Con chó chạy ngang qua

15

Con chó đang đập không đúng hướng

M. L. Gerver

Bạn có nhớ trong «Kvant» số 2 năm 1973 có ghi chú “Về con cáo và con chó” không? Con cáo đi dọc theo một đường thẳng l với tốc độ không đổi, và con chó đi thẳng về phía con cáo với cùng tốc độ từ một điểm C₀ nào đó. Câu hỏi đặt ra là: con chó sẽ giết con cáo với giá bao nhiêu C₀?

Lá thư chứng tỏ cáo luôn bỏ chạy khỏi chó, trừ trường hợp duy nhất C₀ nằm trên đường thẳng l, phía trước cáo.

“Được rồi,” người đọc có thể nói sau khi đọc ghi chú, “tất cả những điều này đều tốt, nhưng con chó rất ngu ngốc!” Bezkala sẽ đúng…》

§ 1. Tuyên bố bài toán

Được rồi, con chó có thể đi theo con đường như một góc chứ không nhất thiết phải đi thẳng về phía con cáo. Nhưng rồi con cáo không sống theo đường thẳng mà sống theo ý muốn của nó. Vận tốc của con cáo và con chó vẫn được coi là có độ lớn bằng nhau. Và chúng ta cũng cần giả định rằng mọi thứ sẽ diễn ra trong khu vực có rào chắn *).

Nếu chúng ta thay đổi các điều kiện như thế này, thì chúng ta đang tiến gần đến bài toán nổi tiếng về cuộc rượt đuổi, do P. Rado phát minh ra. Chỉ trong bài toán Một con sư tử và một người đàn ông xuất hiện cùng nhau giữa cáo và chó. Trong cuốn sách “Hỗn hợp toán học” của nhà toán học người Anh J. Littlewood, bài toán này được xây dựng như sau: “Một con sư tử và một người đàn ông, nằm trong một đấu trường hình tròn có hàng rào, có cùng một điểm giống nhau.

*) Ngược lại, nếu vị trí ban đầu của cáo và chó là L₀ và C₀, thì cáo sẽ chỉ chạy theo đường thẳng C₀Л₀ từ C₀.

tốc độ tối đa. Một con sư tử nên tuân theo chiến lược nào để tự tin trong bữa ăn của mình?》 Một công thức khéo léo nhưng quá khát máu - vì vậy chúng ta sẽ gọi những người tham gia cuộc rượt đuổi, như trước đây, là chó và cáo.

Thoạt nhìn, có vẻ như con cáo không thể được cứu nếu con chó chọn chiến lược sau. Đầu tiên, cô ấy chiếm một vị trí ở tâm vòng tròn O, sau đó nằm xuống sao cho luôn ở bán kính OL, đồng thời cố gắng đến gần con cáo nhất có thể (trong tốc độ cho phép). Cứ như thể con cáo không còn lựa chọn nào khác ngoài việc chạy vòng tròn (cô ấy không nên tự mình tông vào con chó!). Điều gì xảy ra trong trường hợp này có thể được nhìn thấy từ Hình 1.

Khi con chó chiếm giữ tâm O thì con cáo ở điểm L₀. Chúng ta hãy biểu thị bằng A₁ một điểm trên đường tròn sao cho góc A₀OL₁ = π/2. Trên đoạn OL₁, chúng ta sẽ dựng, giống như trên đường kính, một đường tròn phụ s. Chúng ta ký hiệu đường tròn ban đầu (lớn gấp đôi) là S. Cho con cáo chạy từ L₀ đến L₁ dọc theo đường tròn S, và đường đi L là một điểm tùy ý trên cung L₀L₁, còn C là giao điểm của bán kính OL và đường tròn s. Khi đó các cung L₀L và OC có (kiểm tra cái này!) có cùng độ dài. Như vậy, con chó (được hướng dẫn theo chiến lược đã chọn) sẽ chạy từ O đến L₁ dọc theo đường tròn s; tại điểm L₁ cô ấy xuất hiện như một con cáo.

Một sự thay đổi bất ngờ theo hướng ngược lại sẽ không giúp ích gì cho con cáo: nếu con cáo chạy đến điểm A (Hình 2), rồi lao trở lại điểm A₂, thì con chó (theo quy định tại

16

chiến lược của nó) sẽ chạy từ $C$ đến $\ell_2$ dọc theo một cung đối xứng đến $C\ell_1$ so với bán kính $O\ell$.

Vì vậy, cơ hội duy nhất để cứu khuôn mặt là đậu nành từ vòng tròn $S$. Về phía con chó? Điều này có vẻ vô nghĩa, và chắc hẳn đã có lúc người ta tin rằng con cáo không thể thoát khỏi vị trí đó.

Gần đây, Giáo sư A. S. Beznikovich đã bác bỏ quan niệm sai lầm này. Dưới đây chúng tôi trình bày nó lời giải, đầu tiên là trong trường hợp con chó tuân thủ bán kính $O\ell$, và sau đó là trong trường hợp con chó có hành vi hoàn toàn tùy tiện. Trong cả hai trường hợp, cáo không cần phải chạy ngay vào vòng tròn. Nó phải rút lui dần dần khỏi một số điểm bên trong của vòng tròn, đổi hướng nhiều lần, dọc theo một đường xoắn ốc phức tạp.

§ 2. Hai tổng

Khi trình bày lời giải chúng ta sẽ xây dựng các đường gãy bao gồm vô số liên kết ngày càng ngắn hơn. Điều cần thiết là những đường đứt nét này có chiều dài vô hạn nhưng nằm hoàn toàn bên trong đường tròn. Để không lạm dụng phần trình bày sau này, chúng ta hãy thực hiện trước một số tính toán. Hãy viết hai số tiền:

$$L_n = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n},$$

$$K_n = \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{n^2}.$$

Họ hành xử như thế nào khi $n$ tăng lên? Chúng tăng lên - điều này là rõ ràng (vì tất cả các thuật ngữ tích cực mới đều được thêm vào). Nhưng liệu chúng sẽ tăng vô thời hạn hay vẫn ở dưới một con số nhất định? Hóa ra tổng thứ nhất tăng không giới hạn khi $n$ tăng và tổng thứ hai tăng không giới hạn đối với bất kỳ $n$ nào nhỏ hơn 1.

Bằng chứng

1. Hãy sử dụng các bất đẳng thức

$$\frac{1}{3} + \frac{1}{4} > \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2},$$

$$\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} > \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} +$$

$$+ \frac{1}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2},$$

$$\frac{1}{9} + \dots + \frac{1}{16} > \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$$, v.v.

Do đó $L_4 > 1$, $L_8 > \frac{3}{2}$, $L_{16} > 2$ và nói chung cho $n = 2^k$, $L_n > \frac{k}{2}$. Nếu $k$ bằng hai triệu thì $L_n$ lớn hơn một triệu. Nếu $k = 2 \cdot 10^9$ thì $L_n$ lớn hơn một tỷ, v.v. Nói chung, bất kể số $N$ nào được lấy, đều có $n$ sao cho $L_n > N$ (chỉ cần đặt $n = 2^2M$, trong đó $M$ là số tự nhiên, lớn hơn $N$, đối với $m > n$ bất đẳng thức $L_m > N$ còn được thỏa mãn hơn nữa). Vì vậy, $L_n$ tăng không giới hạn khi số $n$ tăng.

2. Hãy chứng minh rằng $K_n < 1$ với mọi $n$.

Hãy tính tổng $S_n = \frac{1}{2 \cdot 1} + \frac{1}{3 \cdot 2} + \dots$

$$\dots + \frac{1}{n(n-1)}.$$

Vì $\frac{1}{m(m-1)} = \frac{1}{m-1} - \frac{1}{m}$, thì $S_n = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \dots + \left(\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}\right).$

Mở ngoặc và sắp xếp lại các số hạng, ta được $S_n = 1 + \left(-\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\right) + \left(-\frac{1}{3} + \frac{1}{3}\right) + \dots + \left(-\frac{1}{n-1} + \frac{1}{n-1}\right) - \frac{1}{n} = 1 - \frac{1}{n}$.

Vì $\frac{1}{m^2} < \frac{1}{m(m-1)}$, nên $K_n < S_n$. Vì vậy, với bất kỳ $n$

$$K_n = \frac{1}{2^2} + \dots + \frac{1}{n^2} < 1.$$

Kết quả. Đặt $O$ là tâm của đường tròn bán kính $r$. $\ell_0$ là một điểm ở khoảng cách $r_0$ tính từ tâm, $r_0 < r$. Hãy đặt $a = \sqrt{r^2 - r_0^2}$ và dựng đường đứt nét $L$ như thế này (Hình 3): $\ell_0\ell_1 = \frac{a}{2}$, $\ell_0\ell_1 \perp O\ell_0$; $\ell_1\ell_2 = \frac{a}{3}$,

Cơm. 3.