Số ảo và hình học bài toán

22

Số ảo và hình học bài toán

G. D. Balk, M. B. Balk

Căn bậc hai của số âm có thể có mối quan hệ gì với những căn đã cho trong lĩnh vực hình học? Liệu một người giải quyết kế hoạch bài toán có thể được hưởng lợi từ thực tế là trong đại số, các số có dạng $a + b\sqrt{-1}$ được xem xét không?

Đáp số như sẽ hiển nhiên: “Không thể.”

Trong khi đó, hóa ra là sự tham gia của những con số “tối thiểu” như vậy thường tồn tại và tạo điều kiện cho lời giải lập kế hoạch khó khăn bài toán - ngay cả khi trong điều kiện bài toán như vậy thì không có câu hỏi nào về bất kỳ “mức tối thiểu” nào. Điều này sẽ được thảo luận trong bài viết này *).

Người ta cho rằng giáo viên có những ý tưởng ban đầu về số phức và các phép tính với chúng (ở dạng đại số), chẳng hạn như trong tập sách giáo khoa phổ thông của E. S. và E. S. Kochetkov “Đại số và các hàm cơ bản”, phần 2, M., “Prosveshchenie”, 1969, trang 216-220.

Dưới đây chúng tôi sẽ cung cấp thêm thông tin về số phức và bài tập, sau đó xem xét chuỗi hình học bài toán.

Tọa độ phức tạp của điểm và vectơ

Chúng ta hãy lấy hệ tọa độ Descartes $xOy$ trên mặt phẳng (Hình 1). Cho phép

*) Bài viết này được viết dựa trên tài liệu của một nhóm học sinh bận rộn môn toán và cơ học trường Smolensk số 7 (tháng 4 năm 1971).

$Z$ là một điểm nào đó trên mặt phẳng. Vị trí của nó được xác định bởi hai số thực—tọa độ Descartes $(a, b)$. Hãy tương ứng với điểm $Z$ bằng số phức $z = a + bi$. Số phức này được gọi là tọa độ phức của điểm $Z$.

Bạn razzhene 1. Tọa độ phức tạp của các điểm $O, P, Q, M$ được hiển thị trong Hình 1 là gì?

Số phức $z$ nào tương ứng trên mặt phẳng Descartes $xOy$ trong định nghĩa đầy đủ đến điểm $Z$, tọa độ phức của nó chính xác là số này $z^*$).

Bây giờ chúng ta hãy lấy mặt phẳng tọa độ (Hình 1) một vectơ (đoạn có hướng) $OZ$ với điểm bắt đầu là gốc và điểm cuối ở điểm $Z$, có tọa độ $(a, b)$. Số phức $z = a + bi$ còn được gọi là vectơ phức $OZ$.

*) Lưu ý trên trục $Oy$ ta vẽ hệ số $i$ (số thực), nhưng dấu 1 trên trục $Oy$ tương ứng với số $i$.

23

Sau đó, chúng ta hãy xem xét bất kỳ vectơ AB nào khác bằng vectơ OZ*). Vectơ AB có thể so sánh với cùng một số phức z; Chúng ta sẽ gọi số này là tọa độ phức của vectơ AB. Vì vậy, ví dụ, trong Hình 2, các vectơ AB, CD và OZ có cùng tọa độ phức 2 - 3i. Nói chung, chúng ta có thể nói thế này: nếu hình chiếu của vectơ không phải Comoroso lên trục Ox bằng a và hình chiếu của nó lên trục Oy bằng b, thì tọa độ phức tạp của vectơ là số z = a + bi.

Trong thực tế 2. Các vectơ KL, MN, PQ, ST có tọa độ phức tạp như trên Hình 2?

Bài tập 3. Vẽ trên mặt phẳng tọa độ bất kỳ vectơ nào có gốc không trùng với gốc tọa độ và

*) Điều này có nghĩa như sau: vectơ AB và OZ có độ dài bằng nhau, nằm trên cùng một đường thẳng hoặc trên các đường thẳng song song và có cùng hướng.

chúng tôi cũng có tọa độ phức tạp: i, 3 - i, - i - 3, - 2, 1/2 - 4/3 i.

Thực hành 4. Cho các vectơ OA và AB (Hình 3) có tọa độ phức z1 và ​​z2, và tổng của các vectơ này (vectơ OB) có tọa độ phức z. Làm cách nào chúng ta có thể biểu thị số z thông qua các số z1 và ​​z2?

Lời giải. Đặt z1 = a1 + b1 i, z2 = a2 + b2 i. Khi đó, hình chiếu của các vectơ OA và AB lên trục Ox lần lượt bằng a1 và ​​a2, và hình chiếu của tổng OB của chúng lên trục Oy là a1 + a2. Tương tự, cho thấy hình chiếu của vectơ OB lên trục Oy bằng b1 + b2. Nhưng khi đó tọa độ phức z của vectơ OB bằng (a1 + a2) + i (b1 + b2), nghĩa là

z = z1 + z2.

Vì vậy, khi thêm vectơ, tọa độ phức tạp của chúng sẽ được thêm vào.

Trong thực tế 5. Hai điểm Z1 và ​​Z2 của mặt phẳng tọa độ xOy (Hình 4) có tọa độ phức tạp z1 và ​​z2. Vectơ Z1 Z2 có tọa độ phức tạp nào?

Lời giải. Chúng ta hãy biểu thị bằng z tọa độ phức tạp của vectơ Z1 Z2. Vì OZ2 = OZ1 + Z1 Z2, nên z2 = z1 + z, từ đó

z = z2 — z1.

Vì vậy, tọa độ phức tạp của một vectơ bằng hiệu giữa tọa độ phức tạp của điểm cuối và tọa độ phức tạp của điểm đầu của nó.

Trong thực tế 6. Các đầu của đoạn Z1 Z2 (Hình 5) có sự tương ứng.

24

là tọa độ phức tạp $z_1$ và $z_2$. Tọa độ phức $z$ của trung điểm $Z$ của đoạn thẳng là gì?

Lời giải. Các vectơ $Z_1Z$ và $ZZ_2$ bằng nhau và do đó chúng có cùng tọa độ phức tạp; hãy biểu thị nó bằng $c$. Vì $OZ = OZ_1 + Z_1Z$ và $OZ_2 = OZ + ZZ_2$, nên $z = z_1 + c$, $z_2 = z + c$.

Loại trừ $c$, chúng tôi tìm thấy

$$z = \frac{1}{2}(z_1 + z_2).$$

Vì vậy, tọa độ phức tạp của phần giữa của đoạn bằng tọa độ phức thu được của các đầu của nó.

Quy tắc 7. Điểm $A$ và $B$ trên mặt phẳng tọa độ ta ​​có phức tọa độ $\sqrt{3} - i$ và $-\sqrt{3} + 3i$. Vectơ $AB$ có tọa độ phức tạp nào? Điểm giữa của đoạn $AB$ có tọa độ phức tạp nào?

Chúng ta hãy nhớ lại khái niệm mô đun và đối số của số phức. Nếu số $z = a + bi$ là tọa độ phức của vectơ $AB$ (Hình 1), thì độ dài $r$ của vectơ này được gọi là mô đun của số phức $z$ (ký hiệu như sau: $|z|$). Rõ ràng là $r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}$. Góc $\alpha$ của độ nghiêng của vectơ $AB$ với trục $Ox$ (không theo hướng nửa khung, tức là ngược chiều kim đồng hồ) được gọi là đối số của số $z$ (ký hiệu như sau: $Arg z$). Người ta hiểu rằng mọi số phức $z$ đều có vô số đối số $^*$). Từ sự tương ứng hiển nhiên $a = r \cos \alpha$, $b = r \sin \alpha$ cái gọi là dạng tam giác của số phức như sau: $z = r (\cos \alpha + i \sin \alpha)$.

Quy tắc 8. Cho $z_1$ và $z_2$ là hai số phức. Các nhà hình học giải thích số $|z_2 - z_1|$ như thế nào?

Quy tắc 9. Mô đun của tổng hai số phức có thể lớn hơn tổng của các số này không?

*) Nếu $z \neq 0$ thì các đối số $z$ khác nhau theo bội số của $2\pi$ và $Arg0$ nói chung là tùy ý.

Công thức Euler và công thức Myabra
Biểu thức dạng $\cos \varphi + i \sin \varphi$ xuất hiện thường xuyên trong toán học và các ứng dụng của nó. Nhiều chữ viết tắt khác nhau được sử dụng cho nó. Ví dụ, trong khoai tây, nó được biểu thị bằng ký hiệu $1_\varphi$ và trong các công trình toán học - bằng $exp(i\varphi)$ hoặc $e^{i\varphi}$. Như vậy, theo định nghĩa

$$e^{i\varphi} = \cos \varphi + i \sin \varphi.$$

Quy tắc 10. Biểu thức nào cho biết số phức nào:

$$e^{i\cdot 0}; e^{i\frac{\pi}{2}}; e^{i\frac{\pi}{3}}; e^{i(-\frac{\pi}{4})}?$$

Ký hiệu (1) được xác định bởi sự giống nhau về tính chất của các biểu thức có dạng $e^x$ (một lũy thừa có số mũ thực $x$) và các biểu thức có dạng $e^{i\varphi}$. Trên thực tế, người ta biết rằng đối với số thực $x$, $x_1$ và số nguyên $n$ thì các công thức sau là đúng:

$$e^x \cdot e^{x_1} = e^x + x_1$$

$$e^{-x} = \frac{1}{e^x},$$

$$(e^x)^n = e^{nx}.$$

Nói cách khác, với mức độ thay đổi có cùng cơ sở, các chỉ số được thêm vào; Khi bất kỳ công suất nào được nâng lên lũy thừa toàn phần, các chỉ báo sẽ thay đổi. Ví dụ: đối với biểu thức có dạng $e^{i\varphi}$, các công thức tương tự (bên dưới $\varphi$, $\varphi_1$ là các số thực tùy ý, $n$ là số nguyên bất kỳ $^*$):

$$e^{i\varphi} \cdot e^{i\varphi_1} = e^{i(\varphi + \varphi_1)}$$

$$e^{-i\varphi} = \frac{1}{e^{i\varphi}},$$

$$(e^{i\varphi})^n = e^{in\varphi}.$$

Những sự bình đẳng này có đúng không? Hóa ra là có. Bạn có thể xác minh điều này bằng cách sử dụng các công thức cộng hàm lượng giác. Hiệu lực của công thức $(2') - (4')$ và định nghĩa, giới thiệu ký hiệu (1).

Hãy chứng minh các công thức $(2') - (4')$.

$$e^{i\varphi} \cdot e^{i\varphi_1} = (\cos \varphi + i \sin \varphi) (\cos \varphi_1 + i \sin \varphi_1) = (\cos \varphi \cdot \cos \varphi_1 - \sin \varphi \cdot \sin \varphi_1) + i (\sin \varphi \cdot \cos \varphi_1 + \cos \varphi \cdot \sin \varphi_1) = \cos (\varphi + \varphi_1) + i \sin (\varphi + \varphi_1) = e^{i(\varphi + \varphi_1)}$$.

*) Các bản ghi có dạng $e^{-i\varphi}$, $e^{\varphi i}$, $e^{ni\varphi}$ đương nhiên nên được hiểu là $e^{i(-\varphi)}$, $e^{i(n\varphi)}$.

25

(3’). Thay $\varphi_1 = -\varphi$ vào (2’), chúng ta thu được $e^{i\varphi} \cdot e^{-i\varphi} = e^{i \cdot 0} = 1$, suy ra (3’).

(4’). Chúng ta sẽ chứng minh công thức này cho số tự nhiên $n$ bằng phương pháp quy nạp toán học. Đối với công thức $n = 1$ (4’), rất indo, là đúng. Giả sử (4’) đúng với một số $k$:

$$(e^{i\varphi})^k = e^{i(k\varphi)}.$$

Hãy chứng minh rằng trong trường hợp này công thức (4’) cũng đúng với số tiếp theo (nghĩa là với $n = k + 1$). Thật vậy, theo công thức (5) và (2’) ta có

$$(e^{i\varphi})^{k+1} = (e^{i\varphi})^k \cdot e^{i\varphi} = e^{i(k\varphi)} \cdot e^{i\varphi} = e^{i(k\varphi)+\varphi}.$$

Vì vậy, từ (5) suy ra (5’). Theo nguyên lý quy nạp toán học, công thức (4’) đúng với mọi $n$ tự nhiên.

Giả sử $n$ là số nguyên âm; thì $n = -m$, trong đó $m$ là số tự nhiên và do đó $(e^{i\varphi})^m = e^{im\varphi}$.

Kể từ đây,

$$(e^{i\varphi})^n = (e^{i\varphi})^{-m} = \frac{1}{(e^{i\varphi})^m} = \frac{1}{e^{im\varphi}} = e^{-im\varphi} = e^{in\varphi},$$

nghĩa là, (4’) cũng đúng với mọi số nguyên âm $n$ (đối với $n = 0$, như thường lệ, $z^0 = 1$).

Công thức (2’)—(4’) cho phép người ta thực hiện các phép biến đổi tùy ý với các biểu thức có dạng $\cos \varphi + i \sin \varphi$ như thể chúng là các lũy thừa thông thường.

Công thức (1) được gọi là công thức Euler và công thức (4’) được gọi là công thức Moivre *). Một mục phổ biến khác cho công thức (4’) là:

$$(\cos \varphi + i \sin \varphi)^n = \cos n \varphi + i \sin n \varphi.$$

Công thức Euler cho phép mỗi số phức $z$ được viết gọn dưới dạng $z = re^{i\varphi}$, trong đó $\varphi$ là đối số của số $z$, và $r$ là mô hình của nó (dạng hàm mũ hoặc hàm mũ của cách viết số rút gọn).

Trong thực hành 11. Sử dụng công thức lũy thừa để viết số phức, thuần túy là khi ta biểu diễn mô hình và đối số của tích hai số phức thông qua mô hình và đối số của các thành phần.

Lời giải.e. Hãy để $z = z_1 \cdot z_2$. Hãy viết từng thành phần dưới dạng hàm mũ:

$$z_1 = r_1 e^{i\varphi_1}, \quad z_2 = r_2 e^{i\varphi_2}.$$

*) Leonhard Euler (1707-1783) - một trong những nhà toán học vĩ đại nhất thế giới, thành viên của Viện Hàn lâm Khoa học St. Petersburg, gốc Thụy Sĩ. Abraham Moivre (1667-1754) - Nhà toán học người Anh.

Sau đó

$$z = r_1 e^{i\varphi_1} \cdot r_2 e^{i\varphi_2} = (r_1 \cdot r_2) e^{i(\varphi_1 + \varphi_2)}.$$

Từ đó chúng ta có thể thấy rằng số $z$ có số mô-đun $r_1 \cdot r_2$ và đối số của nó là số $\varphi_1 + \varphi_2$. Bạn có thể viết nó như thế này:

$$|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|,$$

Arg $(z_1 \cdot z_2) = \varphi_1 + \varphi_2$.

Vì vậy, khi nhân các số phức, chúng được điều chỉnh bởi một biến và các đối số đã được thêm vào.

Chúng ta hãy lưu ý thêm hai hệ quả nữa từ công thức Euler. Thay $\varphi$ trong (1) bằng $-\varphi$, ta có

$$e^{-i\varphi} = \cos \varphi - i \sin \varphi.$$

Những hệ quả thú vị theo sau từ (1) và (6):

2 cos $\varphi = e^{i\varphi} + e^{-i\varphi},$

2i sin $\varphi = e^{i\varphi} - e^{-i\varphi},$

Ở đâu

$$\cos \varphi = \frac{e^{i\varphi} + e^{-i\varphi}}{2},$$

$$\sin \varphi = \frac{e^{i\varphi} - e^{-i\varphi}}{2i}.$$

Bài tập 12. Gọi $z_1$ và $z_2$ là tọa độ phức của hai điểm nằm trên đường tròn bán kính $R$ có ​​tâm tại các điểm 0 (gốc) (Hình 6); $\alpha$ và $\beta$ là đối số của các số $z_1$ và $z_2$, $0 < \alpha < \beta < 2\pi$. Chúng tôi kiểm tra tính hợp lệ của phương pháp sau:

$$z_2 - z_1 = |z_2 - z_1| \cdot e^{i \frac{\alpha + \beta}{2}} \cdot i.$$

Lời giải. Vì $z_2 - z_1 = Re^{i\beta} - Re^{i\alpha}$ thì

$$\frac{z_2 - z_1}{ie^{i\alpha}} = \frac{1}{i} R \left(e^{i \frac{\beta - \alpha}{2}} - e^{-i \frac{\beta - \alpha}{2}}\right) = 2R \sin \frac{\beta - \alpha}{2} > 0.$$

Từ đây

$$|z_2 - z_1| = 2R \sin \frac{\beta - \alpha}{2}.$$

Từ (8) và (9) suy ra (7).

Công thức (7) sẽ được sử dụng sau.

26

Một hình học bài toán

Bài 1. Vẽ một đường thẳng tùy ý đi qua tâm của một n đơn vị đều và tính tổng S các bình phương khoảng cách từ các đỉnh của đa giác đến đường thẳng này. Số tiền thu được có bị ảnh hưởng bởi việc lựa chọn đường thẳng không?

Lời giải. Đặt (Hình 7) $A_1A_2 \dots A_n$ là đa giác đã cho, $R$ bán kính của đường tròn ngoại tiếp, $O$ tâm của nó, $MN$ đường thẳng đi qua O. Đặt $\Rightarrow NOA_1 = \alpha$. Poling $\varphi = \frac{2\pi}{n}$, chúng tôi có

$$S = R^2 \left\{ \sin^2 \alpha + \sin^2 (\alpha + \varphi) \right. + \sin^2 (\alpha + 2\varphi) + \dots + \sin^2 [\alpha + (n-1)\varphi] \}.$$

Chúng ta cần tìm hiểu xem S có phụ thuộc vào $\alpha$ hay không. Rõ ràng là $S = \frac{1}{2} R^2 (n-T)$, ở đâu

$$T = \cos 2\alpha + \cos (2\alpha + 2\varphi) + \cos (2\alpha + 4\varphi) + \dots + \cos [2\alpha + (2n-2)\varphi].$$

Chúng ta hãy tính tổng T. Từ công thức Euler, rõ ràng T là phần thực của tổng

$$P = e^{i \cdot 2\alpha} + e^{i (2\alpha + 2\varphi)} + e^{i (2\alpha + 4\varphi)} + \dots + e^{i [2\alpha + (2n-2)\varphi]}.$$

Trước tiên, hãy tính P, dẫn đến công thức tính tổng các số hạng của cấp số nhân:

$$P = e^{i \cdot 2\alpha} \frac{1 - e^{i 2n\varphi}}{1 - e^{i 2\varphi}}.$$

Nhưng $2n\varphi = 2n \cdot \frac{2\pi}{n} = 4\pi$ và $e^{i \cdot 4\pi} = 1$, do đó $P = 0$. Nhưng sau đó cũng là $T = 0$, tức là $S = \frac{1}{2} R^2 n$.

Điều này chứng tỏ tổng S không phụ thuộc vào việc chọn đường thẳng MN.

Số ảo và Ptolemy bài toán

Công thức Euler và các hệ quả của nó cung cấp một cách mới để lời giải trở thành bài toán, được giải quyết lần đầu tiên vào thế kỷ thứ hai sau Công nguyên bởi nhà hình học và nhà thiên văn học người Hy Lạp cổ đại Claudius Ptolemy.

Bài tập 2. Cho một tứ giác lồi $A_1A_2A_3A_4$ treo thành một hình tròn (Hình 8). Cần phải biểu thị tổng các tích của các chuỗi đối diện theo đường kính của tứ giác.

Lời giải. Chúng ta sẽ giả sử rằng tâm của đường tròn được lấy làm gốc tọa độ và khi đi quanh đường tròn ngược chiều kim đồng hồ chúng ta sẽ lần lượt gặp các đỉnh $A_1, A_2, A_3, A_4$. Chúng tôi biểu thị tọa độ phức tạp của chúng bằng $z_1, z_2, z_3, z_4$. Đặt $z_k = Re^{i\alpha_k}$, trong đó $k = 1, 2, 3, 4$.

Bây giờ chúng ta sẽ sử dụng các công thức dẫn xuất trước đó (xem bài tập 8,12):

$$A_1A_2 \cdot A_3A_4 + A_2A_3 \cdot A_4A_1 = |z_2 - z_1| \cdot |z_4 - z_3| + |z_3 - z_2| \cdot |z_4 - z_1| = \frac{z_2 - z_1}{i \frac{\alpha_1 + \alpha_2}{2}} \cdot \frac{z_4 - z_3}{i \frac{\alpha_3 + \alpha_4}{2}} +$$

27

Vì vậy, trong mọi tứ giác lồi nội tiếp, tổng các tích các cạnh đối diện bằng tích các đường chéo của nó.

Định lý Ptolemy đã được chứng minh.

Bài 3. Tích các đường chéo của một tứ giác lồi $A_1A_2A_3A_4$ có thể lớn hơn tổng các cạnh đối diện không?

Lời giải. Chúng ta đã sử dụng pointdest, điều này đúng với mọi số phức $z_1, z_2, z_3, z_4$:

$$(z_2 - z_1)(z_4 - z_3) + (z_3 - z_2)(z_4 - z_1) = (z_4 - z_2)(z_3 - z_1).$$

Thao tác trên tính chất của mô hình số phức, ta có

$$|z_4 - z_2| \cdot |z_3 - z_1| \leq |z_2 - z_1| \times |z_4 - z_3| + |z_3 - z_2| \cdot |z_4 - z_1|.$$

tức là luôn luôn $A_1A_3 \cdot A_2A_4 \leq A_1A_2 \times A_3A_4 + A_2A_3 \cdot A_1A_4$.

Chúng ta đã chứng minh điều bổ sung này cho định lý Ptolemy: trong mỗi tứ giác, tích các đường chéo không lớn hơn tổng các cạnh đối diện của nó.

Tập hợp phức làm toán tử xoay và kéo giãn

Chúng ta hãy tập trung vào một cách giải thích hình học quan trọng hơn về số phức.

Giả sử có một vectơ OZ trên mặt phẳng (Hình 9) và đặt $z$ là tọa độ phức tạp của nó. Hãy xoay vectơ OZ xung quanh gốc $O$ của nó theo một góc $\alpha$ (ngược chiều kim đồng hồ nếu $\alpha > 0$ và theo chiều kim đồng hồ nếu $\alpha < 0$) và kéo dài vectơ này (không thay đổi gốc của nó) với hệ số giãn $\rho$. Kết quả là chúng ta sẽ có một vectơ OW mới; Chúng tôi biểu thị tọa độ phức tạp của nó bằng $\omega$. Số $\omega$ được thể hiện như thế nào qua $z$, $\alpha$, $\rho$?

Hãy để $z = re^{i\varphi}$. Rõ ràng là $|\omega| = \rho r$, Arg $\omega = \alpha + \varphi$. Vì vậy $\omega = (\rho r)e^{i(\alpha + \varphi)} = (\rho e^{i\alpha})(re^{i\varphi})$. Chúng ta hãy biểu thị bằng $c$ số phức $c = \rho e^{i\alpha}$. Ngược lại, nếu tọa độ phức $z$ của một số vectơ OZ được nhân với số phức $c = \rho e^{i\alpha}$, thì số mới $w = c \cdot z$ biểu thị tọa độ của vectơ OW thu được từ vectơ OZ bằng cách quay một góc $\alpha$ và kéo dài theo hệ số $\rho$.

Nói tóm lại, phép nhân với số phức $c$ đóng vai trò là toán tử xoay theo góc $\alpha = \text{Arg } c$ và toán tử kéo giãn có hệ số giãn bằng $|c|$.

Rõ ràng là kết luận nêu trên có thể dễ dàng khái quát hóa cho trường hợp gốc của vectơ không phải là gốc tọa độ. Ví dụ: nếu vectơ KL và MN có tọa độ phức tạp $z$ và $\omega$ và $\omega = -3i \cdot z$, thì điều này có nghĩa là sau khi quay vectơ KL một góc $-\frac{\pi}{2}$, nó sẽ bị cắt $(\text{Arg}(-3i) = -\frac{\pi}{2})$ và bị kéo giãn theo hệ số 3 (vì vậy

28

vì $|-3i|=3$ ta thu được một vectơ bằng vectơ MN.

Chúng tôi đặc biệt lưu ý trường hợp khi $|c|=1$. Số phức $c$ như vậy (có dạng $e^{i\alpha}$) tương ứng với toán tử xoay. Ví dụ: số phức $i$ ($i=e^{\frac{\pi}{2}}$) tương ứng với toán tử quay một góc $90^\circ\left(\frac{\pi}{2}\right)$ theo chiều dương.

Bài tập 13. Cho hình vuông OABC (Hình 10). Vectơ OA có tọa độ phức $z=3-i$. Tính tọa độ phức của vectơ OB (ký hiệu là $w_1$), AC ($w_2$).

Lời giải. Vectơ OB thu được từ OA bằng cách xoay nó một góc $+\frac{\pi}{4}$ radian và kéo giãn nó với hệ số giãn là $\sqrt{2}$. Đó là lý do tại sao

$$w_1 = \sqrt{2} e^{i\frac{\pi}{4}} \cdot z = \sqrt{2} \left(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4}\right) (3-i) = (1+i) (3-i) = 4+2i.$$

Nếu vectơ OB quay $90^\circ$ theo hướng dương thì ta thu được vectơ bằng vectơ AC. Vì vậy $w_2 = iw_1 = i \cdot (4+2i) = -2+4i$.

Bài tập 14. Trong Hình 11 $Z_1C=CZ_2=CZ$, $CZ \perp Z_1Z_2$. Known complex coordinates $z_1$ and $z_2$ of points $Z_1$ and $Z_2$. Tính tọa độ phức $z$ lũy thừa $Z$.

Lời giải. Vectơ OC có tọa độ phức $\frac{1}{2}(z_1+z_2)$. Vectơ CZ thu được từ vectơ CZ$_2$ bằng cách xoay nó $+\frac{\pi}{4}$ radian. Nhưng vectơ CZ$_2$ có tọa độ phức $\frac{1}{2}(z_2-z_1)$ nên tọa độ phức của vectơ CZ là $i \cdot \frac{1}{2}(z_2-z_1)$. Từ đẳng thức OZ = OC + CZ ta tìm được $z = \frac{1}{2}(z_1+z_2) + \frac{1}{2}i(z_2-z_1)$.

Bây giờ chúng tôi sẽ chỉ ra cách sử dụng cách giải thích toán tử của một số phức cho lời giải phép đo phẳng bài toán.

Bài toán 4. Trên các cạnh AB và AC của tam giác ABC (Hình 12) dựng các hình vuông AB$_1$A$_1$ và ACC$_1$A$_2$, chồng lên tam giác này. Có đúng là đường trung tuyến AM vuông góc với A$_1$A$_2$ không? Cách tính cũng là quan hệ A$_1$A$_2$: AM.

Lời giải. Chúng ta hãy xem xét hệ tọa độ Descartes $xAy$ trên mặt phẳng có gốc tọa độ tại đỉnh A. Hãy biểu thị tọa độ phức tạp của các vectơ AB, AC, AM và A$_2$A$_1$ bằng $b$, $c$, $m$ và $w$.

Sau đó $m = \frac{1}{2}(b+c)$. Vector AA$_1$ is obtained from vector AB by rotating it by $+\frac{\pi}{2}$ radians. Therefore AA$_1$ (and also the point A$_1$) has a complex coordinate ib. Similarly, the point A$_2$ is found to have a complex

29

tọa độ mới $-ic$. Pozny $w = ib - (-ic) = i(b + c)$. Vì vậy, $w = 2im$. Điều này có nghĩa là $A_2A_1 \perp AM$ và $A_2A_1:AM = 2$.

Bài toán 5. Trên các cạnh của tam giác $A_1A_2A_3$ (Hình 13) có các hình vuông không có thùy trong chung với tam giác; tâm của chúng $B_1, B_2, B_3$ được đánh dấu trong các ô vuông. Kiểm tra tính hợp lệ của sự tương ứng được đề xuất bởi bản vẽ: $B_1B_2 = A_3B_3, B_1B_2 \perp A_3B_3$.

Lời giải. Chúng ta hãy chọn hệ tọa độ Descartes $xOy$ trong mặt phẳng của tam giác. Tọa độ phức của điểm $A_1, A_2, A_3; B_1, B_2, B_3$ và các vectơ $B_1B_2$ và $A_3B_3$ sẽ được ký hiệu là $a_1, a_2, a_3, b_1, b_2, b_3, z$ và $w$. Hãy biểu thị $z$ và $w$ thông qua $a_1, a_2, a_3$. Chúng tôi có $z = b_2 - b_1$, $w = b_3 - a_3$. Hãy tìm $b_2$ (như bài tập 14):

$$b_2 = \frac{a_3 + a_1}{2} + i \frac{a_3 - a_1}{2}.$$

Tương tự như vậy

$$b_3 = \frac{a_1 + a_2}{2} + i \frac{a_1 - a_2}{2},$$

$$b_1 = \frac{a_2 + a_3}{2} + i \frac{a_2 - a_3}{2}.$$

Bây giờ thật dễ dàng để tính toán rằng

$$z = \frac{a_1 - a_2}{2} + i \frac{2a_3 - a_1 - a_2}{2},$$

$$w = \frac{a_2 + a_1 - 2a_3}{2} = i \frac{a_1 - a_2}{2}.$$

Điều này cho thấy rằng $w = iz$. Điều này có nghĩa là khi chúng ta xoay vectơ $B_1B_2$ theo $90^\circ$ ngược chiều kim đồng hồ, chúng ta thu được một vectơ bằng vectơ $A_3B_3$. Nhưng trong trường hợp này $A_3B_3 = B_1B_2, A_3B_3 \perp B_1B_2$.

Bài toán 6. Các đỉnh của hai tam giác đều trên mặt phẳng được đọc ngược chiều kim đồng hồ. Các đỉnh có cùng số được nối với nhau bằng các đoạn. Chứng minh rằng trung điểm của các đoạn thẳng này là các đỉnh của một tam giác đều (tam giác komor có thể suy biến thành một điểm).

Lời giải. Đặt $A_1A_2A_3$ và $B_1B_2B_3$ là các tam giác đã cho, $C_1, C_2, C_3$ trung điểm của các đoạn $A_1B_1, A_2B_2, A_3B_3$ và $a_k, b_k, c_k$ (trong đó $k = 1, 2, 3$) là tọa độ đầy đủ của các số chín đang được xem xét. Khi đó vectơ $A_1A_3$ có tọa độ phức $a_3 - a_1$ và vectơ $A_1A_2$ có tọa độ phức $a_2 - a_1$. Vì tam giác $A_1A_2A_3$ là tam giác đều nên vectơ $A_1A_3$ có ​​thể được lấy từ vectơ $A_1A_2$ bằng cách xoay nó $\frac{\pi}{3}$ radian ngược chiều kim đồng hồ, do đó

$$a_3 - a_1 = e^{i \frac{\pi}{3}} (a_2 - a_1).$$

Tương tự như vậy

$$b_3 - b_1 = e^{i \frac{\pi}{3}} (b_2 - b_1).$$

Vì $C_1$ là trung điểm của đoạn $A_1B_1$ nên

$$c_1 = \frac{1}{2} (a_1 + b_1).$$

Tương tự như vậy

$$c_2 = \frac{1}{2} (a_2 + b_2), c_3 = \frac{1}{2} (a_3 + b_3).$$

Từ các quan hệ thu được, suy ra $c_3 - c_1 = e^{i \frac{\pi}{3}} (c_2 - c_1)$. Nhưng điều này có nghĩa là vectơ $C_1C_3$ được lấy từ vectơ $C_1C_2$ bằng cách xoay nó một góc $+\frac{\pi}{3}$ radian, tức là $\triangle C_1C_2C_3$ là đúng.

30

Thực tế áp dụng
số ảo

Các số ảo ra đời từ một làn sóng của phương trình toán học thực bài toán - lời giải bậc ba. Đúng vậy, các nhà toán học đã gặp căn bậc hai của các số âm và bằng nhau, ngay cả với phương trình bậc hai lời giải. Lời giải một phương trình được lấy ngẫu nhiên có dạng
$$x^2 + px + q = 0,$$
(1)

trong đó $p, q$ là “khách quan”, tức là các số thực, theo công thức nổi tiếng đôi khi dẫn đến các số có dạng $A + \sqrt{B}$, trong đó $B$ là số âm. Nhưng không ai biết “căn bậc hai của số âm” là gì, biểu thức như vậy nên có ý nghĩa gì. Tuy nhiên, có một số cách để thoát khỏi khó khăn này: người ta tuyên bố đơn giản rằng biểu thức $\sqrt{-1}$ (hoặc $\sqrt{B}$, trong đó $B < 0$) không có ý nghĩa. Và điều này có vẻ hoàn toàn hợp lý: mỗi lần người ta có thể chứng minh rằng với $B < 0$ nghiệm của phương trình (1) không thể là số dương, số âm hoặc số 0. Khi nói đến lời giải phương trình bậc ba (tức là phương trình bậc ba), hóa ra là không thể đơn giản gạt bỏ căn bậc hai của số âm.

Và nó là như thế này. Hơn 400 năm trước, một số nhà toán học người Ý đã học cách giải các phương trình bậc ba. Phương pháp được nêu trong sách giáo khoa đại số của một trong số họ, Hieronymus Cardan (1545), tóm tắt (theo ký hiệu hiện đại) như sau: nghiệm của một phương trình có dạng
$$x^3 + px + q = 0$$
(2)

có thể được tính bằng công thức (nay gọi là công thức Cardan)
$$x = \sqrt[3]{-q/2 + \sqrt{D}} + \sqrt[3]{-q/2 - \sqrt{D}},$$
(3)

Ở đâu
$$D = \left(\frac{p}{3}\right)^3 + \left(\frac{q}{2}\right)^2.$$

Than ôi, công thức này không phù hợp trong trường hợp phương trình (2) có ba nghiệm thực khác nhau! Ví dụ, có thể dễ dàng kiểm tra xem nghiệm của phương trình $x^3 - x = 0$ có phải là các số 0,1, -1 hay không. Nhưng nếu chúng ta cố gắng giải phương trình này bằng công thức Cardan, chúng ta sẽ nhận được
$$x = \sqrt[3]{V - \frac{1}{27}} + \sqrt[3]{V - \frac{1}{27}}.$$

Làm cách nào bạn có thể trích xuất các số 0, 1, -1 từ công thức này? Để trả lời những câu hỏi như vậy, một nhà toán học ở thế kỷ 16 - 17 đã phải học cách xử lý các biểu thức có dạng $A + \sqrt{B}$, trong đó $B < 0$, và đặc biệt là căn bậc ba từ các biểu thức đó.

Các nhà toán học cực kỳ miễn cưỡng nghiên cứu những biểu thức như vậy. Họ gọi chúng là những con số “ảo”, những con số không tồn tại, không thể có, những con số “tinh vi”, “các nghiệm bí mật của các phương trình”. Người ta cho rằng rất ngạc nhiên khi chúng không có nội dung thực sự.

Một trong những nhà toán học vĩ đại nhất thế giới, G. W. Leibniz (1646-1716), người ngưỡng mộ những con số tối thiểu, đồng thời gọi chúng là “ý tưởng thoái hóa của thế giới”, “một thực thể gần như kép, nằm giữa “tồn tại” và “không tồn tại”; nói rằng

31

rằng anh ấy thậm chí còn đặt tấm biển $\sqrt{-1}$ trên mộ của mình như một biểu tượng cho sự chuyển đổi từ “thế giới thực” sang “thế giới khác”.

Trong khi đó, những con số “không thể”, “không tồn tại” này, tất cả đều có thật, đang gõ cửa khoa học toán học. Trở lại thế kỷ 17-18, người ta phát hiện ra rằng nhiều biểu thức phức tạp và rườm rà có trong toán tiểu học và toán cao cấp lại có thể dễ dàng tính toán nếu bạn sử dụng các số tối thiểu. Nhưng sự ngờ vực về những con số này lớn đến mức trước đây các nhà toán học đã làm điều này: đầu tiên họ tính toán bằng cách sử dụng những con số tối thiểu, sau đó họ chứng minh công thức “một trăm” thu được theo cách này mà không liên quan đến những con số này hay những phương tiện khác.

Trong hơn 200 năm qua, số melex (như nhà toán học nổi tiếng người Đức K. F. Gauss đề xuất gọi là số tối thiểu) đã tìm ra vô số ứng dụng hoàn toàn bất ngờ. Vì vậy, ví dụ, với sự trợ giúp của một tổ hợp số, Gauss (năm 1796) đã có thể tìm thấy đáp số trong một câu hỏi hình học thuần túy: với những số tự nhiên nào n người ta có thể xây dựng một đơn vị n thông thường bằng một chu trình và thước *)?

Các phức số đã được ứng dụng rộng rãi trong bản đồ học, điện tử, thủy động lực học, lý thuyết lọc đất và vật lý lý thuyết. Ngay trong thế kỷ của chúng ta, các phức số và phức hàm (nghĩa là các hàm trong đó cả giá trị của đối số và giá trị của hàm đều là phức số) đã được các nhà toán học và cơ học Liên Xô N. E. Zhukovsky, S. A. Chaplyagin, V. V. Golubev, M. V. Kelysh sử dụng thành công trong lý thuyết về máy bay. Các nhà toán học Liên Xô G. V. Kolosov, N. I. Muskheli-

*) Tôi nói chi tiết về điều này trong bài viết của S. G. Gindikin “Gaus’s Debut”, «Kvant» Số 1, 1972.