех его цифр равна сумме трех последних цифр. Билет называется частливый по-вышборски, если его номер делится на 11. Каких билетов больше: частливых по-ленинградски или по-вышборски?

8. Можно ли замостить плоскость четырехугольника, равными данному?

9. Можно ли в течение куба плоскостью получить правильный пятуюугольник?

18

Неопределенно из определения интеграла следует, что функция произекта $S$ — интеграл от числовой функции $f$. В частности, площадь всего подграфика функции $f$ равна $\int_{A}^{B} f(x) \, dx$. Выведенная формула шади подграфика показывает геометрический смысл интеграла: интеграл от неотрицательной функции — это площадь подграфика этой функции. На этом основано использование интеграла для вычисления площадей.

В качестве примера найдем площадь функции, отсекаемой от парабoles $y = x^2 + 1$ прямой $y = 2x + 1$.

Парабола и прямая пересекаются в точках, координаты которых (0, 1) и (2, 5) находятся как решения системы уравнений $y = x^2 + 1$, $y = 2x + 1$.

Искомая площадь (рис. 6) равна разности площадей подграфиков функции $x \rightarrow 2x + 1$ и $x \rightarrow x^2 + 1$, определяемых на отрезке [0, 2]:

$$S = \int_{0}^{2} (2x + 1) \, dx - \int_{0}^{2} (x^2 + 1) \, dx =$$

$$= \int_{0}^{2} (2x - x^2) \, dx = 2 \int_{0}^{2} xdx - \int_{0}^{2} x^2 \, dx = \frac{4}{3}.$$

Вообщество, если графики функции $f$ и $g$ пересекаются в точках с абсциссами $A$ и $B$, а для всех чисел $x$ отрезка $[A, B]$ выполнен неравенство $f(x) \geq g(x)$, то площадь функции, заключенной между этим подграфиками (рис. 7), равна $\int_{A}^{B} (f(x) - g(x)) \, dx$.

Уражнение 1. а) Вычислить площадь подграфика функции $x \rightarrow x^2$ на отрезке [0,1].

б) Вычислить площадь, ограниченную аркой синусовы и осью абсцисс (рис. 8).

2. Объем тела врашения

Предположим, что подграфик неотрицательной функции $f$, определяющий на отрезке $[A, B]$, врашает вокруг оси абсцисс. Каждый отрезку $[a, b]$, содержащемуся в отрезке $[A, B]$, поставим в соответствие число $V [a, b]$ — объем части образованшегося тела врашения, заключенной между плоскостями $x = a$ и $x = b$ (рис. 9).

Мы получим аддитивную функцию промежутка $V$.

Из рисунка 9 видно, что выделенная часть тела вращения содержит прямой круговой цилиндр, высотной которого служит отрезок $[a, b]$, а радиус основания равен $\min f$ и содержится в цилиндре с той же высотой и радиусом основания $\max f$. Так как объемы этих цилиндров равны соответственно $\pi (b-a)(\min f)^2$ и $\pi (b-a)(\max f)^2$, то

$$\pi (b-a)(\min f)^2 \leq V [a, b] \leq \pi (b-a)(\max f)^2.$$

Но $\pi (\min f)^2$ это наименьшее значение функции $\pi f^2$ на отрезке $[a, b]$, а $\pi (\max f)^2$ ее наибольшее значение на этом отрезке. Следовательно, $V$ — интеграл от этой функции, так что объем всего тела вращения равен

$$\int \limits_A \pi f^2(x) \, dx.$$

В качестве примера вычислим объем прямого кругового конуса и объем шара.

Примой круговой конус высоты $H$ можно рассматривать как результат вращения подграфика линейной функции $x \rightarrow kx$, определяной на отрезке $[0, H]$ (рис. 10). Если радиус основания конуса равен $R$, то

$$kH = R,$$

откуда

$$k = \frac{R}{H}.$$

Рис. 9.

Рис. 10.

20

§ 2. ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
ИНТЕГРАЛА

Приведем в заключение несколько примеров применения интеграла в физических задачах.

Задание 1. Найдем слугуравимочного взаимодействия между расположенными на одной прямой матерIALной точкой массы m и однородным стержнем длины l и массы M. Расстояние от точки до ближайшего конца стержня равно c.

Вам, конечно, известен закон всемирного тяготения, утверждающий, что сила gravitationного взаимодействия двух точных масс прорциональная произведение этих масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Однако в нашем случае одна из взаимодействиях масс точной не является.

Если стержень разбит на несколько частей, то сумма сил взаимодействия этих частей с массой m равна силе взаимодействия всего стержня с этой массой. Объчно физики дальше пишут: «разобъем стержень на очень маленькие отрезки длины Δx. На отрезок, находящийся на расстоянии x от точки m, действует сила $\frac{mM\Delta x}{lx^2}$, сумма этих сил равна…».

Покажем, как можно оформлять подобные расчудения строгого, пользоваться нашим определением интеграла.

Прямую, на котором лежат стержень и точка, превращим в числовую ссыл, выбрав в качестве начальной точку, в которой помещена масса m, и направив ось так, чтобы стержень оказался на положительной полоси. Стержень зайдет тогда отрезок $[c, c + l]$ этой оси. Каждому отрезку $[a, b]$, содержащемуся в отрезке $[c, c + l]$, поставим в соответствие число F $[a, b]$ — величины сил взаимодействия между этим отрезком стержня и массой m. Ясно, что F — адитивная функция промежутка. Ясно, что эта сила увеличится, если всего массу отрезка $[a, b]$, равную $\frac{M}{l}(b - a)$, сконцентрировать в близheetем к массе m конце a этого отрезка, и уменьшится, если эту массу сконцентрировать в точке b. Но в обихах случай мы придем к взаимодействию двух точных масс. В первом случае сила взаимодействия оказывается равной $\frac{\gamma mM}{la^2}(b - a)$, во втором случае $-\frac{\gamma mM}{lb^2}(b - a)$. Следовательно, $\frac{\gamma mM}{lb^2}(b - a) \leq F[a, b] \leq \frac{\gamma mM}{la^2}(b - a)$.

Но $\frac{\gamma mM}{lb^2} = \min_{[a, b]} \frac{\gamma mM}{lx^2}, a \frac{\gamma mM}{la^2} = \max_{[a, b]} \frac{\gamma mM}{lx^2}$.

Следовательно, адитивная функция промежутка $F$ — это интеграл от функции $x \rightarrow \frac{\gamma mM}{lx^2}$. Вся сила gravitationного прияжения между стержнем и точкой равна

$$\int_{c}^{c+l} \frac{\gamma mM}{lx^2} dx = \frac{\gamma mM}{l} \int_{c}^{c+l} x^{-2} dx = \frac{\gamma mM}{l} (-1) \left[ (c+l)^{-1} - c^{-1} \right] = \frac{\gamma mM}{l} \left( \frac{1}{c} - \frac{1}{c+l} \right) = \frac{\gamma mM}{c(c+l)}$$

Вы знаете, что силу gravitationного прияжения плает также вычисляется по закону всемирного тяготения. Доказательство справедливо для сферических масс той же формулы, что и для точных, последующих для Ньютона одним из точков к созданию интегрального численения.

Задание 2. Найти кинемическую энергию однородного диска радиуса R и массы M, врачаюцезся с постоянной угловой скоростью w векруездости, прохождение через центр диска и перpendикулярной его плоскости.

Кинетическая энергия движущейся точки зависит от массы и скорости. Хотя диск врачается с постоянной