Lưới bán logarit và logarit

2

1. Trong số thứ 12 của tạp chí «Kvant» năm 1972, một bài báo của “Exexpon” đã được xuất bản. Nó cho thấy rằng nhiều đại lượng thay đổi theo thời gian sao cho tốc độ thay đổi của chúng tỷ lệ thuận với giá trị mà chúng đã đạt được. Dạng tổng quát của chỉ số phụ thuộc $y$ vào $t$ này được viết bằng công thức

$$y = y_0 a^t,$$

(1)

trong đó $y_0$ là giá trị của $y$ tại $t = 0$. Đặt

$$k = \lg a, \quad z = \lg y, \quad b = \lg y_0,$$

từ (1) chúng ta thu được $z = kt + b$.

Chúng ta thấy rằng sự phụ thuộc của $z$ vào $t$ là tuyến tính. Đồ thị của nó là một đường thẳng. Sau khi vẽ biểu đồ này theo cách thông thường, chúng ta có thể đánh dấu các giá trị tương ứng $y = 10^z$ trên cơ sở $(n)$ hoặc trên một đường thẳng song song với nó). Sau đó, theo biểu đồ đường thẳng của chúng tôi, có thể đọc trực tiếp các giá trị của $y$ cho bất kỳ $t$ đã cho nào. Trong Hình 1, phương pháp biểu diễn đồ họa này được áp dụng cho các hàm $y = 100^t$ và $y = e^t$ ($e = 2,718 \ldots$). Đồ thị của chúng trong hệ tọa độ Descartes được thể hiện trong Hình 2.

Giấy đa giác được bán trong các cửa hàng. Trên tờ giấy này, các đường thẳng đứng được vẽ cách nhau 1 mm, như trên giấy vẽ đồ thị thông thường, trong khi các đường ngang được vẽ sao cho khoảng cách của chúng từ mép dưới là 100 lgy, $y$ lấy các giá trị

$$1 \quad 1,05 \quad 1,10 \quad 1,15 \ldots$$

$$2 \quad 2,1 \quad 2,2 \quad 2,3 \ldots$$

4

v.v. (xem Hình 3 để biết thang đo này hoạt động như thế nào!). Phần dưới của Hình 3 trình bày cách xây dựng đồ thị hàm số loại (1) trên hai điểm $(t=0, y=y_0)$, $(t=1, y=y_0a)$ trên giấy bán ga.

Trên giấy bán thành phẩm, mức tăng $\Delta t=1$ tương ứng với 10 cm. Chúng tôi đã chọn tỷ lệ tương tự trong Hình 3 dọc theo trục $y$. Do đó, độ dốc của đồ thị của chúng tôi là $k=\lg a$. Đây không gì khác hơn là tốc độ thay đổi tương đối của $y$ khi $t$ thay đổi:

$$\frac{1}{y} \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta t} = \frac{y'}{y} = \lg a = k$$

(ở đây $y'$ là hàm đạo hàm $y = f(t) = y_0a^t$). Nếu tỷ lệ dọc theo trục $y$ được chọn khác nhau thì cần phải tính toán lại để bạn có thể dễ dàng tự mình xử lý.

Đồ thị trên giấy bán giả được vẽ khi cần tìm hiểu xem liệu sự phụ thuộc $y=f(t)$ được chỉ định bởi bảng có thể được coi là ít nhất gần đúng tuân theo quy luật tăng trưởng theo cấp số nhân (hoặc giảm) hay không. Ví dụ, chúng ta hãy xem xét khối lượng sản xuất công nghiệp ở Liên Xô, được biểu thị bằng phần trăm sản xuất vào năm 1940:

1937 1940 1945 1950 1955 1960 1965 1970
77 100 92 173 320 524 791 1190

7

Bình luận. Trong tất cả các ủng hộ
sản phẩm công nghiệp nhóm A năm 1913 là 35,1% và năm 1970 là 74,8%.

Bàn

| Năm | Nhóm A | Nhóm B |
| :— | :— | :— |
| 1913 | 100 | 100 |
| 1917 | 81 | 67 |
| 1928 | 155 | 120 |
| 1932 | 424 | 187 |
| 1937 | 1013 | 373 |
| 1940 | 1340 | 460 |
| 1945 | 1504 | 273 |
| 1950 | 2746 | 566 |
| 1955 | 5223 | 996 |
| 1960 | 8936 | 1498 |
| 1965 | 14156 | 2032 |
| 1970 | 21359 | 3281 |

Cơm. 8.