Bài toán M191—M195; F203—F207

35

Vấn đề «Kvant»
Nhiệm vụ
M191—M195, F203—F207

Lời giải bài toán từ số được thể hiện có thể được gửi chậm nhất là ngày 30 tháng 4 đến địa chỉ: 117071, Moscow, V-71, Leninsky Prospekt, 15, Nhà xuất bản Nauka, tạp chí «Kvant». Sau địa chỉ trên phong bì là tạp chí “Khoa học” của Đức Quốc xã «Kvant». Sau địa chỉ trên phong bì là Nazi, lời giải mà bài toán bạn đang gửi, ví dụ: “Nhiệm vụ «Kvant» M191, M192” hoặc “… F203”.
Lời giải bài toán cho từng môn học (toán học và vật lý), cũng như bài toán mới được gửi trong các phong bì riêng. Tổ chức bài toán, được đề xuất xuất bản, đã gửi cùng với các giải pháp của bạn cho những bài toán này (trên phong bì có một phần “Vấn đề «Kvant», bài toán mới trong vật lý” hoặc “… mới bài toán trong toán học”).
Dấu hoa thị biểu thị bài toán độ khó tăng lên.

M191. Trên mặt phẳng cho hai điểm A, B và đường thẳng l đi qua điểm A nhưng không qua điểm B. Vẽ một đường tròn tùy ý đi qua hai điểm A và B. Gọi O là tâm, C là giao điểm của đường thẳng l, khác A. Tìm quỹ tích trung điểm các đoạn thẳng OC.
P. Paramonov, học sinh lớp 9

M192. Cho các số 1, 2, 3, …, 1000. Tìm nhiều nhất m có tính chất sau: bất kể m số nào bị gạch bỏ thì trong 1000 - m số còn lại sẽ có hai số, trong đó một số chia hết cho số kia.

M193*. Chứng minh rằng tổng diện tích đáy của các tam giác tạo thành bởi tham số và các đường chéo của một hình ngũ giác lồi (xem Hình 1) lớn hơn diện tích của toàn bộ hình ngũ giác.
N. B. Vasiliev

M194. Cho hai số tự nhiên nguyên tố a và b. Người ta biết rằng bất kỳ số nguyên nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng ax + by, trong đó x và y là số nguyên. Xét một tập hợp M các số nguyên có thể được biểu diễn dưới dạng ax + by, trong đó x và y là các số nguyên không âm.
a) Số c lớn nhất không thuộc tập M là bao nhiêu?
b) Chứng minh rằng trong hai số n và c - n (trong đó n là số nguyên bất kỳ), một số thuộc M còn số kia không thuộc M.
(Trong Hình 2 với a = 3 và b = 7, các điểm nguyên thuộc tập M có màu đỏ, các điểm không thuộc tập hợp có màu xanh).

Cơm. 1.

36

M195*. Cho tam giác ABC. Có bao nhiêu điểm D sao cho chu vi của các tứ giác ADBC, ABDC và ABCD bằng nhau?

M. L. Gerver

F203. Máy phát điện tử sử dụng triode trong đó khoảng cách giữa cực âm và cực dương là 1 mm. Ước tính tần số dao động tối đa có thể đạt được khi sử dụng máy phát này nếu điện áp dị thường là 200 V.

F204. Tàu vũ trụ tiếp cận Mặt trăng theo quỹ đạo parabol, gần như chạm vào bề mặt Mặt trăng. Tại thời điểm gần Mặt trăng nhất, động cơ phanh sẽ được bật trong thời gian ngắn,

Cơm. 3.

và con tàu di chuyển vào quỹ đạo tròn của vệ tinh mặt trăng. Xác định sự thay đổi tốc độ của tàu khi hãm phanh. Bán kính của Mặt trăng là $R_\perp = 1740$ km, gia tốc rơi tự do trên bề mặt Mặt trăng là $g_\perp = 1,7 \text{ m/c}^2$.

Ghi chú. Trên quỹ đạo parabol, tổng năng lượng của con tàu bằng không.

S. M. Kobzel

F205. Dùng một mảnh kính A có hình dạng không đều, chiếu một tia nắng lên một bức tường thẳng đứng; một lần đến điểm B, lần khác đến điểm C (Hình 3). Con thỏ ở điểm B hóa ra có hình tròn và độ chiếu sáng của nó ở trung tâm lớn thứ hai so với những khu vực chỉ được chiếu sáng bằng ánh sáng khuếch tán. Độ rọi ở tâm con thỏ ở điểm C là bao nhiêu?

Tia SA, AB và AC cùng nằm trong mặt phẳng thẳng đứng, tia AB nằm ngang $\leftrightarrow SAB = \leftrightarrow BAC = 45^\circ$.

F206.* Ước tính nhiệt độ tối đa có thể bị nóng lên do ma sát với một bộ phận trong không khí bay với tốc độ gần bằng tốc độ âm thanh. Để ước tính, giả sử rằng độ thoáng được tạo thành từ các phân tử nitơ hai nguyên tử có năng lượng bằng $\frac{5}{2} kT$, trong đó $k$ là hằng số Boltzmann và $T$ là nhiệt độ abscylot. Nhiệt độ không khí xung quanh được coi là bằng $-10^\circ\text{C}$.

P. L. Kapitsa

F207. Một khối nước đá nổi lên trên mặt dầu đổ vào một bình hình trụ. Nhiệt độ của toàn bộ hệ thống là $0^\circ\text{C}$. Mức dầu và áp suất ở đáy bình sẽ thay đổi như thế nào khi băng phát triển và nước chìm xuống đáy bình?